2020淮安高中教学协作体高二上学期期中考试数学试题含答案

淮安市高中教学协作体2019—2020学年度第一学期期中考试

高二数学试卷

考试时间为120分钟，满分150分      命题人  

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给出的四个选项中，

只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1. 命题“，”的否定为         （  ）

A．， B．，

C．， D．，

2.“”是“”的            条件.  （  ）

A．充分不必要条件;          B．必要不充分条件

C．充要条件;                D．既不充分也不必要条件

3.不等式的解集为                         （  ）

A、   B、       C、    D、

4.已知等比数列中，，，则 等于      （  ）

A、                B、4            C、                  D、不确定

5.下列命题正确的是                                       (   ) 

A．若，则　　　　  B．若，则　　

C．若，则      D．若，则

6．下列命题正确的个数为                                 （    ）

（1）已知定点满足，动点满足，则动点的轨迹是椭圆；

（2）已知定点满足，动点满足，则动点的轨迹是

一条射线；

（3）当时，曲线：表示椭圆；

（4）曲线方程的化简结果为.

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

7.若分别是双曲线的左、右焦点,为双曲线上一点,且,

则的长为                                              (   )

A． B．或 C． D．

8. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，

过的直线交椭圆于两点.若周长是，则该椭圆方程是(    )

A． B．

C． D．

9. 已知等差数列的前项和为，若，，则等于（   ）

A.2 B.3 C.4 D.8

10. 已知等差数列中,首项为（）,公差为,前项和为,

且满足,则实数的取值范围是                   (    )

A. ;    B.     C.     D.

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共计30分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

11.若双曲线的焦距为8，点在其渐近线上，则双曲线的方程

为              

12.设为等差数列的前项和,若,则           

13．已知椭圆，长轴在轴上.若焦距为，则等于       

14. 若函数，则该函数的最小值为          

15. 已知椭圆的左、右焦点分别为,是短轴的一个端点

若为钝角，则椭圆离心率的取值范围是           .

16.已知数列，记数列的前项和为 ，若对任意的，

恒成立，则实数的取值范围          

三、解答题（本大题共5小题，12分+12分+14分+16分+16分，共计70分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分12分）

已知等差数列中，，．

（1）求，；

（2）设，求数列的前项和．

18.（本小题满分12分）

设数列的前项和为，数列为等比数列，且，.

（1）求数列和的通项公式;

（2）设,求数列的前项和.

19．(本小题满分14分)

（1）解不等式：

（2）若关于的不等式的解集为,求实数的取值范围;

（3）若对一切,均有成立,求实数的取值范围.

20. （本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右顶点，是上顶点，是左焦点， 为线段上一点，且 ．

（1）若椭圆的离心率为，且的面积为，求椭圆的方程；

（2）若直线与直线的交点恰在椭圆上，求椭圆的离心率．

21. （本小题满分16分）

某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为（米），外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）为（米）.

⑴求关于的函数关系式，并指出其定义域；

⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过14米，则其腰长应在什么范围内？

⑶当防洪堤的腰长为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.

淮安市高中教学协作体2019—2020学年度第一学期期中考试

高二数学试卷参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）

1.A    2.B   3. B   4. C    5. D    6.C    7. C     8. A    9. B     10. D

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共计30分．

11. ;  12. 1; 13．7;  14. 4; 15.; 16.或.

三、解答题（本大题共5小题，12分+12分+14分+16分+16分，共计70分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分12分）

已知等差数列中，，．

（1）求，；（2）设，求数列的前项和．

解：（1）由                               …………2分

可解得：，.                            ……………6分

 （2）由（1）可得，所以，         …………8分

    所以          …………12分

18. （本小题满分12分）

设数列的前项和为，数列为等比数列，且，.

（1）求数列和的通项公式;（2）设,求数列的前项和.

解:（1）当时,,

当时,,

所以,, ………………3分

设数列的公比为,因为,所以,

因为,所以,,

所以,所以,                       ……………………6分

（2）,所以

………8分

又

两式相减得       ………10分

，所以 ………12分

19．(本小题满分14分)

（1）解不等式：

（2）若关于的不等式的解集为,求实数的取值范围;

（3）若对一切,均有成立,求实数的取值范围.

解:（1）原不等式等价于，                          ……………2分

等价于， 所以原不等式的解集为.……4分

（2）当时，原不等式是，恒成立，符合题意；   …………………5分

当时，不等式是二次不等式，结合二次函数图象，得

，即，解得，   …………………7分

综上所述，实数的取值范围是               …………………8分

（3）不等式可等价转化为对恒成立,

即对恒成立,                      ……………………10分

设,则

,

因为,所以,所以

（当且仅当等号成立）,所以,           …………………13分

所以，所以实数的取值范围是.           …………………14分

20. （本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右顶点，是上顶点，是左焦点， 为线段上一点，且 ．

（1）若椭圆的离心率为，且的面积为，求椭圆的方程；

（2）若直线与直线的交点恰在椭圆上，求椭圆的离心率．

解：（1）设，其中，

∵椭圆的离心率为，∴，即，                   …………2分

又∵的面积为，∴，即，  …………4分

又，∴，即，∴，

∴椭圆的方程为；                                 …………6分

（2）由，，得直线，               …………8分

∵,且，∴

∴，得，              ……………10分

∴直线，              ………………………………………12分

联立方程组，解得，所以，………14分

∵点恰在椭圆上，∴，即，

化简得  ，即，

又， ∴                                  …………16分

21. （本小题满分16分）

某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为（米），外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）为（米）.

⑴求关于的函数关系式，并指出其定义域；

⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过14米，则其腰长应在什么范围内？

⑶当防洪堤的腰长为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.

解：⑴∵,∴,,

，

, ,                          …………………4分

又∵，∴,

∴；                           ……………………6分

⑵得,

∵, ∴腰长的范围是.             …………………10分

⑶∵，

∴，当且仅当即时等号成立．

∴外周长的最小值为米，此时腰长为米.         …………………16分.