人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆课时训练

第三章　3.1　3.1.3

A级——基础过关练

1．椭圆＋＝1中，以点M(－1,2)为中点的弦所在的直线斜率为(　　)

A． B．

C． D．－

【答案】B

【解析】设直线与椭圆交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝－2，设直线为y＝k(x＋1)＋2，联立得(9＋16k2)x2＋32k(k＋2)x＋16(k＋2)2－144＝0．所以x1＋x2＝，所以＝－2，解得k＝．

2．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为(　　)

A．3 B．2

C．2 D．4

【答案】C

【解析】设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，联立得(a2＋3b2)y2＋8b2y＋16b2－a2b2＝0，由Δ＝0，得a2＋3b2－16＝0，而b2＝a2－4，代入得a2＋3(a2－4)－16＝0，解得a2＝7，所以a＝．所以长轴长为2．

3．若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为(　　)

A．1 B．－1

C．－ D．以上都不对

【答案】C

【解析】表示椭圆上的点(x，y)与定点(2,0)连线的斜率．不妨设＝k，则过定点(2,0)的直线方程为y＝k(x－2)．由得(k2＋4)x2－4k2x＋4k2－4＝0．令Δ＝(－4k2)2－4(k2＋4)·(4k2－4)＝0，得k＝±，所以kmin＝－，即的最小值为－．

4．若直线kx－y＋3＝0与椭圆＋＝1有两个公共点，则实数k的取值范围是(　　)

A． B．

C．∪ D．∪

【答案】C

【解析】由得(1＋4k2)x2＋24kx＋20＝0，当Δ＝16(16k2－5)＞0，即k＞或k＜－时，直线与椭圆有两个公共点．

5．若过椭圆＋＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是(　　)

A．x－2y－4＝0 B．x＋2y－4＝0

C．2x－y－4＝0 D．2x＋y－4＝0

【答案】B

【解析】设弦两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式相减并把x1＋x2＝4，y1＋y2＝2代入得＝－，所以所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0．

6．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)

A．＋＝1 B．＋＝1

C．＋＝1 D．＋＝1

【答案】D

【解析】由椭圆＋＝1，得b2x2＋a2y2＝a2b2，因为过点F的直线与椭圆＋＝1(a＞b＞0)交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝1，＝－1，则b2x＋a2y＝a2b2①，b2x＋a2y＝a2b2②，由①－②，得b2(x－x)＋a2(y－y)＝0，化简得b2(x1－x2)(x1＋x2)＋a2(y1－y2)(y1＋y2)＝0．所以2b2(x1－x2)－2a2(y1－y2)＝0，＝，又直线的斜率为k＝＝，即＝．因为b2＝a2－c2＝a2－9，所以＝，解得a2＝18，b2＝9．故椭圆方程为＋＝1．

7．(多选)点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的值可以是(　　)

A．－ B．－1

C．1 D．

【答案】BC

【解析】由题意知＋＜1，解得－＜a＜．故B，C符合．

8．已知斜率为1的直线过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为__________．

【答案】

【解析】由a2＝4，b2＝1，得c＝，所以右焦点F(，0)．所以直线的方程为y＝x－，由得5x2－8x＋8＜0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝．所以|AB|＝＝．

9．(2021年太原模拟)过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)相交于点A，B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．

【答案】

【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则即＋＝0．①

因为＝－，②

联立①②得a2＝2b2，故c2＝a2，即e＝．

10．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m．

(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；

(2)求直线被椭圆截得的弦最长时直线的方程．

解：(1)由消去y得5x2＋2mx＋m2－1＝0，

因为直线与椭圆有公共点，

所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤．

(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由(1)知5x2＋2mx＋m2－1＝0．

由根与系数的关系，得x1＋x2＝－m，x1x2＝．

所以|AB|＝

＝

＝＝

＝

＝．

因为Δ＝4m2－20(m2－1)＞0，所以－＜m＜．

所以当m＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y＝x．

B级——能力提升练

11．(多选)已知直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1，则下列说法正确的是(　　)

A．当m＝－时，直线与椭圆相切

B．当－＜m＜时，直线与椭圆相交

C．当m＝时，直线与椭圆相切

D．当m＜－或m＞时，直线与椭圆相离

【答案】ABCD

【解析】由消去y，得＋(x＋m)2＝1，整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0．Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．当－＜m＜时，Δ＞0，直线与椭圆相交；当m＝－或m＝时，Δ＝0，直线与椭圆相切；当m＜－或m＞时，Δ＜0，直线与椭圆相离．故选ABCD．

12．设F1，F2是椭圆C：＋＝1的焦点，在曲线C上满足·＝0的点P的个数为(　　)

A．0 B．2

C．3 D．4

【答案】B

【解析】因为·＝0，所以PF1⊥PF2．所以点P即为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点，且半径为c＝＝2．又因为b＝2，所以点P为短轴的端点，有2个．

13．已知椭圆C：＋＝1，点M为椭圆C的左顶点，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点为椭圆C的上顶点，则|AN|＋|BN|＝________．

【答案】12

【解析】根据题意，椭圆的左、右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，左顶点M(－3,0)，上顶点H(0，2)，则M关于C的焦点的对称点分别为A(－2＋3,0)，B(2＋3,0)，而点N(3,4)，据两点间的距离公式得|AN|＋|BN|＝＋＝12．

14．已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F(1,0)，上顶点为B，则点B的坐标为__________；直线MN与椭圆C交于M，N两点，且△BMN的重心恰为点F，则直线MN的斜率为________．

【答案】(0，)　

【解析】如图，因为C：＋＝1右焦点为F(1,0)，所以有4＞m＞0且a＝2，b＝，c＝1，而a2＝b2＋c2，所以4＝m＋1⇒m＝3，因此椭圆上顶点B的坐标为(0，)．设直线MN的方程为y＝kx＋t，易知椭圆的标准方程为＋＝1，直线方程与椭圆方程联立化简得(3＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－12＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为D，于是有x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝，所以D点坐标为．因为△BMN的重心恰为点F，所以有＝2，即(1，－)＝2，因此有即由，得k＝，所以直线MN斜率为．

15．平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点，射线PO交椭圆E于点Q，求的值．

解：(1)因为点在椭圆C上，

所以＋＝1．

又因为椭圆C的离心率为e＝＝，

所以2c＝a，4c2＝3a2，结合c2＝a2－b2可解得a2＝4，b2＝1，

故椭圆C的方程为＋y2＝1．

(2)椭圆E：＋＝1．

设P(x0，y0)，＝λ，

则Q(－λx0，－λy0)．

因为＋y＝1，又因为＋＝1，

即＝1，所以λ＝2，即＝2．