【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一第7练 圆与圆的位置关系【讲义+习题】

第7练　圆与圆的位置关系

一、选择题

1．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是(　　)

A．内切   B．外离

C．外切   D．相交

答案　D

解析　圆x2＋y2－1＝0表示以点O1(0,0)为圆心，以R1＝1为半径的圆，

圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0表示以点O2(2，－1)为圆心，以R2＝3为半径的圆，

∵O1O2＝＝，

∴R2－R1<O1O2<R2＋R1，

∴圆x2＋y2－1＝0和圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0相交．

2．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是(　　)

A．x＋y－1＝0   B．2x－y＋1＝0

C．x－2y＋1＝0   D．x－y＋1＝0

答案　A

解析　由题意得圆x2＋y2－2x－5＝0的圆心为M(1,0)，

圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心为N(－1,2)，两圆的相交弦AB的垂直平分线即为直线MN，其方程为＝，即x＋y－1＝0.

3．已知点(4a，2b)(a>0，b>0)在圆C：x2＋y2＝4和圆M：(x－2)2＋(y－2)2＝4的公共弦上，则＋的最小值为(　　)

A．8  B．4  C．2  D．1

答案　A

解析　根据题意，圆C的方程为x2＋y2＝4，圆M的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，

则其公共弦的方程为x＋y＝2，又由点(4a，2b)在两圆的公共弦上，则有4a＋2b＝2，

即2a＋b＝1，又因为a>0，b>0，所以＋＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即b＝，a＝时取等号，所以＋的最小值为8.

4．古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262－公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知O(0,0)，A(3,0)，动点P(x，y)满足＝2，则动点P的轨迹与圆(x－1)2＋y2＝1的位置关系是(　　)

A．外离   B．外切

C．相交   D．内切

答案　C

解析　∵PA2＝4PO2，

∴(x－3)2＋y2＝4(x2＋y2)，

整理得，点P的轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝4，其图形是以(－1,0)为圆心，以2为半径的圆，而圆(x－1)2＋y2＝1的圆心坐标为(1,0)，半径为1，

可得两圆的圆心距为2，大于2－1＝1，

小于2＋1＝3，

则动点P的轨迹与圆(x－1)2＋y2＝1的位置关系是相交．

5．(多选)已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0相交于A，B两点，下列说法正确的是(　　)

A．两圆有两条公切线

B．直线AB的方程为y＝2x＋2

C．线段AB的长为

D．圆O上点E，圆M上点F，则EF的最大值为＋3

答案　AD

解析　根据题意，圆O：x2＋y2＝4，圆心为(0,0)，半径r＝2，圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，即(x＋2)2＋(y－1)2＝1，其圆心为(－2,1)，半径R＝1，

对于A，圆O与圆M相交，有两条公切线，A正确；

对于B，

联立可得2x－y＋4＝0，即y＝2x＋4，直线AB的方程为y＝2x＋4，B错误；

对于C，由B的结论，直线AB的方程为y＝2x＋4，圆心O到AB的距离d＝＝，则AB＝2×＝，C错误；

对于D，圆O上点E，圆M上点F，EF的最大值为MO＋1＋2＝＋1＋2＝＋3，D正确．

二、填空题

6．若圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2－6x－8y－m＝0相切，则m的值为__________．

答案　－9或11

解析　由题意可得36＋64＋4m>0，

即m>－25，

故圆x2＋y2－6x－8y－m＝0的圆心为(3,4)，半径r＝，

若两圆外切，则＋1＝5，解得m＝－9，

若两圆内切，则－1＝5，解得m＝11.

所以m的值为－9或11.

7．已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，圆C2：x2＋y2＋x－y－m2＝0(m>0)，若圆C2平分圆C1的圆周，则正数m的值为________．

答案　3

解析　圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，转换为标准式为(x－1)2＋(y＋2)2＝1；圆C2：x2＋y2＋x－y－m2＝0(m>0)，两圆相减得3x－5y－m2－4＝0，即公共弦方程，由题意知圆C1的圆心(1，－2)满足公共弦的方程，故3＋10－m2－4＝0，解得m＝3.

8．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．

答案　

解析　圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，设圆心C(4,0)到直线y＝kx－2的距离为d，则d＝，由题意知问题转化为d≤2，即d＝≤2，得0≤k≤，所以kmax＝.

9．已知点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则PQ的最小值为__________，最大值为__________．

答案　1　5

解析　∵圆x2＋y2＝1的圆心坐标O(0,0)，半径r＝1，圆C：(x－3)2＋y2＝1的圆心坐标C(3,0)，半径R＝1，

∵d＝OC＝3>1＋1＝R＋r，

∴两圆的位置关系是外离，又P在圆O上，Q在圆C上，

则PQ的最小值为d－(R＋r)＝3－(1＋1)＝1.

PQ的最大值为d＋(R＋r)＝3＋(1＋1)＝5.

三、解答题

10．已知圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝1.

(1)若直线l过定点A(4,0)，且与圆C相切，求直线l的方程；

(2)若圆M的半径为4，圆心在直线x＋y－1＝0上，且与圆C外切，求圆M的方程．

解　(1)由题意可知，圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝1，且A(4,0)在圆C外，

由分析知，所求直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y＝k(x－4)，

所以圆心C(4,2)到直线l：kx－y－4k＝0的距离为r＝1.

所以＝1，解得k＝±，

故所求直线l的方程为y＝x－4或y＝－x＋4.

(2)由题意，可设圆心M的坐标为(t，1－t)，t∈R,

则由圆C与圆M外切，得圆心距为CM＝5，

所以＝5，即t2－3t－4＝0，解得t＝4或t＝－1，则圆心M(4，－3)或

M(－1,2)．

故所求圆M的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x＋1)2＋(y－2)2＝16.