【培优分级练】人教版数学八年级上册 15.3《分式方程》培优三阶练（含解析）

15.3 分式方程知识点01  分式方程的定义分母中含未知数的方程叫做分式方程．【归纳】（1）分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程．（2）方程的分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别．（3）分母中含有字母的方程未必是分式方程．知识点02  分式方程的解法1、解分式方程的基本思想把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解．2、解分式方程的一般方法和步骤①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等等；③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．简称为一化，二解，三检验．3、解分式方程产生不适合原方程解的原因在将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被增大了，对于整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说，当分母为零时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解，即原分式方程无解．知识点03  分式方程的应用分式方程的应用基本思路和方法：一审：审清题意，弄清已知量和未知量；二找：找出等量关系；三设：设未知数；四列：列出分式方程；五解：解这个方程；六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求；七答：写出答案．在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义．培优第一阶——基础过关练1．方程的解为（　　）A．x=-1 B．x=5 C．x=7 D．x=9【答案】B【详解】解：去分母得：2x=x+5，解得：x=5，检验：把x=5代入得：x+5≠0，∴分式方程的解为x=5．故选：B．2．解分式方程时，去分母得（　　　）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：去分母，得，故选：B．3．为贯彻国务院印发的《扎实稳住经济的一揽子政策措施》，某大型5G产品生产厂家更新了技术，现在平均每天比更新技术前多生产40万件产品，现在生产600万件产品所需时间与更新技术前生产500万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由题意得：现在每天生产万件产品，则可列方程为，故选：C．4．下面的歌诀是我国明代数学家程大位所著的《直指算法统宗》中的一个问题，大意是：1斤油要和4斤的面，现在9斤6两5钱的面中加了2斤12两的油，问还要再加多少面？如果设再加面x两，那么可列的方程是（　　）（注：旧制1斤＝16两，1两＝10钱）西江月白面秤来四斤，使油一斤相和．今来有面九斤多．六两五钱不错．已用香油和合，二斤十二无讹．再添多少面来和？不会应须问我．A．＝ B．＝C．＝ D．＝【答案】D【详解】解：设再加面x两，根据题意得＝，故选：D．5．若关于x的方程＋＝3的解是非负数，则m的取值范围为(　　)A．m≤-7且m≠-3 B．m≥-7且m≠-3C．m≤-7 D． m≥-7【答案】B【详解】解：分式方程去分母得：2x+m-x+1=3x-6，解得：x=(m+7)，由分式方程的解是非负数，得到(m+7)≥0，且(m+7)≠2，解得：m≥-7且m≠-3，故B正确．故选：B．6．方程的解为________．【答案】【详解】方程两边同乘，得，解这个整式方程，得，经检验，是原分式方程的解．故答案为：．7．为了践行“绿色低碳出行，减少雾霾”的使命，小红上班的交通方式由驾车改为骑自行车，小红家距单位的路程是千米，在相同的路线上，小红驾车的速度是骑自行车速度的倍，小红每天骑自行车上班比驾车上班要早出发分钟，才能按原时间到达单位．设小红骑自行车的速度为每小时千米，依题意，可列方程为______【答案】【详解】解：设小红骑自行车的速度是每小时千米，则驾车的速度是每小时千米，根据题意得：，故答案是：．8．解方程：(1)(2)．【答案】(1)x＝5(2)原方程无解【详解】（1）解：方程两边同乘（x－3）（x－2），得2（x－2）＝3（x－3）．解这个一元一次方程，得x＝5．检验：当x＝5时，（x－3）（x－2）＝6≠0，∴x＝5是原方程的解．（2）解：方程两边同乘（x－2），得1－x＝－1－2（x－2）．解这个一元一次方程，得x＝2．检验：当x＝2时，x－2＝0，x＝2是增根，∴原方程无解．9．“带动三亿人参与冰雪运动”是北京携手张家口申办2022年冬奥会时，中国向国际社会许下的郑重承诺．为此某俱乐部开设了滑雪营，准备购买一批运动器材，已知甲类器材比乙类器材单价低120元，用20000元购买甲类器材与用30000元购买乙类器材的数量相同，求甲类器材的单价为多少元？【答案】甲器材单价为240元【详解】设甲类器材的单价为x元，则乙类器材的单价为(x + 120)元，由题意得： 解得：x= 240，经检验，x = 240是原分式方程的解，且符合题意，答：甲类的单价为240元．10．2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某工厂为了满足市场需求，提高生产效率，在生产操作中需要用机器人来搬运原材料．现有A，B两种机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运750kg所用时间与B型机器人搬运500kg所用时间相等，求两种机器人每小时分别搬运多少原料？【答案】A种机器人每小时搬运90kg原料，B种机器人每小时搬运60kg原料【详解】解：设B种机器人每小时搬运xkg原料，A种机器人每小时搬运（x＋30）kg原料．根据题意，得﹒解这个方程，得x＝60．经检验，x＝60是方程的解，且符合题意．x＋30＝90．答：A种机器人每小时搬运90kg原料，B种机器人每小时搬运60kg原料．培优第二阶——拓展培优练1．若分式方程有增根，则a的值是（　　）A．1 B．0 C．﹣1 D．3【答案】D【详解】去分母得：由分式方程有增根，得到，即把代入得：1+6-6=a-2解得：a=3故选：D2．小明在解方程组的过程中，以下说法错误的是（    ）A．可得，再用代入消元法解B．令，，可用换元法将原方程组化为关于、的二元一次方程组C．由得，再代入，可得一个关于的分式方程，亦可求解D．经检验：是方程组的一组解【答案】B【详解】解：，A．②①，得，整理得：，再用代入消元法解，故本选项不符合题意；B．令，，则原方程组化为：，不能得出关于、的二元一次方程组，故本选项符合题意；C．由①得，把代入②得：，得出一个关于的分式方程，即可求解，故本选项不符合题意；D．把代入①，得左边，右边，左边右边，把代入②，得左边，右边，左边右边，所以是方程组的解，故本选项不符合题意；故选：B．3．我市某区为万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的倍，结果提前天完成了这项工作．设原计划每天接种万人，根据题意，所列方程正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：实际每天接种人数是原计划的倍，且原计划每天接种万人，实际每天接种万人，又结果提前天完成了这项工作，．故选：．4．某车间有22名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天可生产54个螺栓或24个螺母，若分配人生产螺栓，剩余的工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓与螺母配套．下列方程不正确的是（  ）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：由题意得：有人生产螺母，则可列方程为或或，故选：B．5．甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如下：如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（　　）小时．A．20 B．21 C．19 D．19【答案】D【详解】解：设甲单独完成任务需要小时，则乙单独完成任务需要小时，由题意得：，解得：，经检验是原方程的根，且符合题意，丙的工作效率是乙的工作效率的，丙的工作效率是，一轮的工作量为：，轮后剩余的工作量为：，还需要甲工作1小时后，乙需要的工作量为：，乙还需要工作（小时），（小时）．故共需小时．故选：D．6．如果分式的值为0，那么x的值为______；若关于x的分式方程有增根，则m的值为______．【答案】     1     6【详解】解：∵分式的值为0，∴，∴，即；∵关于x的分式方程有增根，∴x=3．原分式方程两边同时乘以x-3，得：，整理，得：，将x=3代入，得：．故答案为：1，6．7．某商店以元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加作为售价，售出盒，第二个月每盒以低于进价元作为售价，售完余下的茶叶，在整个买卖过程中盈利元，设每盒茶叶的进价为元，则可列方程为______．【答案】【详解】解：设每盒茶叶的进价为元．根据题意得．故答案为：．8．解方程(1)；(2)．【答案】(1)(2)原方程无解【详解】（1），方程两边都乘2x﹣1，得x﹣2＝3（2x﹣1），解得：x＝，检验：当x＝时，2x﹣1≠0，所以x＝是原方程的解，即原方程的解是x＝；（2），方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得x（x﹣2）﹣（x+2）2＝8，解得：x＝﹣2，检验：当x＝﹣2时，（x+2）（x﹣2）＝0，所以x＝﹣2是增根，即原方程无解．9．2022年第二十四届冬奥会在我国成功举办，吉祥物“冰墩墩”以其呆萌可爱、英姿飒爽形象，深受大家喜爱．某商店第一次用3000元购进一批“冰墩墩”玩具，很快售完；该商店第二次购进该“冰墩墩”玩具时，进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件．(1)求第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价；(2)若两次购进的“冰墩墩”玩具每件售价均为75元，且全部售完，求两次的利润总和．【答案】(1)第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为50元(2)两次的总利润为2250元【详解】（1）解：设第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为x元，则第二次每件的进价为元，依题意得：，解得：，经检验：是方程的解，且符合题意，答：第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为50元．（2）解：由题意可得（元），答：两次的总利润为2250元．10．甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独完成此项任务比乙队单独完成此项任务多用10天，且乙队每天的工作效率是甲队每天工作效率的1.5倍．(1)甲、乙两队单独完成此项任务需要多少天？(2)若甲、乙两队共同工作4天后，乙队因工作需要停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，如果要完成任务，那么甲队再单独施工多少天？【答案】(1)甲队单独完成此项任务需要30天，乙队单独完成此项任务需要20天(2)10天【详解】（1）解：设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要（x+10）天，由题意可得： ，解得：x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，∴x+10＝30（天），答：甲队单独完成此项任务需要30天，乙队单独完成此项任务需要20天；（2）设甲队再单独施工a天，由题意可得：，解得：a＝10，答：甲队再单独施工10天．培优第三阶——中考沙场点兵1．分式方程的解是（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：2-（x-1）=02-x+1=0-x=-3x=3检验，当x=3时，x-1≠0，故x=3是原分式方程的解．故答案选C．2．一艘轮船在静水中的速度为30km/h，它沿江顺流航行144km与逆流航行96km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为vkm/h，则符合题意的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：由题意得：轮船的顺流速度为，逆流速度为，则可列方程为，故选：A．3．将5kg浓度为98%的酒精，稀释为75%的酒精．设需要加水，根据题意可列方程为（   ）A． B．C． D．【答案】B【详解】设需要加水，由题意得，故选：B．4．已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（    ）A． B． C．且 D．且【答案】C【详解】方程两边同时乘以，得，解得，关于x的分式方程的解是正数，，且，即且，且，故选：C．5．《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：设边衬的宽度为x米，根据题意，得，故选：D．6．代数式与代数式的值相等，则x＝______．【答案】7【详解】解：∵代数式与代数式的值相等，∴，去分母，去括号号，解得，检验：当时，，∴分式方程的解为．故答案为：7．7．为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程．设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式方程为__________．【答案】【详解】解：∵比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，小亮训练前的平均速度为x米/分，∴比赛时小亮平均速度为(1+25%)x米/分，根据题意可得，故答案为：．8．解方程：．【答案】【详解】解：方程两边同乘，得，解得，检验：当时，，所以，原分式方程的解为．9．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？【答案】（1）乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元；（2）最多购进87个甲种粽子【详解】解：（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，由题意得：，解得：，经检验是原方程的解，答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元．（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，由（1）及题意得：，解得：，∵m为正整数，∴m的最大值为87；答：最多购进87个甲种粽子．10．金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．(1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．①分别求出这两款车的每千米行驶费用．②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）【答案】(1)元(2)①燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；②每年行驶里程超过5000千米时，买新能源车的年费用更低【详解】（1）解：新能源车的每千米行驶费用为元，答：新能源车的每千米行驶费用为元．（2）解：①由题意得：，解得，经检验，是所列分式方程的解，则，，答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；②设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低，由题意得：，解得，答：每年行驶里程超过5000千米时，买新能源车的年费用更低．