人教版八年级上册13.3.2 等边三角形精品练习题

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第19课  等边三角形 知识精讲知识点01  等边三角形等边三角形定义：                    的三角形叫等边三角形.　　要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的          ．也就是说等腰三角形包括等边三角形．知识点02  等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形          ，并且每一个内角都等于          .知识点03  等边三角形的判定等边三角形的判定：（1）          的三角形是等边三角形；（2）          的三角形是等边三角形；（3）                                          是等边三角形． 知识点04  含30°的直角三角形含30°的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的          .　要点诠释：这个定理的前提条件是“          ”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系. 能力拓展 考法01   等边三角形【典例1】如图，已知点B、C、D在同一条直线上，和都是等边三角形，BE交AC于F，AD交CE于H.（1）求证：△BCE≌△ACD；（2）求证：FH∥BD. 【即学即练1】如图，△ABD，△ACE都是正三角形，BE和CD交于O点，则∠BOC=　     　度．【典例2】如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE. 求证：CE＝DE. 【即学即练2】如图所示，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究线段CN、BM、MN之间的关系，并加以证明．【典例3】如图所示，某船上午11时30分在A处观测海岛B在北偏东60°方向，该船以每小时10海里的速度航行到C处，再观测海岛B在北偏东30°方向，又以同样的速度继续航行到D处，再观测海岛在北偏西30°方向，当轮船到达C处时恰好与海岛B相距20海里，请你确定轮船到达C处和D处的时间．  考法02   含30°的直角三角形【典例4】如图所示，∠A＝60°，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，BD与CE相交于点H，HD＝1，HE＝2，试求BD和CE的长． 【即学即练3】如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，∠BAC＝120°．    求证：．【典例5】如图所示，在等边△ABC中，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，求证：BP＝2PQ． 分层提高 题组A  基础过关练1．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=10，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM的长为（ ）A．2 B．3 C．4 D．52．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C，D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=（　　）A．30° B．25° C．15° D．10°3．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，P1与P关于OA对称，P2与P关于OB对称，则△P1OP2是（    ）A．含30°角的直角三角形 B．顶角是30的等腰三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形4．如图，木工师傅从边长为90cm的正三角形木板上锯出一正六边形木块，那么正六边形木板的边长为（　　）A．34cm B．32cm C．30cm D．28cm5．如图，点D，E是等边三角形ABC的边BC，AC上的点，且CD=AE，AD交BE于点P，BQ⊥AD于点Q，已知PE=2，PQ=6，则AD等于(    )A．10 B．12 C．14 D．166．如图， △DAC和△EBC均为等边三角形，A、C、B三点在同一直线上，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①    △ACE≌△DCB；②AC=DN；③AE=BD；④∠BOE=60°；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题组B  能力提升练1．如图，已知AB=AC=BC=AD,则∠BDC＝_______________．2．如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAD＝30°，AD＝AE，则∠EDC的度数是______．3．如图，已知ΔABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE垂直平分AC交BC于D，垂足为E，若DE＝2cm，则BC＝____cm.4．如图，AB=AC=AD=4cm，DB=DC，若∠ABC为60度，则BE为___，∠ABD=_____°．5．在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，AD为△ABC的中线，则∠ADC=________°6．如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则∠FAG＝_____°．题组C  培优拔尖练1．△ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点，就下面给出的三种情况，如图8中的①②③，先用量角器分别测量∠BQM的大小，然后猜测∠BQM等于多少度．并利用图③证明你的结论．2．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）若BC=10，求△ODE的周长．3．数学课上，李老师出示了如下框中的题目．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：特殊情况，探索结论（1）当E为AB的中点时，如图1，则AE       BD（填“”“”或“”）．    特例启发，解答题目（2）当E为AB上任意一点时，AE与BD的大小关系是：AE       DB（填“”“”或“”）．理由如下：如图2，过点E作，交AC于点F（请你完成下面的解答过程）．拓展结论，设计新题（3）在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）．