重庆市第八中学校2023届高三上学期高考适应性月考（二）数学试题（含答案）

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重庆市第八中学2023届高考适应性月考卷（二）

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.设全集，集合，，则集合（    ）

A. B. C. D.

2.设，则“”是“”的（    ）

A.充分而不必要条件  B.必要而不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

3.在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.记事件表示“第k只飞出笼的是苍蝇”，，则为（    ）

A. B. C. D.

4.定义在R上的函数满足，则下列是周期函数的是（    ）

A. B. C. D.

5.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（    ）倍

A.1 B.2 C.3 D.4

6.已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A. B. C. D.

7.在中，，G为的重心，若，则外接圆的半径为（    ）A. B.2 C.              D.

8.若函数有极值点，，且，则关于x的方程的不同实数根个数是（    ）

A.3 B.4 C.5 D.6

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.已知，且，则下列式子正确的有（    ）

A.  B.

C.  D.

10.设首项为1的数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（    ）

A.数列为等比数列 B.数列不是等比数列

C.  D.中任意三项不能构成等差数列

11.已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A.若函数的最小正周期为π，则其图象关于直线对称

B.若函数的最小正周期为2π，则其图象关于点对称

C.若函数在区间上单调递增，则ω的最大值为2

D.若函数在有且仅有4个零点，则ω的取值范围是

12.已知F为椭圆C：的左焦点，直线l：与椭圆C交于A，B两点，轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（    ）

A.  B.的最小值为2

C.直线BE的斜率为 D.为钝角

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.复数z满足：，则______.

14.定义在R上的函数满足以下两个性质：①

①，②，满足①②的一个函数是______.

15.已知M是边长为1的正的边AC上的动点，N为AB的中点，则的最大值是_____.

16.已知函数，数列是公差为4的等差数列，若，则数列的前n项和______.

四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

如图，在棱柱中，D为棱BC的中点.

（1）证明：平面；

（2）若该三棱柱为正三棱柱，且所有棱长均相等，求直线AC与平面所成角的正弦值.

18.（本小题满分12分）

在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

（1）求B；

（2）已知，，求b.

19.（本小题满分12分）

记为数列的前n项和，已知，是公差为2的等差数列.

（1）求的通项公式；

（2）证明：.

20.（本小题满分12分）

核电站某项具有高辐射危险的工作需要工作人员去完成，每次只派一人，每人只派一次，工作时长不超过15分钟，若某人15分钟内不能完成该工作，则撤出，再派下一人，现有小胡、小邱、小邓三人可派，且他们各自完成工作的概率分别为，，.假设，，互不相等，且假定三人能否完成工作是相互独立.

（1）任务能被完成的概率是否与三个人被派出的先后顺序有关？试说明理由；

（2）若按某指定顺序派出，这三人各自能完成任务的概率依次为，，，其中，，是的一个排列.

（ⅰ）求所需派出人员数目X的分布列和数学期望；

（ⅱ）假定，为使所需派出的人员数目的数学期望达到最小，应以怎么样的顺序派出？

21.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）若函数在定义域内单调递增，求a的取值范围；

（2）若，在上恒成立，求整数k的最大值.（参考数据：，）

22.（本小题满分12分）

已知双曲线E：（，）一个顶点为，直线l过点交双曲线右支于M，N两点，记，，的面积分别为S，，.当l与x轴垂直时，的值为.

（1）求双曲线E的标准方程；

（2）若l交y轴于点P，，，求证：为定值；

（3）在（2）的条件下，若，当时，求实数m的范围.

重庆市第八中学2023届高考适应性月考卷（二）

数学参考答案

一、单项选择题（本大超共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

【解析】

1.由条件，，由，得，因此，，所以.故选C.

2.由于不等式的解集为，则可推出，反之不成立，所以“”是“”的充分而不必要条件，故选A.

3.由题得，，则，故选C.

4.依题意，定义在R上的函数满足，所以，设，则，所以是周期为2的周期函数，故选B.

5.由题意可得，，所以，即第二次的“晷影长”是“表高”的1倍，故选A.

6.由题意，，，，则，故选D.

7.由，可得，则有，又在中，，G为的重心，则为等边三角形，则，解之得，则外接圆的半径为，故选C.

8.令，则，，，不妨设，画出的图象，如图1所示，又因为

，所以由图可知，有1个解，有2个解，故选A.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

【解析】

9.已知，且，故，且.对A，，故A正确；对B，，故B错误；对C，，故C正确；对D，，当且仅当时取等号，因为，故成立，故D正确，故ABCD.

10.因为，所以写.又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确；所以，则.当时，，且，故B错误；由当时，可得，故C正确；因为，设，，，由，故矛盾，故D正确，故选ACD.

11.A选项：∵的最小正周期为π，∴，∴，故A正确；

B选项：∵的最小正周期为2π，∴，∴，故B错误；

C选项：∵，∴.又医数在上单调递增，∴，∴，故C正确；

D选项：∵，∴，又在有且仅有4个零点，则，∴，故D正确，故选ACD.

12.对于A，设将圆C的右焦点为，如图2，连接，，则四边形为平行四边形，

∴，A正确；

对于B，，当且仅当时等号成立，B错误；

对于C，设，，，故直线BE的斜率，C正确；

对于D，设，直线PA的斜率额为，直线PB的斜率为，则，又点P和点A在椭圆C上，∴①，②，①－②得，易知，则，得，∴，D错误，故选AC.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

【解析】

13.令，，∴，∴且，故.

15.以BC所在直线为x轴，以线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图3所示。

可得，，，，设，，，因为点M在边AC上，所以，，，即，∴

，

当时，取最大值.

16.由，知为偶函数，当时，知，在上单调递增且，设，则为奇函数且在上单调递增，结合奇函数的对称性可得在单调递增，由题得，又是等差数列，可得，当时，，同理，即，不合题意，当时，同理可得，也不合题意；所以，又公差为4，可得，所以.

四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步理）

17.（本小题满分10分）

（1）证明：如图4，连接，与相交于点E，连接DE.则在平行四边形中，E为的中点.

又D为棱BC的中点，所以在中，.

因为平面，平面ACD，所以平面.

（2）解：由条件，知平面ABC，所以平面平面ABC.如图5，以D为坐标原点，方向为x轴正方向建立空间直角坐标系.

设棱柱的棱长为2，则，，，，，.

设平面的法向量为，则，，即，且，取，因为，所以.

故，直线AC与平面所成角的正弦值为.

18.（本小题满分12分）

解：（1），

∴由正弦定理得：，

∴，∴，

∴由余弦定理得：.

∴或（舍），

由余弦定理得：，

∴.

19.（本小题满分12分）

（1）解：由题设，，

所以，又，

两式相减得：，进而，

故是公比为3的等比数列，

由，，即.

（2）证明：由（这是因），

知：.

20.（本小题满分12分）

解：（1）无关，理由如下：

由于任务不能被完成的概率为为定值，

故任务能被完成的概率为也为定值.

所以任务能被完成的概率与三个人被源出的顺序无关.

（2）（1）X的取值为1，2，3，

，，，

分布列如图：

.

（ⅱ），

若交换前两个人的源出顺序，则变为，

由此可见，当时，交换前两个人的派出顺序可增大均值；

若保持第一人源出的人选不变，交换后两个人的派出顺序，

可写为，交换后两个人的派出顺序则变为；

当时，交换后两个人的源出顺序可增大均值，

故完成任务概率大的人先派出，可使所需源出的人员数目的均值（数学期望）达到最小.

21.（本小超满分12分）

解：（1），

∵在上单增，∴在上恒成立，

，记，

∵，，∴在上单减，在上单增，

∴，

∴.

（2）由可知，，

∴，记，

∵，

令，，

在上单减，在上单增，

，，，

∴，，

，，∴，∴单减，

，，，∴单增，

，

∵，，

∴，

∴.

22.（本小超满分12分）

（1）解：由题，不妨设，

则当l与x轴垂直时，由知，，

将代入方程得：，解得，

解得所以双曲线E的方程为.

（2）证明：设，，，

由，知：，

即，，将代入E的方程得：，

整理得：①，同理可得②.

由①②知，，是方程的两个不等根。

由书达定理知，所以为定值.

另解：设直线l方程，；

·联立用书达定理，按步骤酌情给分。

（3）解：又，即，

整理得：，

又，∴，即，

而由（2）知，代入，

令，得.

由在上单增，则有，

所以m的取值范围为.