2021福建省罗源一中高三10月月考数学试题含答案

2020—2021学年上学期高三数学10月份月考

一、单选题（每小题5分）

1．复数（为虚数单位）的虚部是（  ）

A. -1 B. 1 C.  D.

2．是的(   )条件.

A.充分不必要条件     B.必要不充分条件     C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

3．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，则θ等于（  ）

A．－            B．－            C.                  D.

4．函数的图象大致为（   ）

5．已知a>0且a≠1，函数f(x)＝在R上单调递增，那么实数a的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞)     B．(0，1)      C．(1，2)     D．(1，2]

6．已知△ABC中，AB＝2，B＝，C＝，点P是边BC的中点，则·等于(　　)

A．1         B．2          C．3      D．4

7．若函数f(x)＝sin(ω>0)在[0，π]上的值域为，则ω的最小值为(　　)

A.         B．          C.      D．

8．在中，已知点P在线段BC上，点Q是AC的中点，，，则的最小值为（   ）

   A．           B．4            C.                 D.   

二、多选题（每小题5分，部分选对得3分）

9．在中，角，，的对边分别为，，，则下列结论中正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则是等腰三角形

C．若，则是直角三角形

D．若，则是锐角三角形

10．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（  ）

A．若，则点是边的中点

B．若，则点在边的延长线上

C．若，则点是的重心

D．若，且，则的面积是的面积的

11．要得到函数的图像，只需将函数的图像上所有的点（   ）

A．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的（纵坐标不变）

B．先向左平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）

C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度

D．横坐标伸长到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度

12．设函数f(x)＝sin(ω＞0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：

A．f(x)在(0，2π)上有且仅有3个极大值点   B．f(x)在(0，2π)上有且仅有2个极小值点

C．f(x)在上单调递增               D．ω的取值范围是

其中所有正确结论是(　　)

三、填空题（每小题5分）

13．若满足约束条件，则的最小值为_________．

14．已知平面向量a，b满足a＝(1，)，|b|＝3，a⊥(a－b)，则a与b夹角的余弦值为________．

15．已知函数f(x)＝，若f(a－1)f(－a2＋1)，则实数a的取值范围是_____

16．在面积为2的中，，分别是，的中点，点在直线上，则的最小值是______.

四、解答题（第17题10分，第18——22题每题12分）

17．化简下列各式并求值：

（1）；

（2）已知，求的值.

18．已知函数的部分图象如图所示.

（1）求，和的值；

（2）求函数在上的单调递减区间；

19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝＋.

(1)求角B的大小；

(2)若b＝，求△ABC的面积的最大值．

20．如图，已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且asin A＋(c－a)sin C＝bsin B，点D是AC的中点，DE⊥AC，交AB于点E，且BC＝2，DE＝.

(1)求B；

(2)求△ABC的面积．

21．已知二次函数.

（1）求在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性。

22．已知向量，向量，函数.

（1）求函数在区间上的最大值和最小值以及取得最值时x的值；

（2）求证：存在大于的正实数，使得不等式在区间有解.（其中为自然对数的底数）

1、B

2、B

3、D

4、A

5、D.

6、B.

7．A.

8、C

9、AC

10．ACD

11、BC

12．ACD

13．

14．

15．[－2，1] .

16、

17、【详解】

(1).

(2)∵，

又，∴原式.

18．【详解】

（1）由题可得，，则，

当时，取得最大值，则，

所以，

又因为，故；

（2）由（1）可知，

令，，

则，，

故的单调递减区间为，，

则在，上的单调递减区间为，；

19．解：(1)利用正弦定理，得＝，即＝cos C＋sin C，

则sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin Bcos C＋sin Bsin C，又sin C≠0，

所以tan B＝1，又0＜B＜π，∴B＝.

(2)△ABC的面积S＝acsin B＝ac，

所以当ac最大时，S最大．

由已知及余弦定理，得2＝a2＋c2－2accos＝a2＋c2－ac≥2ac－ac，

所以ac≤＝2＋，当且仅当a＝c时取等号，所以△ABC的面积的最大值为×(2＋)＝.

20．解：(1)∵asin A＋(c－a)sin C＝bsin B，∴a2＋(c－a)·c＝b2，即a2＋c2－b2＝ac，

∵cos B＝＝＝，0<B<π，∴B＝60°.

(2)连接EC(图略)，D是AC的中点，又DE⊥AC，∴AE＝CE＝＝，∠A＝∠ECD，∠BEC＝2∠A，在△BCE中，＝，即＝，即化简整理得：cos A＝，∵0<A<π，∴A＝45°，∠BEC＝2∠A＝90°，即CE⊥AB，AB＝AE＋BE＝＋1.∴S△ABC＝AB·CE＝(＋1)·＝.

21试题解析：（1）

（2）

当时，在上恒正；

所以，在上单调递增

当时，由得，

所以当时，单调递减

当时，单调递增.

综上所述，

当时，在上单调递增；

当时，

  当时，单调递减；

  当时，单调递增.

22、【详解】

（1），，，，

因此，函数在区间上的最大值为，最小值为；

（2）存在大于的正实数，使得不等式在区间有解，

即存在大于的正实数，使得不等式在区间有解，

令，，

则当时，函数单调递增，函数单调递增，

又，，，，

函数与函数在有且仅有一个交点，

故存在大于的正实数，使得不等式在区间有解.