2021重庆强基联合体高三下学期质量检测数学试题含答案

一. 单项选择题（每小题5分，共8小题，合计40分）

1．已知集合，，若，则实数的取值为（    ）

A．1 B．-1或2 C．2 D．-1或1

2．下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

3．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有，，．据此，可得正项等比数列中，（    ）

A． B． C． D．

4．已知M是△ABC内的一点，且，，若△MBC, △MCA和△MAB的面积分别为，则的最小值是（    ）

A．12 B．14 C．16 D．18

5．在△ABC中，满足，则下列说法中错误的是（    ）

A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．△ABC可能为等腰

6．已知复数和满足，，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

7．俄国著名飞机设计师埃格•西科斯基设计了世界上第一架四引擎飞机和第一种投入生产的直升机，当代著名的“黑鹰”直升机就是由西科斯基公司生产的。年，为了远程性和安全性上与美国波音竞争，欧洲空中客车公司设计并制造了A340，是一种有四台发动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的A310.假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1-p，且各引擎是否有故障是独立的，已知A340飞机至少有个引擎正常运行，飞机就可成功飞行； A310飞机需要个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行.若要使A340飞机比A310飞机更安全，则飞机引擎的故障率应控制的范围是（    ）

A． B． C． D．

8．已知在上的函数满足如下条件：① 函数的图象关于轴对称；② 对于任意，；③ 当时，；④ 函数，，若过点的直线与函数的图象在上恰有8个交点，在直线斜率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二．多项选择题（每小题5分，共4小题，合计20分；其中选不全得2分，错选或不选得0分）

9．关于双曲线，下列说法正确的是（    ）

A．该双曲线与双曲线有相同的渐近线

B．过点作直线与双曲线交于两点，若，则满足条件的直线只有一条

C．若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率

D．过点能作4条直线与双曲线仅有一个交点

10．若，且，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．展开式中二项式系数和为

C．展开式中所有项系数和为

D．

11．当时，函数与的图象恰有三个交点，且△PMN是直角三角形，则（    ）

A．△PMN的面积 B．

C．两函数的图象必在处有交点 D．

12．对于定义在上的函数，若存在正实数，，使得对一切均成立，则称是“控制增长函数”.在以下四个函数中是“控制增长函数”的有（    ）

A． B． C． D．

三．填空题（每小题5分，共20分）

13．已知△ ABC的顶点坐标分别为，则内角的角平分线所在直线方程为________.

14．设随机变量 ，函数没有零点的概率是，则________.

附：若 ，则，.

15．如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形的斜边、直角边、，为的中点，点在以为直径的半圆上.已知以直角边，为直径的两个半圆的面积之比为3，              ，则______．

16．矩形中，，现将△ACD沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为__________；设二面角的平面角为，当在内变化时，的范围为__________.（第一空3分，第二空2分）

四．解答题（共6小题，合计70分）

17．（本题10分）① 对任意，满足；② ()；③ （）.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.问题:已知数列的前n项和为__________，若数列是等差数列，求出数列的通项公式；若数列不是等差数列，说明理由.

18．（本题12分）某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为.

（1）求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；

（2）为提高生产效益，该企业决定招聘n名维修工人及时对出现故障的生产线进行维修。已知每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元.此外，统计表明，每月在不出故障的情况下，每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润，以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？（实际获利=生产线创造利润-维修工人工资）

19．（本题12分）在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，，，，，，为的中点，且点满足.

（1）证明：平面.

（2）当多面体的体积最大时，求二面角的余弦值.

20．（本题12分）在△ABC中，且，，均为整数.

（1）求的大小；

（2）设的中点为，求的值.

21．（本题12分）已知在平面直角坐标系中，圆A：的圆心为A，过点任作直线l交圆A于点C、D，过点B作与AD平行的直线交AC于点E.

（1）求动点的轨迹方程；

（2）设动点E的轨迹与轴正半轴交于点，过点且斜率为k1，k2的两直线交动点的轨迹于两点（异于点），若，证明：直线过定点.

22.（本题12分）已知函数的定义域为.

（1）当取得最小值时，记函数在处的切线方程为.若恒成立且，求的最大值；

（2）若有两个极值点和，求证：

1．解：因为所以，当时，，，不满足元素互异性，不成立；当时，或，时，，不满足元素互异性，不成立；时，，，满足条件，所以，故选：C

2．解：对于A选项，当时，不等式不成立，故是假命题；对于B选项，当时，不满足，故为假命题；对于C选项，当时，，不满足，故为假命题.对于D选项，由于，所以，即.故选：D.

3.解：因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，所以正项等比数列中的可由首项和末项表示，因为，所以，所以.故选：C.

4．解：由，，可得，故，即，，且，

故，当且仅当，即时取等，故选C

5．解：若，取，此时三个内角满足，故A正确且D正确.若，则，故，故，故，所以，与内角和为矛盾，故B错误.若， 取，则，

此时三个内角满足，故C正确.故选：B.

6.解：设，则表示点到点的距离是到点距离的倍.则，化简得：，

即复数在复平面对应得点为以为圆心，5为半径的圆上的点.

设，因为，所以点和点距离为3，

所以复数在复平面对应得点为以为圆心，2为半径的圆上的点或以为圆心，8为半径的圆上的点，

表示点和原点的距离，由图可知的最小为3，最大为.故选D

7.解：由题意，飞机引擎正常运行的概率为，则飞机能成功飞行的概率为，

飞机能成功飞行的概率为，令即，解得.所以飞机引擎的故障率应控制的范围是.故选：C.

8．解：因为函数是偶函数，由得，

即，所以函数是周期为的周期函数；若，则；

因为当时，，所以时，，因为函数是偶函数，所以，即，，则函数在一个周期上的表达式为，因为，，所以函数，，

故的周期为，其图象可由的图象压缩为原来的得到，作出的图象如图：

易知过的直线斜率存在，设过点的直线的方程为，

则要使直线与的图象在上恰有8个交点，则，因为，所以，故.故选：A.

9．解：双曲线的渐近线方程可表示为为，双曲线的渐近线方程可表示为，整理后都是，故A正确；

由于双曲线的实轴长为,∴过焦点与左右两支都相交的直线被双曲线截得的弦长的取值范围是,存在关于对称的两种情况，使其弦长为5，另外当直线垂直于x轴时，经计算可得弦长正好是5，故满足条件的直线有三条，如图所示：故B错误；

由于双曲线的渐近线的斜率为，焦点在x轴上，∴若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率，如图所示：故C正确；由于点在双曲线的两条渐近线的上方，如图所示：故过能作4条直线与双曲线仅有一个交点，其中两条与渐近线平行，另外两条与双曲线相切.故选：.

10．解：对于A，令，可得，即，即，①

令，得，即，②由于的展开式中，所以，③

所以①-②-③得：，而，

所以，解得：，故A正确；对于B，由于，则，

所以展开式中二项式系数和为，故B错误；对于C，由于，则的所有项系数为，故C正确；对于D，由于，则，等式两边求导得：，令，则，故D正确.故选：ACD.

11．解：由可得，而，

因为当时，函数与的图象恰有三个交点，且是直角三角形，

所以该直角三角形斜边上的高为，且该直角三角形必为等腰直角三角形，因此斜边为，所以这两个函数的周期都为，则，所以，即B正确；

三角形的面积为，故A错；

当时，，因为这两个函数恰有三个交点，所以，又，所以，故D正确；

因为，所以两函数的图象在处不可能有交点，故C错.故选：BD

12．解：对于A. 可化为，

，不等式在上不恒成立，所以不是“控制增长函数”；

对于B.  可化为，，即恒成立.

又，故只需保证恒成立即可. ，当时，不等式恒成立，是“控制增长函数”；

对于C.  ，时，为任意正数，恒成立，是“控制增长函数”；对于D.  化为，，令 ，则，当时，不等式恒成立，是“控制增长函数”.故选：BCD

13．解：,

∴三角形的内角的平分线的方向向量为,直线的斜率为7，所以直线的方程为,即,

14.解：函数没有零点，二次方程无实根，

，，又没有零点的概率是，，

由正态曲线的对称性知：，，，，，，

15．解：因为以直角边，为直径的两个半圆的面积之比为3，所以,

设，则，且，由已知得：         ，

所以，．所以．故答案为：

16.解：已知矩形中，，在矩形中，连接和交于点，

，，可知点是四面体外接球的球心，则外接球的半径，所以该四面体外接球的体积；

在四面体中，作交于点，交于点，再作交于点，则，所以二面角的平面角为，则，在矩形中，可知，，所以是等边三角形，，

，由四面体可知，，，则，，而

即，

所以当在内变化时，，则，即的范围为.

故答案为：；.

17.解：若选择条件①：因为对任意，，满足，

所以，即，因为无法确定的值，所以不一定等于，

所以数列不一定是等差数列.

若选择条件②：由，则，即，，又因为，所以，

所以数列是等差数列，公差为，因此数列的通项公式为.

若选择条件③：因为所以，

两式相减得，，，即，

又，即，所以，，又，，所以，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列．所以.

18.解：（1）设3条生产线中出现故障的条数为,则,因此

（2）①当时,设该企业每月的实际获利为万元,若,则； 

若,则；若,则；

若,则； 又,,,

此时,实际获利的均值

②当时,设该企业每月的实际获利为万元,若,则；

若,则；若,则；

若,则；

因为,于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据,在与之中选其一,应选用

19.解：（1）分别取中点，连结.

在梯形中，且，且分别为中点

∴， ∴，

∴四边形是平行四边形 ∴

又，为中点，∴为中点，

又为中点  ∴∴

又平面，平面 ∴平面

（2）在平面内，过作交于.

平面平面，平面平面，平面，，

∴平面   ∴即为四棱锥的高，

又底面面积确定，所以要使多面体体积最大，即最大，此时

过点作，易知，，两两垂直，

以为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系

则，，

设为平面的一个法向量，则

，所以，取

设为平面的一个法向量，则

，所以，取

所以，

由图，二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为.

20．解：（1），不能是钝角，

若，，且在内单调递增，

又，都大于，与矛盾，即

（2），又，即由，均为整数，且，可得

则；由正弦定理，可得又的中点为，则，即

即解得，故

21.解：（1）由圆：可得，所以圆心，圆的半径，

因为，所以，因为，所以，可得，所以，所以,由椭圆的定义可得：点的轨迹是以、为焦点，的椭圆，即，，所以，

所以动点的轨迹方程为

（2）由（1）知，，设，，当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，

由 可得，所以，，

因为

，所以，

即，整理可得：，

所以或，当时，直线的方程为：，此时过点不符合题意，

所以，所以直线的方程为：，此时直线过点，

当直线的斜率不存在时，，

，解得，

此时直线的方程为：，过点，

综上所述：直线过定点.

22.解：（1）由题意函数定义域为，所以，即的最小值为，所以，，，所以，因为恒成立，

即恒成立，当时，显然成立，令，则，因为且，所以的最大值为.下证时符合题意.即证，令，则，函数在上单调递增，在上单调递减，，证毕.

（2）令，则，当时，；

当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，由，故和是方程的实根，所以，

所以

，得证。