数学七年级上册2 一次函数学案及答案

2一次函数导学案

学习目标

 (1)理解一次函数和正比例函数的概念；能根据所给条件写出简单的一次函数表达式.

(2)经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；经历从实际问题中得到函数关系式这一过程，发展学生的数学应用能力.

(3)感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣.

学习策略

(1)从创设问题情景入手,通过知识再现,孕育教学过程；

(2)从学生活动出发,通过以旧引新,顺势教学过程；

(3)借助探索,通过思维深入,领悟教学过程.

学习过程 

一.复习回顾：

1、请你回顾函数的定义

2、下列问题中的变量对应规律你能用关系式表示吗？

（1）圆的周长 C 随半径r的大小变化而变化                                

（2）一支钢笔5元钱，写出买支这样的钢笔所需的费用元这两个量间的关系             

3、课本P148页 某弹簧长度的问题

二.新课学习：

1、探究2  课本P148页 做一做

2、观察上面实例中所得表达式，在形式上有什么相同之处?

(1)共同点：①左边都是      ，右边都是含      的代数式；

②自变量x与因变量y的次数都是         ；

③从形式上看，形式都为y=kx＋b，(k，b为常数)。

(2)、总结归纳：

一次函数的概念：若两个变量x,y对应的关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数。特别地，当b=0时，称y是x正比例函数。

1、在函数(1),(2),(3),(4)中是一次函数的是               ,是正比例函数的是                .

2 、 写出下列各题中与之间的关系式，并判断是否为的一次函数？是否为正比例函数?

（1）汽车以60千米/时的速度行使，行使路程（千米）与行使时间（时）之间的关系；       

（2）圆的面积（cm2）与它的半径（cm）之间的关系；            

（3）某水池有水15，现打开进水管进水，进水速度为5/，后这个水池内有水. 与之间的关系式为：                         

3、 我国现行个人工资薪金税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税 ……如某人某月收入3860元，他应缴个人工资薪金所得税为（3860-3500）×3%=10.8（元）

（1）当月收入大于3500元而又小于5000元时，写出应缴纳个人工资、薪金所得税（元）与月收入（元）之间的关系式.

（2）某人某月收入为4160元，他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元？

（3）如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.2元，那么此人本月工资薪金是多少元？

（提示，先弄清楚个人所得税的计算方法，看懂示例；第（3）小题要先判断本月工资在哪个范围内）

三.尝试应用：

1．根据下表写出之间的一个关系式.

2. 某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费50元，另外，每通话1分钟交费0.4元.

（1）写出每月应缴费用（元）与通话时间（分）之间的关系式；

（2）某手机用户这个月通话时间为152分，他应缴费多少元？

（3）如果该手机用户本月预交了200元的话费，那么该用户本月可通话多长时间？

3．某电信公司手机的B类收费标准如下：没有月租费，但每通话1分钟收费元.按照此类收费标准，分别完成第2题中的各小题.

4．根据上面第2，3题中的条件，完成下列各题：

 （1）若每月平均通话时间为300分，你选择哪类收费方式？

（2）每月通话多长时间时，按A，B两类收费标准缴费，所交话费相等？

四.自主总结：一次函数，只要解析式可以表示成（为常数，≠0）的形式的函数则称为一次函数.正比例函数是一次函数当时的特殊情形.

五.达标测试

一．选择题（共4小题）

1．下列函数中，正比例函数是（　　）

A．y=﹣8x B．y=﹣8x+1 C．y=8x2+1 D．y=

2．电信公司在某市推出无线市话小灵通，收费标准为：前3分钟（不足3分钟按3分钟计）为0.2元，3分钟后每分钟（不足1分钟按1分钟计）收0.1元，则一次通话时间x（x≥3）分钟，与这次通话的费用y（元）之间的函数关系式是（　　）

A．y=0.2x+0.1 B．y=0.1x C．y=0.1x﹣0.1 D．y=0.1x+0.5

3．下列各关系中，符合正比例关系的是（　　）

A．正方形的周长C和它的一边长a

B．距离s一定时，速度v和时间t

C．圆的面积S和圆的半径r

D．正方体的体积V和棱长m

4．若5y+2与x﹣3成正比例，则y是x的（　　）

A．正比例函数 B．一次函数C．没有函数关系 D．以上答案都不正确　

二．填空题（共4小题）

5．以下函数：①y=2x2+x+1；②y=2πr；③y=；④y=（﹣1）x；⑤y=﹣（a+x）（a是常数）；⑥s=2t，

是一次函数的有　　（填序号）．

6．已知函数y=﹣3x+8，当y=2时，x=　　．

7．一次函数y=（k﹣4）x+k2﹣16，当k取　　值时它为正比例函数．

8．某油箱中有油20升，油从管道中均匀流出10分钟可流尽，则油箱中剩油量G（升）与流出时间t（分）之间的函数关系式为　　，自变量t的取值范围是　　．　

三．解答题（共4小题）

9．将长为30cm，宽为10cm的矩形白纸按如图的方法黏合起来，黏合部分的宽是3cm．设x张白纸黏合后的总长度是y cm．

（1）写出y与x之间的函数关系式，并判断y是否是x的一次函数；

（2）当x=20时，求y的值．

10．某市出租车车费标准如下：3km以内（含3km）收费8元；超过3km的部分每千米收费1.6元．

（1）写出应收费y（元）出租车行驶路线x（km）之间的关系式（其中x≥3）

（2）小亮乘出租车行驶4km，应付多少元？

（3）小波付车费16元，那么出租车行驶了多少千米？

11．某商店出售某商品时，在进价的基础上加一定的利润，其数量x与售价y的关系如下表所示．请根据表中所提供的信息，列出y与x之间的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价．

12．某中学要添置某种教学仪器，方案一：到商店购买，每件需要8元；方案二：学校自己制作，每件需要4元，但另外需要制作工具的租用费120元，议需要仪器x件，方案一的费用为y1元，方案二的费用为y2元．

（1）分别求出y1、y2关于x的函数关系式；

（2）购买仪器多少件时，两种方案的费用相同；

（3）若学校需要仪器50件，采用哪种方案便宜？

参考答案

达标测试答案：

一．选择题（共4小题）

1．【解析】根据正比例函数的概念可知．

解：A、y=﹣8x是正比例函数，故A正确；

B、是一次函数，故B错误；

C、是二次函数，故C错误；

D、是反比例函数，故D错误．

故选：A．

【点评】只要熟知正比例函数的概念即可作出正确选择．

　2．【解析】话费=三分钟以内的基本话费0.2+超过3分钟的时间×0.1，把相关数值代入即可求解．

解：根据题意可知：超过3分钟的话费为0.1×（x﹣3），

则一次通话时间x（x≥3）分钟，与这次通话的费用y（元）之间的函数关系式是：y=0.2+0.1（x﹣3）=0.1x﹣0.1．

故选C．

【点评】本题考查根据实际问题列一次函数关系式的知识，解决本题的关键是理解话费分为规定时间的费用+超过规定时间的费用．　

3．【解析】根据正比例函数的定义（一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数）解答．

解：A、根据题意知C=4a，C与a是正比例关系；故本选项正确；

B、根据题意知v=，v与t，是反比例关系；故本选项错误；

C、根据题意知S=πr2，S与r是二次函数关系；故本选项错误；

D、根据题意知V=m3，不符合正比例函数的定义；故本选项错误；

故选A．

【点评】本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．　

4．【解析】根据正比例函数及一次函数的定义解答即可．

解：∵5y+2与x﹣3成正比例，

∴5y+2=k（x﹣3），其中k≠0，

整理得：y=x﹣，

∴y是x的一次函数．

故选：B．

【点评】本题主要考查了一次函数与正比例函数的联系，是需要识记的内容．　

二．填空题（共4小题）

5．【解析】根据一次函数的定义条件进行逐一解析即可．

解：①y=2x2+x+1是二次函数；

②y=2πr是一次函数；

③y=自变量次数不为1，故不是一次函数；

④y=（﹣1）x是一次函数；

⑤y=﹣（a+x）（a是常数）是一次函数；

⑥s=2t是一次函数；

故答案为②④⑤⑥．

【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．　

6．【解析】把y=2代入解析式解方程即可．

解：把y=2代入一次函数y=﹣3x+8

可得：2=﹣3x+8，

解得：x=2．

【点评】本题利用已知条件代入式子求解，是比较简单的题目．　

7．【解析】根据正比例函数的定义，列出算式后求解即可．

解：根据题意得：k2﹣16=0且k﹣4≠0，

解得：k=±4且k≠4，

∴k=﹣4．

故填﹣4．

【点评】本题主要考查正比例函数的定义，熟练记忆定义的条件是解本题的关键．　

8．【解析】先求出1分钟的流油量，再根据油箱中剩油量=原来有的油量﹣t分流的油量．

解：∵某油箱中有油20升，油从管道中均匀流出10分钟可流尽，

∴1分钟可流油20÷10=2升，

∴t分流的油量为2t升，

∴G=20﹣2t，

∵油箱中剩余油量G≥0，即：20﹣2t≥0，解得：0≤t≤10，

答案：G=20﹣2t，0≤t≤10．

【点评】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式及函数自变量的取值范围，属于基础题，得到油箱中剩油量的等量关系是解决本题的关键．　

三．解答题（共4小题）

9．【解析】（1）根据纸条总长度=30×纸条的张数﹣（纸条张数﹣1）×3，把相关数值代入即可求解．

（2）把x=20代入y=27x+3即可求解．

解：每张纸条的宽度是30cm，x张应是30xcm，

由图中可以看出4张纸条之间有3个粘合部分，那么x张纸条之间有（x﹣1）个粘合，应从总长度中减去．

∴y=30x﹣（x﹣1）×3=27x+3，

即y=27x+3，

∴y是x的一次函数；

（2）当x=20时，y=27×20+3=543．

【点评】本题是一次函数的应用，解决本题的关键是得到白纸粘合后的总长度的等量关系，注意x张白纸之间有（x﹣1）个粘合．　

10．【解析】（1）根据3km以内（含3km）收费8元；超过3km的部分每千米收费1.6元，即可得出y=8+（x﹣3）×1.6，整理即可；

（2）根据小亮乘出租车行驶4km，即x=4，求y即可；

（3）根据小波付车费16元，即y=16，求出x即可．

解：（1）根据题意可得：

y=8+（x﹣3）×1.6，

∴y=1.6x+3.2（x≥3）；

（2）x=4时，y=1.6x+3.2=1.6×4+3.2=9.6；

（3）y=16时，16=1.6x+3.2

解得：x=8．

【点评】此题主要考查了列代数式以及求函数值，根据已知得出函数关系式是解题关键．　

11．【解析】先根据数量x与售价y如下表所示所提供的信息，列出售价y与数量x的函数关系式y=（8+0.4）x，再将X的值为2.5千克代入上式中即可求出售价．

解：y=（8+0.4）x=8.4x，

当x=2.5千克时，y=8.4×2.5=21（元）．

【点评】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式，关键找到函数和自变量的关系，用待定系数法求函数的解析式．　

12．【解析】（1）方案一：总费用=仪器的单价×仪器的数量．方案二：费用=每件制作的成本×仪器的数量+工具的租用费．据此可得出方案一和方案二的函数关系式；

（2）本题只需让（1）中得出的两个函数关系式相等，求出x的值，就是所求的仪器的件数；

（3）可将50件分别代入（1）中的两个函数式中，得出函数的值，然后比较哪种方案更便宜．

解：（1）y1=8x，y2=4x+120；

（2）依题意y1=y2，

即8x=4x+120，

解得x=30，

∴当需要的仪器为30件时，两种方案所需的费用相同；

（3）把x=50分别代入y1=8x，y2=4x+120中，

得y1=8×50=400，y2=4×50+120=320，

∵y1＞y2，

∴当需要的仪器为50件时，选择第2种方案费用便宜．

【点评】本题考查了一次函数的应用，读清题意，找对等量关系是解题的关键，另外解决实际问题时还应有一定的生活经验．