四川省成都市第八中学校2023届高三第一次摸底考试文科数学试卷（含答案）

成都八中高2020级高三第一次摸底考试

文科数学总分: 150分

单选题（5分*12）

1. 设集合 ​, 则​

A.​ B.​ C.​ D.​

2. 设 ​, 则​（    ）

A.0 B.​ C.1 D.​

3. 在 ​中, 内角​的对边分别为​, 且​, 则​的形状是 (    )

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形

4. 已知实数 ​满足约束条件​, 则​的最大值为 (     ).

A.3 B.0 C.​ D.​

5. 已知某几何体的三视图如右图所示, 则该几何体的表面积等于（    ）

A.​ B.160        C.​ D.​

6. 执行如图所示的程序框图, 若输入 ​, 则输出​的值是 (     )

A.322 B.161 C.91 D.80

7. 函数 ​的图象可能是（    ）

A. B.

C. D.

8. 我们把离心率为 ​的椭圆称为“最美椭圆”. 已知椭圆​为“最美椭圆”, 且以椭圆​上一点​和椭圆 两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 4, 则椭圆​的方程为（     ).

A.​ B.​

C.​ D.​

9. 已知函数 ​, 则​的大小关系是（    ）

A.​ B.​

C.​ D.​

10. 某班统计一次数学测验成绩的平均分与方差, 计算完毕才发现有个同学的分数还末录入, 只好重算 一次.已知原平均分和原方差分别为 ​, 新平均分和新方差分别为​, 若此同学的得分恰好为​, 则 (     )

A.​ B.​

C.​ D.​

11. 设双曲线 ​的左、右焦点分别为​, 过​且斜率为​的直线与双曲 线​的右支交于点​. 若​, 则双曲线​的离心率为（    ）

A.​ B.2 C.​ D.3

12. 已知定义在 ​上的偶函数​的导函数为​, 当​时,​, 且​, 则不等式​的解集为（     ）

A.​  B.​

C.​  D.​

填空题（20分）

填空题

13已知 ​, 则​__________

14若向量 ​满足​, 则​___________

15 若函数 ​存在单调递增区间, 则​的取值范围是____________

16 如图所示, 在长方体 ​中,​, 点​是棱​上的一个动点, 若平面​交 棱​于点​, 给出下列命题:

①四棱锥 ​的体积恒为定值;

②存在点 ​, 使得​平面​;

③对于棱 ​上任意一点​, 在棱​上均有相应的点​, 使得​平面​;

④存在唯一的点 ​, 使得截面四边形​的周长取得最小值.

其中真命题的是_____________ . (填写所有正确答案的序号)

解答题

17.（12分）

设 ​是公比为正数的等比数列​.

(I) 求 ​的通项公式;

(II) 设 ​是首项为 1 , 公差为2的等差数列, 求数列 ​的前​项和​.

18（12分）

某高校共有 15000 人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的 情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）

（1）应收集多少位女生样本数据？

（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样 本数据分组区间为：​估计该校学生每周平均体育 运动时间超过4个小时的概率.

（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间 与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 附：​

19. 解答题（12分）

如图, 四边形 ​为正方形,​平面​, 点​分别为​的中点

（I）证明： ​平面​;

（II）求点 ​到平面​的距离.

20. 解答题（12分）

已知 ​为椭圆​的左、右焦点, 点​为其上一点, 且​.

(1)求椭圆 ​的标准方程;

(2)过点 ​的直线​与椭圆​相交于​两点, 点​关于坐标原点​的对称点​, 试问​的面积是否 存在最大值? 若存在, 求出这个最大值; 若不存在, 请说明理由.

21. 解答题（12分）

已知函数 ​.

(1) 求函数 ​的单调区间;

(2) 若 ​恒成立, 求​的值.

22. 解答题（10分）

在直角坐标系 ​中, 曲线​的参数方程为​, (​为参数). 以坐标原点为极点,​轴 正半轴为极轴建立极坐标系, 已知直线​的极坐标方程为​.

(1)求曲线 ​的普通方程与直线​的直角坐标方程;

(2)若直线 ​过点​且与直线​平行, 直线​交曲线​于​两点, 求​的值.

23. 解答题（10分）

已知 ​为正数, 且满足​. 证明:

(1) ​;

(2) ​.

参考答案

1.  A

根据题意,

​

​

则 ​。

故选: A。

2.  C

​​

​. 故选 C.

3.  B

由题意, ​

​

4.  B

5.  D

由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥组成，

三棱柱的底面是一个直角边长为 4 的直角三角形, 高为 8 ,

即 ​,​,

​该几何体的表面积为

​

6.  B

​

第一次执行循环体后, ​, 不满足退 出循环的条件;

第二次执行循环体后, ​, 不满足 退出循环的条件;

第三次执行循环体后, ​, 不满足 退出循环的条件;

第四次执行循环体后, ​, 不满足 退出循环的条件;

第五次执行循环体后, ​, 满足退 出循环的条件.

故输出 ​值为 161 ,

故选: ​.

7.  D

令 ​​, 所以​为奇函数 (1); 当​,​时,​可正可负, 所以​可正可负. 所 以可知, 选 D.

8.  D

9.  A

因为函数 ​, 所以

​

所以 ​为​上的减函数,

因为 ​,

所以 ​, 即​.

故选： ​

10. C

设这个班有 ​个同学, 数据分别是​,

​

第 ​个同学没登录,

第一次计算时总分是 ​,

方差是​

第二次计算时, ​,

方差

​

故 ​,

故选: ​.

11. D

​直线​的斜率为​, 且​,

​, 即​, 又​,

​

​

故选：D.

12. A

因为当 ​时,

​, 所以

​.

令 ​, 则

​, 所以​在​上单调递减,

因为 ​是定义在​上的偶函数, 所以​是​上的奇函数,

又因为 ​是​的导函数，所以​的图象连续, 故​在​上单调递减.

因为 ​, 所以​,

所以当 ​时,​等价 于​, 解得​;

当 ​时，​等价于

​, 解得​.

综上可知, 不等式的解集为

​

填空题答案解析

(1)​或​(2)​(3)​(4)①②④

(1) 利用诱导公式求出正切函数值，化简所求的表达式为正切函数的形式，求解即可.利用"”的代换，化简函数的表达式为正切函数的形式，代入求解即可. (2) ​​​​​​​(3)​存在单调递增区​在​上有解, 即​在​上有解, 令​, 则​当​时,​单调递增, 当​时,​单调递减,又​,​​当​时,​,令​, 则​当​时,​, 函数单调递减；当​时,​, 函数单调递增,​, 即​恒成立, 此时 不满足题意.​的取值范围是​故答案为:​. (4) 对①, 由​,​平面​,可得 ​到平面​的距离为定值, 可得四棱锥​的体积为定值, 故 ①对;​, 可得对角面​为正方形, 可得​,若​, 由三垂线定理可得​, 即 有​平面​, 故②对;对于③, 可作出过​的平面与​平行, 由面 面平行的性质定理可得存在无数个点​, 在棱​上均有相应的点​, 使 得​平面​,同理可得也存在无数个点​, 对棱​上任意的点​, 直线​与平面​均相交, 故③错误.对于④, 由面面平行的性质定理可得四边形​为平行四边形,由对称性可得当四边形为菱形时，周长取得最小 值, 存在唯一的点​,使得截面四边形​的周长取得最小值, 故④正确;

17

(I)​

(II) ​

解：(I) ​设​是公比为正数的等比数列​设其公比为​​" 解得​或​的通项公式为​

(II) ​是首项为 1 , 公差为 2 的等差数列​

​数列​的前​项和​

18

(1)应收集 90 位女生的样本数据

(2)​

(3)见解析

解: (1) 由 ​, 所以应收集 90 位女生的样本数据.

(2) 由频率发布直方图得 ​, 该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率为​

(3) 由 (2) 知, 300 位学生中有 ​人的每周平均体育运动时间超过 4 小时, 75 人平均体育运动时间不超过 4 小时, 又因为样本数据中有 210 份是关于男生的, 90 份是关于女生的, 所以平均体育运动时间与性别列联表如下：

结合列联表可算得 ​有​的把握认为“该校学生的平均体育运动时间与性别有关”

19

(I) 见解析

(II) ​

(I) 证明: 取点 ​是​的中点, 连接​, 则​, 且​,

​且​,

​且​,

​四边形​为平行四边形,

​平面​.

(II) 解: 由 (I) 知 ​平面​, 所以点​到平面​的距离与​到平面​的距离是相等的, 故转化为求 点​到平面​的距离, 设为​.

利用等体积法: ​, 即​,

​

20

(1)​.

(2)见解析

解: (1) 设椭圆的标准方程为 ​, 则​解之得:​所以椭圆的标准方程为​.

(2) 如图所示, 设直线 ​,

则 ​消去​整理得​， 设​的面积为​,

​

则 , 令​, 则​, 又设​, 则​,​在​上为增函数,​,

21

（1）函数 ​的单调减区间为​, 单调增区间为​.

（2）​

【详解】(1) 依题意, ​, 令​, 解得​, 故​, 故当​时, 函数​单调递减, 当​时, 函数​单调递增; 故函数​的单调减区间为​, 单调增区间为​.

(2) ​, 其中​,

由题意知 ​在​上恒成立,​,

由 (1) 可知, ​,

​, 记​, 则​, 令​, 得​.

当 ​变化时,​的变化情况列表如下:

​, 故​, 当且仅当​时取等号,

又 ​, 从而得到​.

22

（1） ​.

（2）2

(1) 因为曲线 ​的参数方程为​, (​为参数), 所以曲线​的普通方程为​.

由 ​, 得​, 即​,

因为 ​, 所以直线​的直角坐标方程为​.

(2) 因为直线 ​的斜率为​, 所以​的倾斜角为​,

所以过点 ​且与直线​平行的直线​的方程可设为​(​为参数).

设点 ​对应的参数分别为​, 将​代入​, 可得​, 整 理得​, 则​,

所以 ​.

23

解: (1)  ​

​

当且仅当 ​时取等号

​, 即:​

(2)  ​, 当且仅当​时取等号

又 ​(当且仅当​时等号同时成立)

​