高中人教A版 (2019)第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用复习练习题

5.3.1函数的单调性(1)   -B提高练

一、选择题

1．（2021·全国高二课时练）若函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】设导函数的图象与x轴交点的横坐标从左到右依次为，其中，故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在单调递增．故选：D．

2．已知是函数的导数，则“在上为减函数”是“在内恒成立”的(   )

A．充分不必要条件                         B．必要不充分条件  

C．充分必要条件                           D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】若在上为减函数时，在内不恒成立，如，显然在递减，但当时，则；

若在内恒成立，设任意，则在点处的切线的斜率，所以在上为减函数．

所以“在上为减函数”是“在内恒成立”的必要不充分条件．故选B．

3．（2020·全国高二课时练习）函数（    ）

A．在上是增函数

B．在上是减函数

C．在上是减函数，在上是增函数

D．在上是增函数，在上是减函数

【答案】A

【详解】，当时，，

∴在上是增函数．故选：A

4．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是  (   )

A．            B．          C．           D．

【答案】C

【解析】由，得，由题意知，对恒成立，即对恒成立，令，显然在上递减，所以，所以．故选C．

5．（多选题）（2020·广东揭阳市高二期中）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【详解】对于A，既不是奇函数也不是偶函数，且单调递增，故A错误；

对于B，的定义域为，且，是奇函数，又恒成立，故是减函数，故B正确；

对于C，的定义域为，且，是奇函数，，故是减函数，故C正确；

对于D，的定义域为，且，是奇函数，又是减函数，故D正确.故选：BCD.

6．（多选题）（2020·湖南师大附中高二月考）素数分布问题是研究素数性质的重要课题，德国数学家高斯提出了一个猜想：，其中表示不大于x的素数的个数，即随着x的增大，的值近似接近的值．从猜想出发，下列推断正确的是（    ）

A．当x很大时，随着x的增大，的增长速度变慢

B．当x很大时，随着x的增大，减小

C．当x很大时，在区间（n是一个较大常数）内，素数的个数随x的增大而减少

D．因为，所以

【答案】AC

【详解】设函数且，则且，

且，当时，，

所以当x很大时，随着x的增大，的增长速度变慢，故A正确；

函数的图象如图所示：

由图象可得随着x的增大，并不减小，故B错误；当x很大时，在区间（n是一个较大常数）内，函数增长得慢，素数的个数随x的增大而减少，故C正确；，故D错误．故选：AC．

二、填空题

7．（2021·山东菏泽三中高二期末）函数的单调减区间是______．

【答案】

【解析】函数的定义域为，，令，得函数的单调递减区间是，故答案为.

8．（2021·全国高二课时练）函数y＝xsin x＋cos x，x∈(－π，π)的单调增区间是__________.

【答案】

【解析】，当时，，；

当时，；

当时，；

当时，，

故函数的单调增区间是和.

9．（2021·全国高课二时练）若函数在上为减函数，则实数的取值范围是__________．

【答案】(－∞，－1]

【解析】因为是R上的减函数，所以恒成立，即，即恒成立，因为，所以，故答案为.

10．（2021·全国高二课时练）若函数f(x)＝ax3＋x恰有3个单调区间，则a的取值范围为________．

【答案】(－∞，0)

【解析】由f(x)＝ax3＋x，得f′(x)＝3ax2＋1.

若a≥0，则f′(x)>0恒成立，此时f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，不满足题意；

若a<0，由f′(x)>0得－<x<，由f′(x)<0，得x<－或x>，

即故当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－，)，单调递减区间为(－∞，－), (，＋∞)，满足题意．答案为：(－∞，0).

三、解答题

11．已知函数．

（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（2）若函数的单调递减区间是，求实数的值；

（3）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．

【解析】由，得．

（1）因为在上单调递增，所以对恒成立，即对恒成立，只需，而，所以，经检验，当时，符合题意，故的取值范围是．

（2）令，因为的单调递减区间是，则不等式的解集为，所以和是方程的两个实根，所以，得．

（3）因为函数在区间上单调递减，所以对恒成立，即对恒成立，易得函数的值域为，所以，即实数的取值范围是．

12．（2021·甘肃武威市十八中高二课时练）已知a是实数，函数．

（1）若，求a的值及曲线在点处的切线方程；

（2）讨论函数在区间上的单调性．

【详解】（1），，

则，，，，

因此，曲线在点处的切线方程为，即；

（2），，

令，得，．

①当时，即当时，对任意的，，

此时，函数在区间上单调递增．

②当时，即当时，

此时，当，则；

当时，．

此时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；

③当时，即当时，对任意的，．

此时，函数在区间上单调递减．

综上所述，当时，函数在区间上单调递增；

当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；

当时，函数在区间单调递减．