2023届浙江省“山水联盟”高三上学期8月返校联考数学试题含答案

2023届浙江省“山水联盟”高三上学期8月返校联考数学试题

一、单选题

1．若集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据分数不等式可化简,根据对数型定义域可化简,进而根据集合的交运算即可求解.

【详解】由得，所以，

故选：C

2．已知复数，则复数的共轭复数的虚部是（       ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的除法运算化简得，进而可求其共轭复数.

【详解】由得，所以，故的虚部为，

故选：B

3．已知，则“"是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．既不充分也不必要条件 D．充要条件

【答案】A

【分析】由“"成立可推出即得，反之，由推不出成立，由此可得答案.

【详解】由“"成立可推出，继而可得到；

当时，比如，推不出成立，

故“"是“”的充分不必要条件，

故选：A

4．已知向量，则在方向上的投影向量为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据向量垂直的数量积的值，解得题目中，已知向量的数量积，再根据投影向量的计算公式，可得答案.

【详解】，，则，

在方向上的投影向量为，

故选：B.

5．四棱锥的外接球O的半径为2，平面ABCD，底面ABCD为矩形，，则平面PAD截球O所得的截面面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据外接球的球心到所有顶点距离相等，故可得球心为的中点，即可根据截面的性质求解截面圆半径.

【详解】由题意可知，球心为的中点，因为,所以平面,为的中点,故到平面的距离为,故截面圆的半径为，截面面积为

故选：B

6．在平行四边形中，对角线与交于点，且，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】不妨设（其中）. 在△中，由余弦定理得到，基本不等式得到；在△中，由余弦定理得，即可求出的取值范围

【详解】如图示：

不妨设（其中）.

在△中，由余弦定理得：，

所以，且（当且仅当时等号成立）.

在△中，由余弦定理得：，即，所以.

又且，所以（当且仅当时等号成立）.

即.

所以的取值范围是.

故选：D

7．已知，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】时，令，利用导数得出，有可判断的大小，设，利用导数判断出的单调性可比较的大小，从而可得答案.

【详解】当时，

令，，所以为单调递增函数，

且，所以，

所以，即，所以，

设，，

所以单调递减，得，

可得，

所以，即

.

故选：A.

8．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】换元法得到，由导函数得到单调递增，得到，所以，，构造函数，，求出其极值和最值情况，从而得到实数的取值范围.

【详解】令，则，

则，整理得：，

令，

则在R上恒成立，

故单调递增，

所以，

故，，，

令，，

则，当时，

令得：，

令得：，

所以，

又，，其中，

所以实数的取值范围是.

故选：D

【点睛】求解参数取值范围问题，本题要先通过换元转化得到，，构造函数后，利用导函数研究其单调性和最值情况，从而求出参数的取值范围.

二、多选题

9．若，则（       ）

A．若A，B为互斥事件，则 B．

C．若A，B相互独立，则 D．若，则A，B相互独立

【答案】AD

【分析】利用互斥事件的定义及性质判断A选项；利用和事件的关系判断B选项；利用相互独立事件的定义及性质判断C选项；利用条件概率公式，求解事件A与B的积事件，根据独立事件关系确定A、B的独立性可判断D.

【详解】解：选项A：若A，B为互斥事件，则，，故A正确；

选项B：，故B错误；

选项C：若A，B相互独立，

，故C错误；

选项D：，则A，B相互独立，故D正确；

故选：AD.

10．已知点，若过点的直线交圆于两点是圆上一动点，则（       ）

A．的最大值为

B．点到直线的距离的最大值为4

C．的最小值为

D．的最小值为

【答案】AC

【分析】首先求出圆心坐标与半径，求出，即可得到，从而判断A，再判断在圆内，即可求出点到直线的距离的最大值为，即可判断B，当直线时，弦取得最小值，即可判断C，设，表示出，，利用坐标法求出数量积，再根据辅助角公式计算即可判断D.

【详解】解：圆的圆心为，半径，

又，所以，故A正确；

因为，所以点在圆内，又，

所以点到直线的距离的最大值为，当且仅当直线时取最大值，故B错误；

因为，所以当直线时，弦取得最小值，，故C正确；

设，，所以，，

所以

，其中，

所以当时，故D错误；

故选：AC

11．如图，正方体的棱长为1，点是线段上的动点，则（       ）

A．与不垂直

B．二面角的大小为定值

C．三棱锥的体积为定值

D．若是对角线上一动点，则长度的最小值为

【答案】BCD

【分析】由线面垂直的性质判断A；由二面角判断B；由等积法判断C；将平面沿直线翻折到平面内，作出平面图可求解D

【详解】对于A：由正方体可得，

又平面，平面，

所以，

因为，，，

所以平面，

又平面，

所以，故A错误；

对于B：平面即为平面，平面与平面所成的二面角为定值，

而这两个平面的位置固定不变，故二面角的大小为定值，故B正确；

对于C：因为，为定值，故C正确；

对于D：将平面沿直线翻折到平面内，平面图如下，

过点作，此时的值最小，

由题可知，

，

则，

故，

又，

故长度的最小值为，故D正确；

故选：BCD

12．对于函数和，设，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的值可以是（       ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】由题意，易得，进而得到，结合含参函数，转化为含参方程有解问题，求导，可得答案.

【详解】由题意，可得，，

易知，则，，则在有解，

求导得：，令，解得，可得下表：

则当时，取得最大值为，无最小值，则的取值范围为，

故选：BC.

三、填空题

13．已知的展开式中常数项为20，则___________.

【答案】

【分析】写出的展开式的通项公式，根据题意可得关于m的方程，解得答案.

【详解】由题意可得的展开式的通项公式为 ，

故当时，即时，，

当时，即时，，

故的常数项为，解得，

故答案为：

14．已知数列是等差数列，是等比数列，且.则数列___________.

【答案】

【分析】根据等比数列定义与等差数列定义，可得答案.

【详解】是等比数列，且，公比，且，

即；，解得，

是等差数列，且，公差，

且，

故答案为：.

15．抛物线上的动点到的距离最小值记为，则满足的所有实数的和为___________.

【答案】

【分析】设点，可得出，其中，令，对实数的取值进行分类讨论，利用二次函数的基本性质可得出关于实数的方程，解出的可能取值，即可得解.

【详解】设点，则，

令，其中，

当时，即当时，函数在上单调递增，

所以，，

整理可得，解得或；

当时，即当时，，

整理可得，因为，解得，

因此，满足条件的实数之和为.

故答案为：.

16．如图，在直三棱柱中，，点在棱上运动，则过点且与垂直的平面截该三棱柱所得的截面面积的最大值为___________.

【答案】

【分析】根据线线垂直，证明线面垂直，找到与垂直的平面，从而平面平面，由此能求出过点且与垂直的平面截该三棱柱所得的截面面积的最大值．

【详解】

取中点为，连接，交于，连接，

，，

，，

△，，

，，

，

因为三棱柱是直三棱柱，故平面,平面，

故平面平面，且平面平面,

因为,是中点，故平面,平面，

平面,，

平面,平面，

平面平面，

点在棱上运动，当点运动到点时，此时截面最大，进而面积最大，

此时面积为．

故答案为：．

四、解答题

17．已知.

(1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调递减区间；

(2)若时，方程恰好有三个解，求实数的取值范围

【答案】(1)，单调递减区间为：；

(2).

【分析】（1）利用三角函数恒等变换可得，利用正弦函数的性质即得；

（2）由正弦函数的性质可得，进而即得．

【详解】(1)因为

因为最小正周期，又，

所以，即

令，解得，

所以的单调递减区间为；

(2)因为时，恰好有三个解，

即恰好有三个解，

所以，

即，解得，

所以实数的取值范围是.

18．2022年8月28日“山水联盟”高三开学考试，据统计共有6000名学生参加了联考，其中男生共有3200名，女生共有2800名.为了解考试情况，对6000名学生采取分层抽样的方式抽取60名学生调查数学成绩，其中有29名男生数学成绩优秀，有21名女生数学成绩优秀.

(1)是否有的把握认为“数学成绩是否优秀与性别有关”？

(2)在本次考试抽样调查中从数学成绩没有达到优秀的10人中随机抽取两人做进一步追踪调查，设抽到的女生人数为，求的概率分布列.

参考公式：独立性检验统计量，其中.

临界值表：

【答案】(1)没有的把握认为数学成绩是否优秀与性别有关系

(2)答案见解析

【分析】（1）题中的数据列出二联表，根据卡方的计算公式计算卡方值，与临界值进行即可求解.

（2）根据超几何分布的概率计算，即可求解分布列.

【详解】(1)抽取男生数为，女生数为，

根据列联表：

可以求出

，而

没有的把握认为数学成绩是否优秀与性别有关系.

(2)由题意可知：10名成绩未达到优秀的人中男生有3人，女生有7人，

故，

分布列为：     

19．如图，四棱锥中，为正方形，为等腰直角三角形，且，平面平面，、分别为、中点．

(1)证明：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）要证线面平行，只需在面内找一线与已知线平行即可，连接，根据中位线即可得即可求证；

（2）求线面角则可直接建立空间直角坐标系，写出线向量和面的法向量，然后根据向量夹角公式求解即可.

【详解】(1)连接，

∵是正方形，是的中点，

∴是的中点，

∵是的中点，

∴，

∵平面，平面，

∴平面．．

(2)建立如图所示空间直角坐标系，设，

则，，，，，

，，

设平面的法向量，则，则，

取得，

设与平面所成角为，

则，

所以与平面所成角的正弦值为

20．已知数列的前项和为.

(1)求数列的通项公式；

(2)设为数列的前项和，如果对于任意的恒有，求的最小值.

【答案】(1)；

(2)2

【分析】（1）先由累乘法求出，再由退位相减法求出数列的通项公式即可；

（2）先求出，再由裂项相消法求和，进而求得的范围，即可求解.

【详解】(1)因为，所以，由累乘法得，则，

又，所以，当时，，时，，时也符合，所以；

(2)，则，

又对于任意的恒有，，即的最小值为2.

21．如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；

（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（Ⅰ）椭圆的标准方程为；双曲线的标准方程为

（Ⅱ）=1．（Ⅲ）存在常数使得恒成立，

【详解】试题分析：(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知：，

2a＋2c＝4(＋1)，所以a＝2，c＝2.

又a2＝b2＋c2，因此b＝2.故椭圆的标准方程为＝1.

由题意设等轴双曲线的标准方程为＝1(m＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m＝2，因此双曲线的标准方程为＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则k1＝，k2＝.

因为点P在双曲线x2－y2＝4上，所以x－y＝4.

因此k1·k2＝·＝＝1，即k1·k2＝1.

(3)由于PF1的方程为y＝k1(x＋2)，将其代入椭圆方程得(2k＋1)x2－8kx＋8k－8＝0，

显然2k＋1≠0，显然Δ＞0.由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝.

所以|AB|＝

＝.

同理可得|CD|＝.

则，

又k1·k2＝1，

所以.

故|AB|＋|CD|＝|AB|·|CD|.

因此存在λ＝，使|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立．

【解析】本题考查了圆锥曲线方程的求法及直线与圆锥曲线的位置关系

点评：对于直线与圆锥曲线的综合问题，往往要联立方程，同时结合一元二次方程根与系数的关系进行求解；而对于最值问题，则可将该表达式用直线斜率k表示，然后根据题意将其进行化简结合表达式的形式选取最值的计算方式

22．已知函数.

(1)当时，求函数在点处的切线方程；

(2)当，求函数的最大值；

(3)若函数在定义域内有两个不相等的零点，证明：.

【答案】(1)

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；

（2）求出函数的导函数，分、和三种情况讨论，分别求出函数的单调区间，即可求出函数的最大值；

（3）利用分析法可得只需证，即证，令，只需证，构造函数利用导数说明函数的单调性，即可得证.

【详解】(1)解：当时，，

，，切线方程为：.

(2)解：，

①当时，，在[1，2]单调递减，

②当时，

在单调递增，

③当时，，

（i）当即时，

在单调递减，上递增

（ii）当即时，

在单调递减，，

综上：.

(3)证明：要证，

只需证，

只需证，

因为，，

两式相减得：.

整理得.

所以只需证，

即证，

即，不妨设，令，

只需证，

只需证，

设，

只需证当时，即可.

，

在单调递减，

当时，，

在单调递增，当时，

原不等式得证.

【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．