2020省大庆四中高三下学期第四次检测数学（理）试题含答案

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大庆四中2019～2020学年度高三年级第四次校内检测理科数学试题   考试时间：120分钟   分值：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上；条形码粘贴在指定位置．2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净再选涂其它答案标号．在试卷纸上作答无效．如需作图先用铅笔定型，再用黑色签字笔描绘。一､选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则(    )  A.   B.       C.      D. 2.已知为虚数单位,复数满足,则(    )  A.       B.      C.   D.3.设，则“”是“”的(    )  A.充分而不必要条件      B必要而不充分条件       C 充要条件              D. 既不充分也不必要条件4. 已知菱形的边长为，,则(    )     A.           B.          C.          D. 已知等差数列的前项和为,若则公差等于(    )  A.      B.          C.1          D.2函数的部分图象大致是(    )      7.甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击10次．四人测试成绩对  应的条形图如下：  以下关于四名同学射击成绩的数字特征判断不正确的是(    )                  A．平均数相同 B．中位数相同  C．众数不完全相同   D．丁的方差最大8. 已知角的终边在直线上，则(    )
   A．      B．       C．      D．9. 设，，，则(    )   A.        B.      C.         D.双曲线右支上一点，A为左顶点，为右焦点，若     为等边三角形，则双曲线的离心率为(    )   A.            B.             C.            D.在棱长为6的正方体中，点E，F分别是棱，的中点，过A，   E，F三点作该正方体的截面，则截面的周长为(    )   A.  B.  C.  D. 12. 定义在上函数满足，且当时，. 则使得在上恒成立的的最小值是(    )A.        B.        C.         D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中的横线上） 二项式展开式中的常数项为__________甲乙两名运动员各自等可能的从红、白、蓝3种颜色的运动服选择1种，则他们选择     相同颜色运动服的概率为___________15. 网上购鞋常常看到下面的表格：脚长220225230235240245250255260265鞋号34353637383940414243   请根据表格归纳出和的关系式______________;   如果一个篮球运动员的脚长为，根据计算公式，他该穿的鞋的鞋号为_____号 如图，平面四边形ACBD中，，，，      为等边三角形，现将沿AB翻折,使点D移动至    点P，且，则三棱锥的外接球的表面积为_____ 三．解答题：（本大题满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）(本小题满分12分)   在△中，三内角，，对应的边分别为，，，若   且为锐角，   （Ⅰ）求；   （Ⅱ）已知，，求△的面积.    18.（本小题满分12分）  如图,在四棱锥中,底面为长方形,⊥底面 , ,  ，,为的中点,为线段上靠近点的三等分点｡  (1)求证:⊥平面  (2)求平面与平面所成二面角的正弦值｡    19.(本小题满分12分)  在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，学生线上学习。某校数学教师为了调查高三学   生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪   问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中    数学平均成绩不足120分的占，统计成绩后得到如下列联表： 分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时 419线上学习时间不足5小时   合计  45  (1)请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上     学习时间有关”；  (2)(i)按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两       组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是X，     求X的分布列（概率用组合数算式表示）；（ii）若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽  取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.            （下面的临界值表供参考） 0.100.050.0250.0100.0050.001 2.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式 ,其中n=a+b+c+d.）  20．设椭圆 =1的右顶点为A,上顶点为,已知椭圆的离心率为，       (1).求椭圆的方程   (2).设直线与椭圆交于两点，与直线交于点，且点均      在第四象限．若的面积是面积的倍，求的值．     21.已知函数=+，曲线在点处的切线方程为．
   Ⅰ求a、b的值；
   Ⅱ证明：当，且时，     22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线．（1）求的普通方程；（2）设为圆上任意一点，求的最大值．      23.（本小题满分10分）选修4–5不等式选讲已知函数（其中实数）（Ⅰ）当，解不等式；（Ⅱ）求证：.
大庆四中2019～2020学年度高三年级第四次校内检测理科试题答案一．选择题  1-5 CAADD   6-10 BDADB  11-12 DD 二．填空题  13. 240    14.    15.47     16. 解答题 17题答案 解（Ⅰ）由，得  .所以，或.因为为锐角，所以，即，故.    …………5分（Ⅱ）由，得.  因为，所以①.根据正弦定理，，及，，，       得，所以，   ②.       ①代入②，得，所以.所以的面积等于.     …………12分 19.解： 分数不少于120分分数不足120分合计每周线上学习数学时间不少于5小时15419每周线上学习数学时间不足5小时101626合计252045由列联表可知：
，
所以有的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”
由分层抽样知，需要从分数不足120分的学生中抽取，
又分数不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数为16人．
设抽取的20人中每周线上学习时间不足5小时的人数的X，
所以X的可能取值为0，1，2，3，1，2，3，，
X的分布列为：X01234P从全校数学成绩不少于120分的学生中随机抽取1人
此人每周上线时间不少于5小时的概率为，
设从全校数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为Y，则，
故E，．  解：设椭圆的焦距为2c，由已知有，又由，可得．
  由，从而．所以，椭圆的方程为．设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，，点Q的坐标为．  由的面积是面积的2倍，可得，从而，即．  易知直线AB的方程为，  由方程组消去y，可得，   由方程组消去y，可得．  由，可得，两边平方，整理得，
  解得或．  当时，，不合题意，舍去；  当时，，符合题意．  所以，k的值为．     21.Ⅰ．由于直线的斜率为，且过点
   所以   解得，
Ⅱ由知，所以
   考虑函数，  则
   所以当时，而，
    当时，可得；  当
   从而当且时，   22.（1）消去参数得的普通方程为，······································1分消去参数得的普通方程为．·········································2分联立消去得，····················································3分所以的普通方程为（）．···········································5分（2）依题意，圆心的坐标为，半径．·································6分由（1）可知，的参数方程为（为参数，且），···························7分设（），则，························································8分当时，取得最大值，···············································9分又，当且仅当三点共线，且在线段上时，等号成立．所以．························································10分23.解析：（Ⅰ）由条件知时，于是原不等式可化为①；②；③解①得；解②得；解③得，所以不等式的解集为…………5分（Ⅱ）由已知得当且仅当时，等号成立，于是原不等式得证.                    ………10分