人教B版高考数学一轮总复习38空间中的平行关系练习含答案

三十八　空间中的平行关系

(建议用时：45分钟)

A组　全考点巩固练

1．如果AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是(　　)

A．平行

B．相交

C．AC在此平面内

D．平行或相交

A　解析：把这三条线段放在正方体内如图，显然AC∥EF，AC⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，故AC∥平面EFG.故选A.

2．(多选题)下列命题中不是真命题的为(　　)

A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α

B．若直线a在平面α外，则a∥α

C．若直线a∥b，b∥α，则a∥α

D．若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线

ABC　解析：A中，l可以在平面α内，故不是真命题；B中，也存在直线a与平面α相交，故不是真命题；C中，a也可能在平面α内，故不是真命题；D是真命题．

3．(2020·重庆育才中学月考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，有以下四个命题：

①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；

②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；

③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；

④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.

其中真命题的序号是(　　)

A．②③ B．③④ 

C．①④ D．①②

A　解析：对于命题①，直线m，n可以相交、平行或异面，故①错误；易知②③正确；对于命题④，直线m，n可以相交、平行或异面，故④错误．故选A.

4．如图，AB∥平面α∥平面β，过A，B的直线m，n分别交α，β于点C，E和D，F.若AC＝2，CE＝3，BF＝4，则BD的长为(　　)

A.   B. 

C.   D.

C　解析：由AB∥α∥β，易证＝，

即＝，

所以BD＝＝＝.

5．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有(　　)

A．0条 B．1条

C．2条 D．0条或2条

C　解析：如图，设平面α截三棱锥所得的四边形EFGH是平行四边形，则EF∥GH，EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，所以EF∥平面BCD.又EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，则EF∥CD，EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，则CD∥平面EFGH.同理AB∥平面EFGH，所以该三棱锥与平面α平行的棱有2条．故选C.

6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．

　解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，

所以AC＝2.

又E为AD的中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面AB1C＝AC，

所以EF∥AC，所以F为DC的中点，

所以EF＝AC＝.

7．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)

点M在线段FH上(或点M与点H重合)　解析：连接HN，FH，FN(图略)，则FH∥DD1，HN∥BD，所以平面FHN∥平面B1BDD1.故只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，所以MN∥平面B1BDD1.

8．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，E，F分别是线段A1D，BC1的中点．延长D1A1到点G，使得D1A1＝A1G.证明：GB∥平面DEF.

证明：连接A1C，B1C，则B1C，BC1交于点F(图略)．

因为CBD1A1，D1A1＝A1G，

所以CBA1G，所以四边形BCA1G是平行四边形，所以GB∥A1C.

又GB⊄平面A1B1CD，A1C⊂平面A1B1CD，

所以GB∥平面A1B1CD.

又点D，E，F均在平面A1B1CD内，所以GB∥平面DEF.

9．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．

(1)求证：CE∥平面PAD；

(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论；若不存在，请说明理由．

(1)证明：如图，取PA的中点H，连接EH，DH.

因为E为PB的中点，

所以EH∥AB，EH＝AB.

又AB∥CD，CD＝AB，

所以EH∥CD，EH＝CD，

因此四边形DCEH为平行四边形，

所以CE∥DH.

又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，

所以CE∥平面PAD.

(2)解：存在点F为AB的中点，使平面PAD∥平面CEF.

证明如下：

取AB的中点F，连接CF，EF，

则AF＝AB.

因为CD＝AB，所以AF＝CD.

又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形，所以CF∥AD.

又AD⊂平面PAD，CF⊄平面PAD，

所以CF∥平面PAD.

由(1)知CE∥平面PAD，

又CE∩CF＝C，

故平面CEF∥平面PAD，

故存在AB的中点F满足要求．

B组　新高考培优练

10．(多选题)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列直线或平面与平面ACD1平行的有(　　)

A．直线A1B B．直线BB1

C．平面A1DC1 D．平面A1BC1

AD　解析：对于A，由于A1B∥D1C，且A1B⊄平面ACD1，D1C⊂平面ACD1，可得直线A1B∥平面ACD1.对于B，由于B1B∥D1D，且D1D∩平面ACD1＝D1，可得直线B1B不平行于平面ACD1.对于C，由于A1D∩AD1，A1D⊂平面A1DC1，可得平面A1DC1不与平面ACD1平行．对于D，由于A1B∥D1C，C1B∥D1A，A1B，C1B⊂平面A1BC1，可得平面A1BC1∥平面ACD1.故选AD.

11．(多选题)(2020·山东六地部分学校3月线上考试)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，侧棱AA1＝1，P为上底面A1B1C1D1上的动点，下列四个结论中正确的为(　　)

A．若PD＝3，则满足条件的P点有且只有一个

B．若PD＝，则点P的轨迹是一段圆弧

C．若PD∥平面ACB1，则DP长的最小值为2

D．若PD∥平面ACB1，且PD＝，则平面BDP截正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的外接球所得平面图形的面积为

ABD　解析：如图，因为正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，所以B1D1＝2.又侧棱AA1＝1，所以DB1＝＝3，则点P与点B1重合时，PD＝3，此时P点唯一，故A正确．

因为PD＝∈(1,3)，DD1＝1，则PD1＝，即点P的轨迹是一段圆弧，故B正确．

连接DA1，DC1，可得平面A1DC1∥平面ACB1，则当P为A1C1中点时，DP有最小值，为＝，故C错误．

由C选项知，平面BDP即为平面BDD1B1，平面BDP截正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为＝，面积为，故D正确．故选ABD.

12．平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，平面α∥平面A1BD，平面α∩平面ABCD＝l，则直线l与直线A1C1所成的角为(　　)

A．30° B．45° 

C．60° D．90°

D　解析：如图所示，

因为平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，平面α∥平面A1BD，平面α∩平面ABCD＝l＝AF，平面A1BD∩平面ABCD＝BD，所以BD∥AF.又因为A1C1∥AC，则直线l与直线A1C1所成的角即为直线BD与直线AC所成的角，即直线l与直线A1C1所成的角为90°.

13．(2021·蚌埠模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AA1，AB的中点，点M是正方形ABB1A1内的动点．若C1M∥平面CD1EF，则M点的轨迹长度为________．

　解析：如图所示，取A1B1的中点H，B1B的中点G，连接GH，C1H，C1G，EG，HF.

可得四边形EGC1D1是平行四边形，所以C1G∥D1E.同理可得C1H∥CF.

因为C1H∩C1G＝C1，所以平面C1GH∥平面CD1EF.

由M点是正方形ABB1A1内的动点可知，若C1M∥平面CD1EF，则点M在线段GH上，所以M点的轨迹长度GH＝＝.

14．如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥平面α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG是________．

平行四边形　解析：因为AB∥α，平面ABD∩α＝FH，平面ABC∩α＝EG，

所以AB∥FH，AB∥EG，

所以FH∥EG，同理EF∥GH，

所以四边形EFHG是平行四边形．

15．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，E为侧棱PD(不含端点)上的动点．

(1)是否存在一点E，使得PB∥平面AEC？若存在，请说明点E的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

(2)若点F在CD上，且PE∶ED＝CF∶FD，在棱PA(不含端点)上是否存在点G，使得平面BCG∥平面AEF？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．

解：(1)当E为PD的中点时，PB∥平面AEC.证明如下：如图，连接BD，设AC∩BD＝O，则O为BD的中点．连接EO，由E，O分别为PD，BD的中点，知EO为△PBD的中位线，所以EO∥PB.又EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.

(2)不存在符合题意的点G.

理由如下：假设存在点G满足题意．

如图，因为平面BCG∩平面ABCD＝BC，平面AEF∩平面ABCD＝AF，

又平面BCG∥平面AEF，所以BC∥AF.

又在菱形ABCD中，BC∥AD，

所以在平面ABCD内，过A点有两条直线AF，AD同时平行于BC，矛盾，

所以，在棱PA(不含端点)上不存在点G，使得平面BCG∥平面AEF.