2022秋新教材高中数学章末综合检测二直线和圆的方程新人教A版选择性必修第一册

章末综合检测（二）  直线和圆的方程

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．直线l过点M(1，－2)，倾斜角为30°，则直线l的方程为(　　 )

A．x＋y－2－1＝0　　 B．x＋y＋2－1＝0

C．x－y－2－1＝0  D．x－y＋2－1＝0

解析：选C　因为直线l的倾斜角为30°，所以直线l的斜率k＝tan 30°＝，由点斜式方程，得直线l的方程为y＋2＝(x－1)，即x－y－2－1＝0.

2．直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0相交，则实数k的值为(　　 )

A．k≠1或k≠9  B．k≠1或k≠－9

C．k≠1且k≠9  D．k≠1且k≠－9

解析：选D　∵不平行就相交，∴≠，∴k≠1且k≠－9.

3．已知圆C与直线x－y＝0和x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为(　　 )

A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2  B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2

C．(x－1)2＋(y－1)2＝2  D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2

解析：选B　由圆心在x＋y＝0上，可排除C、D.再结合图象，或者验证选项A、B中，圆心到两直线的距离是否等于半径即可．

4．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是(　　 )

A．1或3　  B．3或5

C．5或7  D．3或7

解析：选B　当k＝4时，两直线显然不平行；当k≠4时，由两直线平行，斜率相等，得－＝，解得k＝3或5.

5．已知圆心为(2,0)的圆C与直线y＝x相切，则切点到原点的距离为(　　 )

A．1   B.

C．2   D.

解析：选B　如图，设圆心为C，切点为A，

则圆的半径r＝＝，|OC|＝2，∴切点到原点的距离为＝.故选B.

6．(2020·石家庄月考)若直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的斜率为(　　 )

A．  B．±

C．   D．±

解析：选D　因为直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，所以圆心(2,3)到直线的距离d＝＝1，所以＝＝1，解得k＝±，故选D.

7．过点(0,1)的直线与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　 )

A．2  B．2

C．3  D．2

解析：选B　当圆心到直线距离最大时，弦长最短，易知当圆心与定点G(0,1)的连线与直线AB垂直时，圆心到直线AB的距离取得最大值，即d＝|OG|＝1，此时弦长最短，即≥＝⇒|AB|≥2，故选B.

8．(2020·日照月考)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(1,0)，B(0,2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为(　　 )

A．4x＋2y＋3＝0　  B．2x－4y＋3＝0

C．x－2y＋3＝0  D．2x－y＋3＝0

解析：选B　因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线，又A(1,0)，B(0,2)，故AB的中点为，kAB＝－2，故AB的中垂线方程为y－1＝，即2x－4y＋3＝0.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9．下列叙述正确的是(　　)

A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应

B．每一条直线都对应唯一一个倾斜角

C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°

D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α

解析：选ABC　A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应，正确；

B．每一条直线都对应唯一一个倾斜角，正确；

C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°，正确；

D．当α＝时，则直线的斜率不存在，因此不正确．

10．若实数x，y满足x2＋y2＋2x＝0，则下列关于的判断正确的是(　　)

A．的最大值为   B．的最小值为－

C．的最大值为   D．的最小值为－

解析：选CD　由x2＋y2＋2x＝0得(x＋1)2＋y2＝1，表示以(－1,0)为圆心、1为半径的圆，表示圆上的点(x，y)与点(1,0)连线的斜率，易知，的最大值为，最小值为

－.

11．已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论正确的是(　　)

A．存在k，使得l2的倾斜角为90°

B．对任意的k，l1与l2都有公共点

C．对任意的k，l1与l2都不重合

D．对任意的k，l1与l2都不垂直

解析：选ABD　对于动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，当k＝0时，斜率不存在，倾斜角为90°，故A正确；

由方程组可得(2k＋1)x＝0，对任意的k，此方程有解，可得l1与l2有交点，故B正确；

当k＝－时，＝成立，此时l1与l2重合，故C错误；

由于直线l1：x－y－1＝0的斜率为1，动直线l2的斜率为＝－1－≠－1，故对任意的k，l1与l2都不垂直，故D正确．

12．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，若直线l：x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则直线l的方程是(　　)

A．x＋y－2＝0  B．x＋y－4＝0

C．x＋y－8＝0  D．x＋y－10＝0

解析：选AD　根据题意，圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，其圆心C(3,3)，半径r＝6.若直线l：x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则圆心到直线的距离为2，则有d＝＝2，变形可得|6－m|＝4，解得m＝2或10，即l的方程为x＋y－2＝0或x＋y－10＝0.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)

13．设圆C同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y＝x上；③截y轴所得的弦长为4，则圆C的方程是________________．

解析：由题意可设圆心C(a，a)，如图，得22＋a2＝2a2，解得a＝±2，r2＝8.所以圆C的方程是(x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2＝8.

答案：(x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2＝8

14．直线l：x＋λy＋2－3λ＝0(λ∈R)恒过定点________，P(1,1)到该直线的距离的最大值为______．

解析：直线l：x＋λy＋2－3λ＝0(λ∈R)即λ(y－3)＋x＋2＝0，令解得x＝－2，y＝3.

所以直线l恒过定点Q(－2,3)，P(1,1)到该直线的距离最大值为|PQ|＝＝.

答案：(－2, 3)　

15．在平面直角坐标系中，若圆Q：x2＋y2－4ax＋2ay＋5a2－1＝0上所有的点都在第二象限内，则实数a的取值范围是________．

解析：依题意，圆Q的方程可化为(x－2a)2＋(y＋a)2＝1，圆心为Q(2a，－a)，半径为r＝1.若圆Q上所有的点都在第二象限内，则解得a＜－1.

答案：(－∞，－1)

16．设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．

解析：如图所示，过点O作OP⊥MN交MN于点P.

在Rt△OMP中，|OP|＝|OM|·sin 45°，

又|OP|≤1，∴|OM|≤＝，

即|OM|＝≤，解得－1≤x0≤1.

答案：[－1,1]

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)直线l1过点P(－1,2)，斜率为－，把l1绕点P按顺时针方向旋转30°得直线l2，求直线l1和l2的方程．

解：由题意知，直线l1的方程是y－2＝－(x＋1)，即x＋y－2＋1＝0.

因为直线l1的斜率k1＝－＝tan α1，所以l1的倾斜角α1＝150°.如图，

l1绕点P按顺时针方向旋转30°，得到直线l2的倾斜角α2＝150°－30°＝120°，

所以直线l2的斜率k2＝tan 120°＝－，所以l2的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－2＋＝0.

18．(12分)已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C，D，且|CD|＝4.

(1)求直线CD的方程；

(2)求圆P的方程．

解：(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1,2)．

则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，

即x＋y－3＝0.

(2)设圆心P(a，b)，由点P在CD上得a＋b－3＝0.      ①

又∵直径|CD|＝4，∴|PA|＝2，

∴(a＋1)2＋b2＝40.        ②

由①②解得或

∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)．

∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.

19．(12分)已知圆C：x2＋y2－24x－28y－36＝0内有一点Q(4,2)，过Q作AQ⊥BQ，交圆C于点A，B，求动弦AB的中点的轨迹方程．

解：圆的方程可化为(x－12)2＋(y－14)2＝376，如图所示，

设AB的中点P(m，n)，则CP⊥AB，所以|AP|2＝|AC|2－|CP|2.

在Rt△ABQ中，

|PQ|＝|AB|＝|AP|，

所以|PQ|2＝|AC|2－|CP|2，

即(m－4)2＋(n－2)2＝376－[(m－12)2＋(n－14)2]，

整理得m2＋n2－16m－16n－8＝0.

故动弦AB的中点的轨迹方程为m2＋n2－16m－16n－8＝0.

20．(12分)已知△ABC的顶点A(0,1)，AB边上的中线CD所在的直线方程为2x－2y－1＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为y＝0.

(1)求△ABC的顶点B，C的坐标；

(2)若圆M经过A，B且与直线x－y＋3＝0相切于点P(－3,0)，求圆M的方程．

解：(1)AC边上的高BH所在直线的方程为y＝0，

所以AC：x＝0，

又CD：2x－2y－1＝0，所以C.

设B(b,0)，则AB的中点D的坐标为，代入方程2x－2y－1＝0，解得b＝2，

所以B的坐标为(2,0)．

(2)由A(0,1)，B(2,0)可得，圆M的弦AB的中垂线方程为4x－2y－3＝0，  ①

由与x－y＋3＝0相切，切点为(－3,0)可得，圆心所在的直线方程为x＋y＋3＝0， ②

联立①②可得，M，

半径|MA|＝＝，

所以圆M的方程为x2＋y2＋x＋5y－6＝0.

21．(12分) 已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝1，直线l的方程为2x－y＝0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点为A，B.

(1)若∠APB＝60°，求点P的坐标；

(2)求证：经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．

解：(1)由条件可得圆C的圆心坐标为(0,4)，|PC|＝2，

设P(a,2a)，则 ＝2，

解得a＝2或a＝，

所以点P的坐标为(2,4)或.

(2)证明：设P(b,2b)，过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为x(x－b)＋(y－4)(y－2b)＝0，

整理得x2＋y2－bx－4y－2by＋8b＝0，

即(x2＋y2－4y)－b(x＋2y－8)＝0.

由解得或

所以该圆必经过定点(0,4)和.

22．(12分)已知直线l：y＝kx＋b(0<b<1)和圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点．

(1)当k＝0时，过点A，B分别作圆O的两条切线，求两切线的交点坐标．

(2)对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点N，满足∠ONA＝∠ONB？若存在，请求出此点坐标；若不存在，说明理由．

解：(1)联立直线l：y＝b与圆O：x2＋y2＝1的方程，

得A，B两点坐标分别为A(－，b)，B(，b)．

设过圆O上点A的切线l1的方程为

y－b＝k1(x＋)，

由于kAO·k1＝－1，即－·k1＝－1，

也就是k1＝.

所以l1的方程是y－b＝(x＋)．

化简得l1的方程为－x＋by＝1.

同理得，过圆O上点B的切线l2的方程为

x＋by＝1.

联立l1与l2的方程得交点的坐标为.

因此，当k＝0时，两切线的交点坐标为.

(2)假设在y轴上存在一点N(0，t)，满足∠ONA＝∠ONB，则直线NA，NB的斜率kNA，kNB互为相反数，即kNA＋kNB＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2≠0，

则＋＝0，即x2(kx1＋b－t)＋x1(kx2＋b－t)＝0.

化简得2kx1x2＋(b－t)(x1＋x2)＝0.        ①

联立直线l：y＝kx＋b与圆O：x2＋y2＝1的方程，得(k2＋1)x2＋2kbx＋b2－1＝0.

所以x1＋x2＝－，x1x2＝.        ②

将②代入①整理得－2k＋2kbt＝0.        ③

因为③式对于任意的实数k都成立，因此t＝.

故在y轴上存在一点N，

满足∠ONA＝∠ONB.