2021四川省仁寿一中校南校区高二下学期第二次质量检测（5月）理数试题含答案

这是一份2021四川省仁寿一中校南校区高二下学期第二次质量检测（5月）理数试题含答案
5月数学理科试题廖建忠 李双全 郭磊 陈正斌1. 已知集合，则( )A． B． C． D． 答案：C2. 设i是虚数单位，复数eq \f(a＋i,2－i)是纯虚数，则实数a＝(　　)A．2 B.eq \f(1,2) C．－eq \f(1,2) D．－2解析：因为eq \f(a＋i,2－i)＝eq \f(（a＋i）（2＋i）,5)＝eq \f(（2a－1）＋（a＋2）i,5)是纯虚数，所以2a－1＝0且a＋2≠0，所以a＝eq \f(1,2).答案：B3. 为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(　　)A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数解析：统计问题中，体现数据的稳定程度的指标为数据的方差或标准差．故选B.答案：B4. (1－x)·(＋2)4的展开式中的系数是A.10 B. 34 C. 8 D.－14选：C5. 函数f(x)＝的大致图象为 答案B6. 某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取名同学参加课外知识测试，测试共道题，每答对一题得分，答错得分.已知每名同学至少能答对道题，得分不少于分记为及格，不少于分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则下列说法正确的是（ ）A．该次课外知识测试及格率为 B．该次课外知识测试得满分的同学有名C．该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数D．若该校共有名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有名选：C7. 高二年级五位数学教师“陈雪梅，王杰，周建军，郭磊，陈正斌”站成一排照相，其中陈正斌与郭磊一定相邻，但是都不与陈雪梅相邻的概率是（ ）A. B. C. D. 答案：D8. 已知函数，则对任意实数是A．充分且必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．不充分且不必要条件答案A9. 已知双曲线，斜率为的直线交双曲线于、，为坐标原点，为的中点，若的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）A． B． C． D．答案：D10. 已知函数的部分图象如图所示，则关于函数下列说法正确的是（ ）A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．在区间上是增加的D．将的图象向右平移个单位长度可以得到的图象【答案】C11. 如图所示的程序框图是为了求出满足1＋3＋5＋…＋n≤2020的最大正奇数n的值，那么在框中，可以填A.“输出i－4” B.“输出i－2” C.“输出i－1” D.“输出i”【答案A 12. 已知正方体的棱长为，为的中点，下列说法中正确的是（　　 ）A．与所成的角大于B．点到平面的距离为C．三棱锥的外接球的表面积为D．直线与平面所成的角为【答案】D13.若4进制数2m01(4)(m为正整数)化为十进制数为177，则m＝ 。答案:314.下图是一个由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一个颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方法有________种．解析：如图所示，设四个直角三角形依次为A，B，C，D，下面分两种情况：(1)A，C不同色(注意：B，D可同色，也可不同色，D只要不与A，C同色即可，所以D可以从剩余的2种颜色中任意取一色)，有4×3×2×2＝48(种)不同的涂色方法．(2)A，C同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色即可，所以D可以从剩余的3种颜色中任意取一色)，有4×3×1×3＝36(种)不同的涂色方法，综上，共有48＋36＝84(种)不同的涂色方法．答案：84【答案】8415. 在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=,,若,且. 则的值为 答案：1/316. 已知且满足1，则的最小值为_____． 【答案】17.已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝eq \f(an,n).(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{an}的通项公式．解：(1)由条件可得an＋1＝eq \f(2（n＋1）,n)an.将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4……….3分(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得eq \f(an＋1,n＋1)＝eq \f(2an,n)，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．….8分(3)由(2)可得eq \f(an,n)＝2n－1，所以an＝n·2n－1…………..10分18. 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了至月份每月号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下数据资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这组（每个有序数对叫作一组）数据中随机选取组作为检验数据，用剩下的组数据求线性回归方程.（Ⅰ）求选取的组数据恰好来自相邻两个月的概率；（Ⅱ）若选取的是月和月的两组数据，请根据至月份的数据，求出关于的线性回归方程；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（Ⅱ）中所得到的线性回归方程是否是理想的？参考公式：.【答案】（1）；（2）；（3） 该小组所得线性回归方程是理想的.【解析】分析：(1)该题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有种情况，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，根据古典概型的概率公式得到结果；(2)根据所给的数据，求出的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和的平均数代入求的公式，求出的值，写出回归直线方程；(3)根据所求的回归直线方程，预报当自变量为10和6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值作差，差的绝对值不超过2，得到回归直线方程是理想的.详解：(1)设抽到相邻两个月的数据为事件A.因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况,每种情况都是等可能出现的，其中,抽到相邻两个月的数据的情况有5种 ，所以 (2)由数据求得 , 由公式求得,再由 所以关于的线性回归方程为 (3)当时,同理, 当时, ,,所以,该小组所得线性回归方程是理想的.19. 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面底面ABCD，且，设E、F分别为PC、BD的中点．(1)求证：平面PAD；(2)求证：面平面PDC；(3)求二面角的正切值．20. 如图所示，在中，，，，.（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）若为的中点，求.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）.【详解】（Ⅰ）设，则，则，，，，.（Ⅱ）由题结合（Ⅰ）可得，，，，，，，.21. 已知点F(eq \r(3)，0)是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个焦点，点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(1,2)))在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C交于不同的A，B两点，且kOA＋kOB＝－eq \f(1,2)(O为坐标原点)，求直线l斜率的取值范围．解：(1)由题可知，椭圆的另一个焦点为(－eq \r(3)，0)，所以点M到两焦点的距离之和为 eq \r([\r(3)－（－\r(3)）]2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－0))\s\up12(2))＋eq \f(1,2)＝4，所以a＝2.又因为c＝eq \r(3)，所以b＝1，则椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.(2)当直线l的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，kOA＋kOB＝0，不符合题意．故设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0.所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(8km,4k2＋1)，,x1x2＝\f(4（m2－1）,4k2＋1)，))而kOA＋kOB＝eq \f(y1,x1)＋eq \f(y2,x2)＝eq \f(（kx1＋m）x2＋（kx2＋m）x1,x1x2)＝2k＋eq \f(m（x1＋x2）,x1x2)＝2k＋eq \f(－8km2,4（m2－1）)＝eq \f(－2k,m2－1)，由kOA＋kOB＝－eq \f(1,2)，可得m2＝4k＋1.所以由m2≥0得k≥－eq \f(1,4).又因为Δ>0，即16(4k2－m2＋1)>0，所以4k2－4k>0.综上，k∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))∪(1，＋∞)．22. 已知函数（1）证明：在区间存在唯一极小值点；（2）证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1），然后分别证明当时，，当时，，即可得在区间存在唯一极小值点；（2）首先证明，然后即证，然后利用导数证明的最大值为0即可.【详解】（1）证明：，当，则，，，又因为，所以，所以在单调递增.当，，令，，又因为，所以在单调递减，所以，所以，即，又因为，所以，所以在单调递减.又因为，所以在区间存在唯一极小值点（2）因为，①，令，则，所以在递减，所以，即当.要证①，只需证令，，令，所以，所以在单调递减，又因为，，所以，使，即，，所以当，，单调递增，当，，单调递减，所以，所以原不等式得证日期月日月日月日月日月日月日昼夜温差就诊人数