高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示习题

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《7.3 复数的三角表示》练案

1.复数1＋i化成三角形式，正确的是(　　)

A．2(cos ＋isin )        B．2(cos ＋isin )

C．2(cos ＋isin )        D．2(cos ＋isin )

【答案】B

【解析】r＝2，cos θ＝，复数对应的点在第一象限，所以arg(1＋i)＝，所以1＋i＝2(cos ＋isin ).故选B.

2.复数z＝－sin 100°＋icos 100°的辐角主值是(　　)

A．80°　　 B．100°      C．190° D．260°

【答案】C

【解析】z＝－sin 100°＋icos 100°＝－cos 10°－isin 10°＝cos 190°＋isin 190°，

∴arg z＝190°.故选C.

3.两个复数z1、z2的模与辐角分别相等，是z1＝z2成立的(　　)

A．充分不必要条件           B．必要不充分条件

C．充要条件                D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】由两个复数z1、z2的模与辐角分别相等，可得出z1＝z2，由z1＝z2，得不出两个复数z1、z2的模与辐角分别相等.故选A.

4.复数z＝(cos 25°＋isin 25°)(cos 50°＋isin 50°)的三角形式是(　　)

A．cos (－25°)＋isin (－25°)        B．sin 75°＋icos 75°

C．cos 15°＋isin 15°               D．cos 75°＋isin 75°

【答案】D

【解析】z＝cos (25°＋50°)＋isin (25°＋50°)＝cos 75°＋isin 75°.

5.2÷[(cos＋isin)]的三角形式是(　　)

A．2(cos＋isin)             B.(cos＋isin)

C.[cos(－)＋isin(－)]         D.(cos＋isin)

【答案】C

【解析】原式＝＝[cos(－)＋isin(－)].故选C.

6.复数－2(sin 10°＋icos 10°)的三角形式为___________．

【答案】2(cos 260°＋isin 260°)

【解析】－2(sin 10°＋icos 10°)＝2(－sin 10°－icos 10°)＝2[cos(270°－10°)＋isin (270°－10°)]＝2(cos 260°＋isin 260°)．

7.计算：3(cos ＋isin )÷2(cos ＋isin )＝_________.(用代数形式表示)

【答案】－i

【解析】原式＝[cos(－)＋isin(－)]＝[cos(－)＋isin(－)]＝－i.

8.下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．

(1)z1＝2(cos π＋isin π) ；

(2) z2＝(cosπ－isinπ)；

(3) z3＝ －2(cos θ＋isin θ)．

【解】(1)z1＝2(cos π＋isin π)符合三角形式的结构特征，是三角形式．

(2)由“加号连”知，不是三角形式．

z2＝(cosπ－isinπ)＝－－i，

模r＝，cos θ＝－.复数对应的点在第三象限，所以取θ＝π，

即z2＝(cos π－isinπ)＝(cosπ＋isin π)．

(3) 由“模非负”知，不是三角形式．

复平面上的点Z1(－2cos θ，－2sin θ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－cos θ”已在前，不需要变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限．所以z3＝－2(cos θ＋isin θ)＝2[cos(π＋θ)＋isin (π＋θ)]．

9.已知复数z1＝(cos＋isin)，z2＝(cos＋isin)，则z1z2的代数形式是(　　)

A.(cos＋isin)         B.(cos＋isin)

C.－i                   D.＋i

【答案】D

【解析】z1z2＝·[cos (＋)＋isin(＋)]＝(cos ＋isin )＝(＋i)＝＋i.故选D.

10.设3＋4i的辐角的主值为θ，则(3＋4i)·i的辐角的主值是(　　)

A.＋θ　　 　B.－θ       C．θ－ D.－θ

【答案】A

【解析】根据复数乘法的几何意义得，(3＋4i)·i对应的向量是由复数3＋4i对应的向量绕点O按逆时针方向旋转得到的，所以(3＋4i)·i的辐角的主值为θ＋.故选A.

11.  计算：

(1)3(cos ＋isin )÷(cos＋isin)；

(2)2i÷[(cosπ＋isinπ)]．

【解】(1)原式＝6[cos(－)＋isin(－)]＝6(cos＋isin)

＝6(＋i)＝3＋3i.

(2)法一：原式＝2(cos＋isin)÷[(cosπ＋isinπ)]＝4[cos(－)＋isin(－)]

＝4[cos(－)＋isin(－)]＝4(－i)＝2－2i.

法二：原式＝2i÷[(－＋i)]＝2i÷(－＋i)＝

＝8i(－－i)＝－2i＋2＝2－2i.

12.计算下列各式：

(1)16(cos＋isin)×4(cos＋isin)；

(2) 3(cos 20°＋isin 20° )[2(cos 50°＋isin 50°)][10(cos 80°＋isin 80° )]；

(3)(－1＋i)[(cos ＋isin )] .

【解】(1)原式＝16×4[cos(＋)＋isin(＋)]＝64(cos＋isin)

＝64(cos＋isin)＝64(＋i)＝32＋32i.

(2)原式＝6(cos 70°＋isin 70°)[10( cos 80°＋isin 80° )]＝60(cos 150°＋isin 150°)

＝60(－＋i)＝－30＋30i.

(3)法一：复数－1＋i的模r＝，cos θ＝－，sin θ＝，∴θ＝.

原式＝(cos＋isin)[(cos＋isin)]＝[cos(＋)＋isin(＋)]

＝(cos＋isin)＝(cos＋isin)＝i.

法二：(cos＋isin)＝(－i)＝－i，

原式＝(－1＋i)(－i)＝(－＋)＋(＋)i＝i.

13.若复数z＝(a＋i)2的辐角是，则实数a的值是(　　)

 A．1         B．－1      C．－      D．－

【答案】B

【解析】∵z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai, arg z＝，

∴，∴a＝－1.故选B.

14.设z1＝＋i，z2＝1－i，z3＝sin ＋icos ，求的值.

【解】　∵z1＝＋i＝2，

z2＝1－i＝，

∴待求式＝

＝

＝4

＝4

＝－2－2i.