人教B版 (2019)1.2.1 空间中的点、直线与空间向量同步练习题

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第一章 空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.1 空间中的点、直线与空间向量知识梳理1.点位置向量、直线的方向向量 位置向量一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定，此时，通常称为点P的位置向量方向向量一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量.此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l2.空间中两条直线所成的角设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则θ=<v1，v2>或θ=π-<v1，v2>，特别地，sin θ=sin<v1，v2>，cos θ=|cos<v1，v2>|;l1⊥l2⇔<v1，v2>=   ⇔v1·v2=0.求异面直线所成角的方法有：（1）定义法：根据定义作出异面直线所成的角（并证明），然后解三角形求出角；（2）向量法：建立空间直角坐标系，用直线的方向向量的夹角求解异面直线所成的角．3.两条异面直线的距离一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，A∈l1，B∈l2，AB⊥l1，AB⊥l2，则称AB为l1与l2的公垂线段.并且空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一.两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离.空间直角坐标系中求两条异面直线的公垂线段的长度流程如下：利用向量共线、向量垂直条件建立方程组，求出公垂线段对应的向量，准确找出公垂线段在图中的位置，运用向量求出公垂线段的长度. 常见考点考点一 直线的方向向量典例1．若在直线上，则直线的一个方向向量为（       ）A． B．C． D． 变式1-1．设直线l1，l2的方向向量分别为，若l1⊥l2，则m等于（       ）A． B．2 C．6 D．10 变式1-2．已知点，，，，则直线，的位置关系是（       ）A．平行 B．相交 C．重合 D．异面 变式1-3．已知直线经过点和点，则直线的单位方向向量为A． B． C． D． 考点二 求异面直线的夹角典例2．如图，在正方体中，E为线段的中点，则异面直线DE与所成角的大小为（       ）A． B． C． D．  变式2-1．在直三棱柱中，，D，F，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是（       ）．A． B． C． D． 变式2-2．在四棱锥中，平面，，，，，，则与所成角的余弦值为（       ）A． B． C． D． 变式2-3．如图所示，在三棱锥P–ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为A． B． C． D． 考点三 已知线线角求其他量典例3．已知四棱锥底面是边长为的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面，点是线段上的动点(不含端点)，若线段上存在点(不含端点)，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是（       ）A． B． C． D．变式3-1．如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，，E为PB的中点，，，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为（       ）A． B．C． D． 变式3-2．已知正方体的棱长为，点在线段上，若直线与所成角的余弦值为，则（       ）A． B． C．3 D． 变式3-3．已知点，分别是三棱锥的棱，的中点，，若异面直线与所成角为60°，则线段长为（       ）A．3 B．6 C．6或 D．3或 巩固练习练习一 直线的方向向量1．已知平面上两点，则下列向量是直线的方向向量是（       ）A． B． C． D． 2．设的一个方向向量，的一个方向向量，若，则m等于（       ）．A．1 B． C． D．33．已知一直线经过点，，下列向量中不是该直线的方向向量的为（       ）A．       B．    C．   D． 4．已知直线的方向向量，直线的方向向量，且，则值是（       ）A． B．6 C．14 D． 练习二 求异面直线的夹角5．在正方体中，E，F分别为棱AD，的中点，则异面直线EF与所成角的余弦值为（       ）．A． B． C． D． 6．已知三棱锥中，，，，，E，F分别为棱，的中点，则直线与所成角的余弦值为（       ）A． B． C． D． 7．如图，在四棱锥中，，底面ABCD为长方形，，，Q为PC上一点，且，则异面直线AC与BQ所成的角的余弦值为（       ）A．           B．           C．        D．8．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）A． B．0 C． D．练习三 已知线线角求其他量9．在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，E为PB的中点，若，则（       ）A．1 B． C．3 D．2 10．四面体中，，，两两垂直，且，点是的中点，异面直线与所成角为，且，则该四面体的体积为（       ）A． B． C． D． 11．已知正方体的棱长为1，点在线段上，若直线与所成角的余弦值为，则线段的长为（       ）A． B． C． D． 12．在由三棱柱截得的几何体中，平面点分别是棱的中点.若直线与所成角的余弦值为，则（       ）A． B． C． D．