高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2课时教案设计

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第2课时
课后篇巩固提升
基础达标练
1.将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人,每人1张,则不同分法的种数是( )
A.2 160B.720C.240D.120
解析第1张门票有10种分法,第2张门票有9种分法,第3张门票有8种分法,由分步乘法计数原理得共有10×9×8=720(种)分法.
答案B
2.从0,1,2,…,9这10个数字中,任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点(a,b)的坐标,能够确定不在x轴上的点的个数是( )
A.100B.90C.81D.72
解析分两步,第1步选b,因为b≠0,所以有9种不同的选法;第2步选a,因为a≠b,所以也有9种不同的选法.由分步乘法计数原理知共有9×9=81(个)点满足要求.
答案C
3.(2020北京鲁迅中学高二月考)算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具,为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中,以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字,如图,
表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,以此类推,遇零则置空,如图:
如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中,那么可以表示的三位数的个数为( )
A.46B.44C.42D.40
解析按每一位算筹的根数分类一共有15种情况,如下,
(5,0,0),(4,1,0),(4,0,1),(3,2,0),(3,1,1),(3,0,2),(2,3,0),(2,2,1),(2,1,2),(2,0,3),(1,4,0),(1,3,1),(1,2,2),(1,1,3),(1,0,4).
2根及2根以上的算筹可以表示两个数字,运用分步乘法计数原理,
则上述情况能表示的三位数字个数分别为
2,2,2,4,2,4,4,4,4,4,2,2,4,2,2.
根据分步加法计数原理,5根算筹能表示的三位数字个数为
2+2+2+4+2+4+4+4+4+4+2+2+4+2+2=44.故选B.
答案B
4.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为( )
A.42B.30C.20D.12
解析原定的5个节目产生6个空位,将其中1个新节目插入,有6种不同的插法,然后6个节目产生7个空位,将另一个新节目插入,有7种不同的插法.由分步乘法计数原理知共有7×6=42(种)不同的插法.
答案A
5.(2020天津高二月考)某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班,甲、乙、丙、丁四人报名参加,每人只报名参加一项,且甲、乙不参加同一项,则不同的报名方法种数为 .
解析甲有三个培训可选,甲、乙不参加同一项,所以乙有两个培训可选,丙、丁各有三个培训可选,根据分步乘法计数原理,不同的报名方法种数为3×2×3×3=54.
答案54
6.已知集合M={1,2,3,4},集合A,B为集合M的非空子集,若对∀x∈A,y∈B,x解析当A={1}时,B有23-1=7(种)情况;
当A={2}时,B有22-1=3(种)情况;当A={3}时,B有1种情况;当A={1,2}时,B有22-1=3(种)情况;当A={1,3},{2,3},{1,2,3}时,B均有1种情况,所以集合M的“子集对”共有7+3+1+3+3=17(个).
答案17
7.五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目,每个工程队承建1个,其中甲工程队不能承建1号子项目,则不同的承建方案有 种.
解析完成承建任务可分五步.第1步,安排1号,有4种不同的承建方案;第2步,安排2号,有4种不同的承建方案;第3步,安排3号,有3种不同的承建方案;第4步,安排4号,有2种不同的承建方案;第5步,安排5号,有1种承建方案.由分步乘法计数原理得,共有4×4×3×2×1=96(种)不同的承建方案.
答案96
8.某文艺小组有20人,其中会唱歌的有14人,会跳舞的有10人,从中选出会唱歌与会跳舞的各1人参加演出,且既会唱歌又会跳舞的至多选1人,有多少种不同的选法?
解第1类,首先从只会唱歌的10人中选出1人,有10种不同的选法,从会跳舞的10人中选出1人,有10种不同的选法,共有10×10=100(种)不同的选法;第2类,从既会唱歌又会跳舞的4人中选1人,再从只会跳舞的6人中选1人,共有4×6=24(种)不同的选法.所以一共有100+24=124(种)不同的选法.
9.在3 000到8 000之间有多少个无重复数字的奇数?
解分两类:一类是以3,5,7为首位的四位奇数,可分三步完成:先排首位有3种方法,再排个位有4种方法,最后排中间两个数有8×7种方法,所以满足要求的数有3×4×8×7=672(个).另一类是首位是4或6的四位奇数,也可分三步完成,满足要求的数有2×5×8×7=560(个).
由分类加法计数原理得,满足要求的数共有672+560=1 232(个).
10.如图是某校的校园设施平面图,现有不同的颜色作为各区域的底色,为了便于区分,要求相邻区域不能使用同一种颜色.若有6种不同的颜色可选,求有多少种不同的着色方案.
解操场可从6种颜色中任选1种着色;餐厅可以从剩下的5种颜色中任选1种着色;宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同,故可以从剩下的4种颜色中任选一种着色;教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同,故可以从剩下的4种颜色中任选1种着色.根据分步乘法计数原理,知共有6×5×4×4=480(种)不同的着色方案.
能力提升练
1.袋中有8个不同的红球,7个不同的白球,6个不同的黄球,现从中任取两个不同颜色的球,不同的取法有( )
A.336种B.21种
C.104种D.146种
解析分三类:当取出一红一白时,有8×7种不同的取法;当取出一红一黄时,有8×6种不同的取法;当取出一白一黄时,有7×6种不同的取法.由分类加法计数原理知有N=8×7+8×6+7×6=146(种)不同的取法.
答案D
2.从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列个数为( )
A.3B.4
C.6D.8
解析递增的等比数列为1,2,4;1,3,9;2,4,8;4,6,9共4个.同理,递减的等比数列也有4个,故所求的等比数列有8个.
答案D
3.现从甲、乙、丙等6名学生中安排4人参加4×100 m接力赛跑,第一棒只能从甲、乙两个人中安排一人,第四棒只能从甲、丙两个人中安排一人,则不同的安排方法共有 种.
解析若甲跑第一棒,则丙跑第四棒,此时不同的安排方法有4×3=12(种);若乙跑第一棒,则不同的安排方法有2×4×3=24(种),故不同的安排方法共有24+12=36(种).
答案36
4.(2020浙江宁波高三专题练习)某超市内一排共有6个收费通道,每个通道处有1号、2号两个收费点,根据每天的人流量,超市准备周一选择其中的3处通道,要求3处通道互不相邻,且每个通道至少开通一个收费点,则周一这天超市选择收费的安排方式共有 种.
解析设6个收费通道依次编号为1,2,3,4,5,6,从中选择3个互不相邻的通道,有135,136,146,246共4种不同的选法.
对于每个通道,至少开通一个收费点,即可以开通1号收费点,开通2号收费点,同时开通两个收费点,共3种不同的安排方式.
由分步乘法计数原理,可得超市选择收费的安排方式共有4×33=108(种).
答案108
5.从-3,-2,-1,0,1,2,3中任取三个不同的数作为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的系数,如果抛物线过原点,且顶点在第一象限,那么这样的抛物线共有多少条?
解第1步,确定c的取值.由题意知c=0,所以c有1种取值方法;
第2步,确定a的取值.由于a<0,因此a有3种取值方法;
第3步,确定b的取值.由于b>0,因此b有3种取值方法.
根据分步乘法计数原理,知满足题意的抛物线共有N=3×3×1=9(条).
6.(1)从5种颜色中选出3种颜色,涂在一个四棱锥的五个顶点上,每一个顶点涂一种颜色,并使同一条棱上的两个顶点异色,求不同的涂色方法数;
(2)从5种颜色中选出4种颜色,涂在一个四棱锥的五个顶点上,每个顶点上涂一种颜色,并使同一条棱上的两个顶点异色,求不同的涂色方法数.
解(1)如图,由题意知,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所涂色互不相同,则A,C必须颜色相同,B,D必须颜色相同,所以共有5×4×3×1×1=60(种)不同的涂色方法.
(2)(方法一)由题意知,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所涂色互不相同,则A,C可以颜色相同,B,D可以颜色相同,并且两组中必有一组颜色相同.所以,先从两组中选出一组涂同一颜色,有2种选法(如:B,D颜色相同);再从5种颜色中,选出四种颜色涂在S,A,B,C四个顶点上,最后D涂B的颜色,有5×4×3×2=120(种)不同的涂色方法.根据分步乘法计数原理,共有2×120=240(种)不同的涂色方法.
(方法二)分两类.
第1类,C与A颜色相同.由题意知,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所涂色互不相同,它们有5×4×3=60(种)不同的涂色方法.共有5×4×3×1×2=120(种)不同的涂色方法.第2类,C与A颜色不同.由题意知,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所涂色互不相同,它们有5×4×3=60(种)不同的涂色方法.共有5×4×3×2×1=120(种)不同的涂色方法.由分类加法计数原理,共有120+120=240(种)不同的涂色方法.
素养培优练
1.(2020浙江高一课时练习)称子集A⊆M={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}是“好的”,如果它有下述性质——“若2k∈A,则2k-1∈A且2k+1∈A(k∈N)”(空集和M都是“好的”),则M中有多少个包含2个偶数的“好的”子集?
解 含有2个偶数的“好的”子集A,有两种不同的情形:
①两偶数是相邻的,有4种可能:2,4;4,6;6,8;8,10.
每种情况必有3个奇数相随(如2,4∈A,则1,3,5∈A).
余下的3个奇数可能在A中,也可能不在A中,
故这样的“好的”子集共有4×23=32(个).
②两偶数不相邻,有6种可能:2,6;2,8;2,10;4,8;4,10;6,10.
每种情况必有4个奇数相随(如2,6∈A,则1,3,5,7∈A).
余下的2个奇数可能在A中,也可能不在A中,
故这样的“好的”子集共有6×22=24(个).
综上所述,M中有32+24=56(个)包含2个偶数的“好的”子集.
2.(2020河北迁西第一中学高二期中)用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙),要求在A,B,C,D四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色.
(1)若n=6,则为甲图着色时共有多少种不同的方法?
(2)若为乙图着色时共有120种不同的方法,求n.
解 (1)对区域A,B,C,D按顺序着色,根据分步乘法计数原理,共有6×5×4×4=480(种)不同的方法.
(2)对区域A,B,C,D按顺序着色,根据分步乘法计数原理,不同的着色方法共有n(n-1)(n-2)(n-3)=120(种),整理得(n2-3n)(n2-3n+2)=120,
即(n2-3n)2+2(n2-3n)-120=0,
故n2-3n-10=0或n2-3n+12=0(舍去),解得n=5.操
场
宿舍区
餐厅
教学区