【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一第15练 抛物线的几何性质【讲义+习题】

第15练　抛物线的几何性质

一、选择题

1．抛物线y＝－x2的焦点坐标为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　∵抛物线y＝－x2，即x2＝－y，

∴焦点坐标是.

2．抛物线y＝3x2的准线方程为(　　)

A．x＝－   B．x＝－

C．y＝－   D．y＝－

答案　D

解析　抛物线y＝3x2的标准方程为x2＝y，

所以抛物线的标准方程为y＝－.

3．A是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，当AF＝4时，∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是(　　)

A．x＝－1   B．y＝－1

C．x＝－2   D．y＝－2

答案　A

解析　由题意∠BFA＝∠OFA－90°＝30°，

过A作准线的垂线AC，过F作AC的垂线，垂足分别为C，B.如图，A点到准线的距离为d＝AB＋BC＝p＋2＝4，解得p＝2，则抛物线的准线方程是x＝－1.

4.正确使用远光灯对于夜间行车很重要．已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，若灯口直径是20 cm，灯深10 cm，则光源到反光镜顶点的距离是(　　)

A．2.5 cm   B．3.5 cm

C．4.5 cm   D．5.5 cm

答案　A

解析　设对应抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，由题意知抛物线过点(10,10)，

得100＝2p×10，得p＝5，则＝2.5，即焦点坐标为(2.5,0)，

则光源到反光镜顶点的距离是2.5 cm.

5．(多选)若抛物线过点A，则点A到此抛物线的焦点的距离可以是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　AB

解析　当抛物线的对称轴是x轴时，抛物线方程为y2＝x，准线为x＝－，

点A到此抛物线的焦点的距离为1＋＝；

当抛物线的对称轴是y轴时，抛物线方程为x2＝4y，准线为y＝－1，点A到此抛物线的焦点的距离为1＋＝.

二、填空题

6．抛物线y2＝4x的通径(过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦)的长为________．

答案　4

解析　由题意得，抛物线的焦点坐标为(1,0)，当x＝1时，y＝±2，

∴过抛物线y2＝4x的焦点且与对称轴垂直的弦长为4.

7．已知抛物线C：y2＝mx的焦点是椭圆E：＋＝1的左焦点，则抛物线C的准线方程是______________．

答案　x＝2

解析　∵椭圆E：＋＝1，

∴c2＝a2－b2＝9－5＝4，即c＝2，

又∵抛物线C：y2＝mx的焦点是椭圆E：＋＝1的左焦点，

∴抛物线C的焦点为(－2,0)，即抛物线C的准线方程为x＝2.

8．斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则AB＝__________.

答案　

解析　抛物线C：y2＝4x的焦点为(1,0)，则直线AB的方程为y＝(x－1)，

联立得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝，

从而AB＝x1＋x2＋p＝＋2＝.

9．已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，点A为抛物线C上横坐标为3的点，过点A的直线交x轴的正半轴于点B，且△ABF为正三角形，则p＝________.

答案　2

解析　由题意可知，当B在焦点F的右侧时，AF＝3＋，设过A点垂直于x轴的直线交x轴于点D，则FD＝3－⇒3－＝⇒p＝2；当B在焦点F的左侧时，同理可得p＝18，此时点B在x轴的负半轴，不符合题意．故p＝2.

三、解答题

10．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(2，－4)．

(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；

(2)已知点B(0,2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．

解　(1)由抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(2，－4)，可得16＝4p，解得p＝4.

所以抛物线C的方程为y2＝8x，

其准线方程为x＝－2.

(2)①当直线l的斜率不存在时，x＝0符合题意．

②当直线l的斜率为0时，y＝2符合题意．

③当直线l的斜率存在且不为0时，

设直线l的方程为y＝kx＋2.

由得ky2－8y＋16＝0.

由Δ＝64－64k＝0，得k＝1，

故直线l的方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0.

综上，直线l的方程为x＝0或y＝2或x－y＋2＝0.