2021广安武胜烈面中学校高二下学期开学考试数学（理）试题含答案

2020-2021学年度烈面中学2019级高二下学期入学考试

数学试题（理科）

第I卷（选择题）

一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．命题“，或”的否定形式是（   ）

A. ， B. ，或

C. ，或 D. ，

2．过点（﹣1，1）的抛物线的标准方程为（　　）

A．y2＝x B．y2＝﹣x 

C．x2＝y D．y2＝﹣x或x2＝y

3．下列四条直线，其倾斜角最大的是（　　）

A．x+2y+3＝0 B．2x﹣y+1＝0 C．x+y+1＝0 D．x+1＝0

4．平行线和的距离是（ ）

A.  B. 2 C.          D.

5．某学校高三年级有学生1000人，按1-1000编号，采用系统抽样从中抽取50人进行视力调查，在编号为1-20这一组中采用抽签法抽到7号，那么抽到的最大编号是

A．997        B．993      C．987     D．983

6．若直线与曲线有且只有两个公共点，则的取值范围是（ ）

A．    B．    C．    D．

7．一个不透明的袋子中装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为0，1，2，3.现甲从中摸出1个球后放回，乙再从中摸出1个球，谁摸出的球上的数字大谁获胜，则甲、乙各摸一次球后，甲获胜且乙摸出的球上数字为偶数的概率为（    ）

A． B． C． D．

8．已知直线与抛物线C：相交于A，B两点，O为坐标原点，，的斜率分别为，，则（    ）

A． B． 

C． D．

9．执行程序框图，如果输入的n是5，则输出的p是（　　）

A．1 B．2      C．3       D．5

10．抛物线的焦点到双曲线的渐近线距离是（     ）

A． B． 

C． D．

11．．已知动圆P与定圆C：（x﹣2）2+y2＝1相外切，又与定直线l：x＝﹣1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是（　　）

A．y2＝4x B．y2＝﹣4x C．y2＝8x D．y2＝﹣8x

12．已知点F是椭圆的一个焦点，点P是椭圆C上的任意一点且点P不在x轴上，点M是线段PF的中点，点O为坐标原点．连接OM并延长交圆x2+y2＝a2于点N，则△PFN的形状是（　　）

A．锐角三角形 B．直角三角形 

C．钝角三角形 D．由点P位置决定

第II卷（非选择题）

二、填空题（每小题5分，共20分，将答案填写在答题卡对应的横线上）

13．高中三年级甲、乙两班各选出7名学生参加高中数学竞赛，他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如下，其中甲班学生成绩中位数为81，乙班学生成绩的平均数为86，则_______________.

14．若点在圆的内部，则实数a的取值范围是______________．

15．同时掷两颗骰子，则向上的点数之差是2的概率是_____________.

16．已知点Q（x0，1），若上存在点，使得∠OQP＝60°，则的取值范围是________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（12分）已知直线l：3x+4y-2=0

（Ⅰ）求经过直线l与直线x+3y-4=0的交点P，且垂直于直线x-2y-1=0的方程；

（Ⅱ）求直线l与两坐标轴围成的三角形的内切圆的方程．

18．（12分）某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格．数据分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30 .第6小组的频数是7.

（I）求这次铅球测试成绩合格的人数；

（II）若参加测试的学生中9人成绩优秀，现要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知学生、的成绩均为优秀，求两人、至少有1人入选的概率.

19．（12分）已知椭圆经过点，其离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若不经过点的直线与椭圆相交于两点，且，证明：直线经过定点．

20．（12分）已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点.

（1）若直线的倾斜角为，求线段的长；

（2）若，求的长.

21．（12分）已知，分别是椭圆的左、右焦点.

（1）若P是第一象限内该椭圆上的一点，，求点P的坐标；

（2）设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.

22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，圆的方程为.

（1）求圆的直角坐标方程；

（2）若点，设圆与直线交于点，求的最小值.

2020-2021学年度烈面中学2019级高二下学期入学考试

数学试题（理科）参考答案

1．D    2．D    3  A．   4.  B     5．C     6．C   

7．A    8．C    9．D     10．C    11．C    12． B．

13．5     14．(0，4)    15．    16．

【详解】由题意画出图形如图：点Q（x0，1），要使圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得

∠OQP＝60°，则∠OQP的最大值大于或等于60°时一定存在点P，使得∠OQP＝60°，而当QP与圆相切时∠OQP取得最大值，此时OP＝1，＝．图中只有Q′到Q″之间的区域满足|QP|≤，∴x0的取值范围是．故答案为

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，数形结合是快速解得本题的策略之一，属于中档题.

17．（Ⅰ）2x+y+2=0（Ⅱ）（x-）2+（y-）2=．

解：（Ⅰ）联立得：，解得：，∵所求直线与x-2y-1=0垂直，

∴可设所求直线的方程为2x+y+c=0，把点P的坐标（-2，2）代入得 2×（-2）+2+c=0，

即c=2，则所求直线的方程为2x+y+2=0；

（Ⅱ）对于直线l：3x+4y-2=0，令x=0，得到y=；令y=0，得到x=，

可得直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是、，

∴直线l与两坐标轴围成的三角形的半径为（+-）=，圆心坐标为（，），

则直线l与两坐标轴围成三角形的内切圆方程为（x-）2+（y-）2=．

考点：直线方程，圆的方程。

18．（I）36；（II）

解析：（1）第6小组的频率为，

∴此次测试总人数为：（人）

∴第4、5、6组成绩均合格，人数为（人）

（2）设成绩优秀的9人分别为，则选 出的2 人所有可能的情况为：

共36种，其中至少有1人入选的情况有15种．

∴两人至少有1人入选的概率为

考点：频率分布直方图；古典概型及其概率的求解．

19． （1）（2）直线经过定点

解：（1）∵椭圆经过点，其离心率为．

∴，，∴．    ∴

故椭圆的方程为：；

（2）依题意直线的斜率存在，设不经过点的直线方程为：

，，，

由得，

．

，．

，．

．

，

，或，

∵直线不经过点，∴．  此时，直线经过定点

【点睛】 本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想，是一道综合题．

20．（1）；（2）.

【详解】 （1）设点、，抛物线的焦点为，

由于直线过点，且该直线的倾斜角为，则直线的方程为，

联立，消去并整理得，，

由韦达定理可得，由抛物线的焦点弦长公式可得；

（2）设点、，

由题意可知，直线不可能与轴重合，设直线的方程为，

联立，消去并整理得，，

由韦达定理可得，，

，可得，，，则，

，因此，.

【点睛】有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

21．（1）；（2）.

【详解】  （1）因为椭圆方程为，所以，，，

可得，，

设（，），

则，

所以，

联立

解得，即.

（2）显然不满足题意，可设l的方程为，

，，

联立，

由，得.

，.

又为锐角，即，

即，，

，

可得.又，即为，

解得.

【点睛】解答本题的关键是由为锐角，联想到，再利用数量积的坐标运算和韦达定理得到关于的不等式，解不等式即得解.

22．解析：（1）由得，化为直角坐标方程为，即；

（2）将的参数方程代入圆的直角坐标方程，得

由，故可设是上述方程的两根，

所以，又直线过点，故结合的几何意义得

所以的最小值为

考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化及直线参数方程在求最值中的应用.