数学必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第2课时学案

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《8.6.2直线与平面垂直》（第2课时 直线与平面垂直的性质）导学案  参考答案新课导学   （一）新知导入【问题】灯柱所在的直线都是平行的.（二）直线与平面垂直知识点一　直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．(2)图形语言：(3)符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(4)作用：①线面垂直⇒线线平行；②作平行线．【辩一辩】 答案：(1)√　(2)×【做一做】【解析】∵直线l⊥AB，l⊥AC，且AB∩AC＝A，∴l⊥平面α，同理直线m⊥平面α.由线面垂直的性质定理可得l∥m.答案：C知识点二　点面距、线面距与面面距(1)过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．(2)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．(3)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面之间的距离．【做一做】答案　2（三）典型例题【例1】【证明】如图所示：连接AB1，B1D1，B1C，BD.∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C.又B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1. 【巩固练习1】【证明】∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又∵AE⊂平面PAD，∴AE⊥DC.又∵AE⊥PD，PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD.又∵l⊥平面PCD，∴AE∥l. 例2.【解】如图所示，连接PA，PB.易知△SAC，△ACB是直角三角形，所以SA⊥AC，BC⊥AC.取AB、AC的中点E、F，连接PF，EF，PE，则EF∥BC，PF∥SA.所以EF⊥AC，PF⊥AC.因为PF∩EF＝F，所以AC⊥平面PEF.又PE⊂平面PEF，所以PE⊥AC.易证△SAC≌△SBC.因为P是SC的中点，所以PA＝PB.而E是AB的中点，所以PE⊥AB.因为AB∩AC＝A，所以PE⊥平面ABC.从而PE的长就是点P到平面ABC的距离．在Rt△AEP中，AP＝SC＝，AE＝AB＝，所以PE＝＝ ＝，即点P到平面ABC的距离为.【巩固练习2】【解】(1)因为B1C1∥BC，所以∠A1CB(或其补角)是异直线B1C1与A1C所成的角．因为BC⊥AB，BC⊥BB1，AB∩BB1＝B，所以BC⊥平面ABB1，所以BC⊥A1B.在Rt△A1BC中，tan∠A1CB＝＝＝，所以异面直线B1C1与A1C所成的角的正切值为.(2)因为B1C1∥平面A1BC，所以B1C1到平面A1BC的距离等于B1到平面A1BC的距离，设B1到平面A1BC的距离为d，因为VB1­A1BC＝VA1­BB1C，所以S△A1BC×d＝S△B1BC×A1B1，可得d＝，直线B1C1与平面A1BC的距离为.例3.【证明】(1)如图，取AB的中点G，连接FG，CG，可得FG∥AE，FG＝AE.∵CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，∴CD∥AE.又∵CD＝AE.∴FG∥CD，FG＝CD.∵FG⊥平面ABC，∴四边形CDFG是矩形，DF∥CG.又∵CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，∴DF∥平面ABC.(2)在Rt△ABE中，AE＝2a，AB＝2a，F为BE中点，∴AF⊥BE.∵△ABC是正三角形，∴CG⊥AB，∴DF⊥AB.又∵DF⊥FG，FG∩AB＝G，∴DF⊥平面ABE.又∵AF⊂平面ABE.∴DF⊥AF.∵BE∩DF＝F，∴AF⊥平面BDF.又∵BD⊂平面BDF，∴AF⊥BD.【巩固练习3】【解析】(1)证明：如图，取PD中点为G，连接EG，AG，则EG∥CD，EG＝CD，AF∥CD，AF＝CD，所以EG与AF平行且相等，所以四边形AGEF是平行四边形，所以EF∥AG，AG⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.(2)解：连接AC，BD，交于点O，连接EO，因为E为PC的中点，所以EO为△PAC的中位线，又因为PA⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，即EO为三棱锥E­AFC的高．在菱形ABCD中可求得AC＝2，在Rt△PAC中，PC＝2，所以PA＝＝4，EO＝2，所以S△ACF＝S△ABC＝××AB×BC×sin∠ABC＝，所以VC­AEF＝VE­ACF＝S△ACF×EO＝××2＝. （四）操作演练  素养提升答案：1.C     2.A     3.B     4.