2020浙江省瑞安市上海新纪元高级中学高一（1-6）班下学期期初考试数学试题含答案

瑞安上海新纪元高级中学

高一数学返校考试试卷

一、选择题：（每题4分，共40分）

1.若一个幂函数的图像经过点，则它的单调增区间是（    ）

2.函数的零点所在区间为（    ）

A.  B.  C.  D.

3．若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；

④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是(　　)

A.①④   B. ①③ C. ②③   D.②④

4.将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数图象，则下列关系正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

5．已知，，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

6．若x，y满足，且y≥−1，则3x+y的最大值为

A．−7  B．5 

C．1  D．7

7.已知等边的边长为2，为的中点，若，则实数t的取值范围为（    ）

A.        B.        C.        D.

8.函数的大致图象为（    ）

A.  B.

C.  D.

9.已知函数（其中），若对任意，存在，使得，则的取值范围为（ ▲ ）

10.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A.      B.      C.      D.

二、填空题：（多空每题6分，单空每题4分）

11.计算或化简：①___，②_______．

12.已知数列满足：；则_______，通项_________．

13.在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．

14．已知x＞0，y＞0，x＋4y＋xy＝5，则xy的最大值为                  ；x＋4y的最小值为_____          ___．

15.在，，已知点是内一点，则的

最小值是                .

16．两个单位向量且，点在弧上动，若

，则的取值范围是                  

17．已知函数的值域为，则实数的取值范围_________.

三、解答题：

18.已知函数

（1）求函数的最小正周期及对称中心；

（2）若，求函数最小值以及取最小值时的值；

（3）若，，求.

19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin ＝bsin A。

(1)求B；

(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围。

20.（本题满分15分）设公差不为的等差数列中，且构成等比数列．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列的前项和满足：，求数列的前项和.

21. （本题满分15分）

已知为正数，函数.

（Ⅰ）解不等式；

（Ⅱ）若对任意的实数总存在，使得对任意恒成立，求实数的最小值.

22.已知函数，．

（1）判断的单调性，并证明之；

（2）若存在实数，，使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围．

瑞安上海新纪元高级中学

高一数学返校考试试卷

一、选择题：（每题4分，共40分）

1.若一个幂函数的图像经过点，则它的单调增区间是（    ）

【答案】C

2.函数的零点所在区间为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

3．若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；

④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是(　　)

A.①④   B. ①③ C. ②③   D.②④

【答案】B

4.将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数图象，则下列关系正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

5．已知，，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

6．若x，y满足，且y≥−1，则3x+y的最大值为

A．−7  B．5 

C．1  D．7

【答案】B

7.已知等边的边长为2，为的中点，若，则实数t的取值范围为（    ）

A.        B.        C.        D.

【答案】C

8.函数的大致图象为（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

9.已知函数（其中），若对任意，存在，使得，则的取值范围为（ ▲ ）

【答案】D

10.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A.      B.      C.      D.

【答案】B

二、填空题：（多空每题6分，单空每题4分）

11.计算或化简：①___，②_______．

【答案】    (1).     (2).

12.已知数列满足：；则_______，通项_________．

【答案】—13，

13.在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．

【答案】，

14．已知x＞0，y＞0，x＋4y＋xy＝5，则xy的最大值为                  ；x＋4y的最小值为_____          ___．

【答案】1，4

15.在，，已知点是内一点，则的

最小值是                .

【答案】

16．两个单位向量且，点在弧上动，若

，则的取值范围是                  

【答案】[1，2]

17．已知函数的值域为，则实数的取值范围_________.

【答案】

三、解答题：

18.已知函数

（1）求函数的最小正周期及对称中心；

（2）若，求函数最小值以及取最小值时的值；

（3）若，，求.

【详解】（1）因为，。。。。。。。（4分）

所以，当得：，

所以函数的对称中心为：.。。。。。。。。。。。（6分）

（2）当，

所以，

当，函数取得最大值为；

当，函数取得最小值为；。。。。。。。（9分）

（3）因为，所以，

所以，所以.

因为

.。。。。。。。。。。。。。。（14分）

19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin ＝bsin A。

(1)求B；

(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围。

【解析】(1)由题设及正弦定理得

sin Asin＝sin Bsin A.

因为sin A≠0，所以sin＝sin B.

由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos.

因为cos≠0，故sin＝，因此B＝60°.。。。。。6分

(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.。。。。。8分

由正弦定理得a＝＝＝＋.。。。。。11分

由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.

由(1)知A＋C＝120°，

所以30°<C<90°，。。。。。。。。。。。。13分

故<a<2，从而<S△ABC<.

因此，△ABC面积的取值范围是。。。。。。。。。。15分

20.（本题满分15分）设公差不为的等差数列中，且构成等比数列．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列的前项和满足：，求数列的前项和.

解：（Ⅰ）………………3分

…………………………5分

（Ⅱ）首先求出…………………………………10分

      错位相减，求得…………………………………15分

21. （本题满分15分）

已知为正数，函数.

（Ⅰ）解不等式；

（Ⅱ）若对任意的实数总存在，使得对任意恒成立，求实数的最小值.

解：（1）：。。。。。。。。。。。。。。4分

   （2）条件转化为。。。。。。。。。。。。。。。。。（7分），

由对称性知，只需考虑当的情形，

①当即时，则，那么

，

解得。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（10分）。

②当时即

，

解得。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（13分），

综上。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（15分）

22.已知函数，．

（1）判断的单调性，并证明之；

（2）若存在实数，，使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围．

【详解】（1）由，得，所以的定义域为，

在区间上为增函数，在区间上为减函数，。。。。。。。。。。3分

证明如下：

任取，则

∵，

∴，即

故，所以在区间上为减函数，。。。。。。。。。。（6分）

同理可证，在区间上为增函数. 。。。。。。。。。。。（7分）

综上所述：在区间上为增函数，在区间上为减函数.

（2）由（1）知为偶函数，且在区间上为增函数，

若存在，使得函数在区间上的值域为，即，

则方程，即在区间上有两个不同的根，

设，必有，解得，

因为偶函数，则在区间上存在实数，，使得函数在区间上的值域为，则有，。。。。。。。。。。。。。。（11分）

若存在，使得函数在区间上的值域为，

则有，或，

所以，则，

若或，则或，

即方程有两个根，，其中，

因，其对称轴为，

故不存在实数，满足题意，。。。。。。。。。。。。。。。。。。（14分）

综上所述：实数的取值范围为.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（15分）