2021【KS5U解析】内蒙古化德一中高三上学期期中考试数学（文）试题含解析

化德一中2020-2021学年第一学期期中考试数学

高三（文科）

一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分， 共60分）

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

本题首先可以通过对不等式、进行计算得出集合和集合中所包含的元素，然后通过交集的相关性质即可得出结果.

【详解】，即或，则集合，

，即，解得，则集合，

故，

故选：A.

【点睛】本题考查集合的相关运算，主要考查交集的相关运算，考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，是简单题.

2. 在等差数列中，已知，，则（   ）

A. 38 B. 39 C. 41 D. 42

【答案】D

【解析】

分析：利用等差数列通项公式布列关于基本量的方程，从而得到所求的结果.

详解：由，

可得：，解得：,

∴.

故选D

点睛：本题重点考查了等差数列通项公式的运用，以及简单的代数运算能力，属于基础题.

3. 已知平面向量，且，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用向量垂直的坐标运算计算即求得参数.

【详解】由，得，又，故，即.

故选：A.

4. 下列函数中是奇函数的为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用函数的解析式或函数奇偶性的定义直接判断各选项中函数的奇偶性，即可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，函数为非奇非偶函数；

对于B选项，函数为偶函数；

对于C选项，函数的定义域为，且，函数为偶函数；

对于D选项，函数为奇函数.

故选：D.

【点睛】本题考查利用函数的解析式直接判断函数的奇偶性，属于基础题.

5. 若，，，则的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由题容易看出，， ，，便得出的大小关系.

【详解】，，，因此.

故选：C.

【点睛】本题考查指数函数和对数函数的比较大小，常与中间值来比较，再结合函数的单调性即可求解，属于中档题.

6. 若定义在上的奇函数在单调递增，且，则满足的解集是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

分析出函数在单调递增，可得出，然后分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集.

【详解】由于定义在上的奇函数在单调递增，则该函数在单调递增，

且，.

显然当时，；

当时，由可得，解得；

当时，由可得，解得.

因此，不等式的解集为.

故选：D.

【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

7. 已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先利用数量积定义求，再求即可.

【详解】由与均为单位向量，它们的夹角为，得.

故.

故选：C.

8. 一个等比数列的前项和为48，前项和为60，则前项和为（ ）

A. 63 B. 108 C. 75 D. 83

【答案】A

【解析】

试题分析：因为在等比数列中，连续相同项的和依然成等比数列，即成等比数列，题中，根据等比中项性质有，则，故本题正确选项为A.

考点：等比数列连续相同项和的性质及等比中项.

9. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（    ）.

A. 2 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据函数为奇函数可得，从而求出，再由

【详解】函数是定义在上的奇函数，

则，解得：，

则

故选：C.

【点睛】本题考查了奇函数的性质，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

10. 函数的图象是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

把函数先向右平移一个单位，再关于轴对称，再向上平移一个单位即可.

【详解】把 的图象向右平移一个单位得到的图象，

把的图象关于轴对称得到的图象，

把的图象向上平移一个单位得到的图象，

故选：B.

【点睛】本题主要考查函数图象的平移，对称，以及学生的作图能力，属于中档题.

11. 如图，在矩形中，和分别是边和的点，满足，若，其中，则是(     )

A.  B.  C.  D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】

以为基底向量表示，利用平面向量基本定理可求的值，从而得到的值.

【详解】由矩形可得，

又，，

所以

，

因为不共线，故 ，从而，所以.

故选：B．

【点睛】本题考查平面向量基本定理应用，注意与向量系数有关的计算，应根据题设条件选择一组合适的基底向量，再用基底向量表示目标向量，从而得到系数满足的条件，本题为中档题.

12. 已知函数的定义为，，若对任意实数都有，则不等式的解集是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

本题可以构造函数，利用函数单调性将不等式转化为两个函数值的大小，得到自变量的大小关系，从而得到本题的结论.

【详解】记，

对任意实数都有，

，

函数为定义在上的单调递增函数，

，

，

，

，

函数为定义在上的单调递增函数，

 故不等式的解集是.

故选：B

【点睛】本题考查了解抽象函数的不等式，解题的关键是判断函数的单调性，属于中档题.

二、填空题（每小题5分，共20分）

13. 已知向量，，且，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

根据共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解.

【详解】由题意，向量，，因为，可得，解得.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了向量的共线的坐标表示及运算，其中解答中熟记向量共线条件的坐标表示是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

14. 在数列中，，，则为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用递推关系，逐项推算即得结果.

【详解】由，，得，，，.

故答案为：.

15. 函数且恒过定点的坐标为______．

【答案】

【解析】

【分析】

令对数型函数中的真数等于，求解出此时的并求出，即为所过的定点坐标.

【详解】函数且，

令，求得，，可得它的图象恒过定点.

故答案为：．

【点睛】本题考查对数型函数所过的定点问题，难度较易.对于形如的对数型函数，

其所过的定点坐标求法：令对数函数的真数部分为，求解出同时求解出，此时的即为对数型函数所过点的定点.

16. 曲线:在点处的切线方程为_______________.

【答案】y=2x﹣e

【解析】

，，所以切线方程为，化简得.

三、解答题 (共70分)

17. 已知，求下列各式的值：

（1）；

（2）.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件，求得，再分子分母同除以，即可代值求得结果；

（2）将目标式分母化为，再分子分母同除以，即可代值求得结果.

【详解】∵，∴，

（1）原式；

（2）原式.

【点睛】本题考查利用同角三角函数关系，求齐次式的值，属基础题.

18. 在等差数列中：

（1）已知，求；

（2）已知.求通项公式.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）利用等差数列的通项公式，将已知条件转化为关于和的方程，求出和的值，再利用等差数列前项和公式即可求解；

（2）利用等差数列的通项公式，将已知条件转化为关于和的方程，求出和的值，即可求出通项公式.

【详解】（1）因为是等差数列，，

所以 ，即，解得

所以，

（2）由题意可得，解得，

所以

【点睛】关键点点睛：正确解决本题的关键是熟记等差数列的通项公式和前项和公式，计算细心即可.

19. 已知函数.

（1）求在处的切线的方程；

（2）求函数的单调区间.

【答案】（1）；（2）函数的单调增区间是，单调减区间是.

【解析】

【分析】

（1）先利用导数的几何意义求切线的斜率，再利用点斜式求直线方程即可；

（2）利用导数正负确定函数的单调区间即可.

【详解】解：（1）函数，则，故在处的切线的斜率，故切线的方程是，即；

（2）令，得或，令，得，

故函数的单调增区间是，单调减区间是.

20. 在锐角中，、、分别为角、、所对的边，且．

（1）确定角的大小；

（2）若，且的面积为，求的值．

【答案】（1）；（2）5.

【解析】

【分析】

（1）利用正弦定理边化角，化简即可求解.

（2）由三角形面积公式，求得，再结合余弦定理，即可求出.

【详解】（1）由及正弦定理得，．

∵，∴．∵是锐角三角形，∴．

（2）∵，面积为，∴，即．①

∵，∴由余弦定理得，即．②

由②变形得．③将①代入③得，故．

【点睛】本题考查正、余弦定理的应用，属于较易题.

21. 已知函数，在时取得极值.

（1）求的值；

（2）求函数的单调区间.

【答案】（1）；（2）函数的单调增区间是，单调减区间是.

【解析】

【分析】

（1）利用极值定义，列式，求出值并验证即可；

（2）利用导数正负确定函数的单调区间即可.

【详解】解：（1）函数，则，

函数在时取得极值，故，解得，此时，，函数确实在时取得极小值.

故的值是；

（2）因为，当时，当时，故函数的单调增区间是，单调减区间是.