湖南省郴州市永兴县童星学校2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题（含答案）

永兴县童星学校高中部2022秋季学期第一次月考高二数学试卷

时量：120分钟　   满分：150分

一、单选题（本大题共8个小题，每题5分，共40分）

1.已知，，如果与为共线向量，则（  ）

A.            B.             C.              D.

2.已知，，若，则（   ）

A.            B.             C.             D.

3.空间四边形中，，，，点在上，  

，点为的中点，则（   ）

A.             B.   

C.             D.

4.为空间任意一点，若，若四点共面，则 (   )

A.            B.          C.           D.

 5.已知，分别是平面的法向量，则平面的位置关系为（    ）

A. 平行       B. 垂直       C. 相交但不垂直       D. 重合

6.在棱长为 的正方体               中，设       ，      ，      ，

则         的值为（  ）

A．  B． C． D．

7.如图，在平行六面体                中，              （ ）

A.               B． 

C.        D．

8. 已知正方体的棱长为，分别为，的中点,

   则（   ）

  A.            B.          C.           D.

二、多选题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）

9.正方体                的棱长为   ，点     分别在棱     ，     上，且，，下列命题正确的是（   )

A. 异面直线     与    垂直；

B.          ；

C.三棱锥          的体积为

D.点   到平面     的距离等于   .

10.已知向量            ，则与共线的单位向量   （  ）

A．                 B．     C．   D.

11.如图，平行六面体                ，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为  ，且它们彼此的夹角都是   ，下列说法中正确的是（ ）

A．

B．

C．向量与的夹角是    .

D．异面直线     与    所成的角的余弦值为.

12.已知四面体的所有棱长都是   ，         分别是棱               

的中点，则（  ）

A．      B．

C．      D．

三、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）

13.已知平面     的法向量分别为              ，               ，若       ，则          

14.已知向量                ，              则在上的投影向量的模为______

15.已知                                 ，则平面     的一个法向量的坐标为                   

16.已知，，若与平行，则       

四、解答题（共6道题，共70分）

17（10分）.已知空间中三点，，，

设, ．

⑴.求向量与向量的坐标；

⑵.若与互相垂直，求实数的值.

 18（12分）.如图所示，在平行六面体中，为的中点.

设，，.

⑴.用表示；  

⑵.设是棱上的点，且，用表示.

19（12分）.长方体中，，，

    ⑴.求对角线     的长度；

⑵.求点  到平面      的距离.

20（12分）.已知四棱锥的底面为直角梯形，， ，，，.

⑴.证明：；

⑵.求异面直线 与所成的角的余弦值.

21（12分）.如图，在正四棱柱中，底面边长为  ，高为  .

⑴.证明：

⑵.求直线    与平面      所成角的正弦值.

22（12分）.如图，在三棱锥中，                   ，

         ，是的中点.     

⑴.证明：

⑵.若△是边长为的等边三角形，，点在棱上，

   ，求二面角的大小.

永兴县童星学校高中部2022秋季学期第一次月考

高二数学答题卡

班级        姓名                  学号      

一、选择题（本大题共8个小题，每题5分，共40分）

二、多选题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

四、解答题（本大题共6小题，共70分.）

高二数学月考试题（22年10.）

参考答案

一、单选题（每题5分，共40分）

DABC   BDCA    

二、多选题（每题5分，共20分）

    9.AC    10.AD   11.AB    12.ACD

三、填空题(每题5分,共20分)

     13.        14.            15.    16.    

四、解答题（共6道题，共70分）

   17. 解：⑴.，

⑵.∵．，

且与互相垂直，

∴

解得 或.

18. 解 ⑴. .

⑵.

      .      

19. 解：⑴.

⑵.在长方体中，以为坐标原点，              所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，

因为，，

    ，，，

求得，平面的法向量

    取，点到平面 的距离

20. 解：⑴.证明：建系如图，，，，   ， 又，且与是平面内的两条相交直线，

由此得.又在面上，故，.

⑵.，，

所以，与所成的角的余弦值为.

21.解：⑴. 解：⑴.略.

⑵.以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，        ，故，           ，

设平面的一个法向量为，则

 取

因为与法向量所成的角和与平面所成的角互余，

所以，直线与平面所成角的正弦值为，

22.解：⑴.，是的中点，

         ，又

         ，.

       ⑵.

          则，

          以为原点，过点且垂直于的直线为轴，为轴， 为轴，建立空间直角坐标系，.

         ，，，，，

          ，

         求得平面的法向量

         平面的法向量

         ，

        所以， 二面角的大小为.