第16讲 三角形的复习（讲义）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版）

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第16讲 三角形的复习
本章学习了三角形的有关概念以及三边之间的关系、内角和的性质，讨论了三角形的分类；学习了等边三角形的概念、性质以及判定方法．在此基础上，进一步学习了等腰三角形的性质与判定；再对等腰的特例等边三角进行研究．
三角形全等是本章节的重点内容，利用全等三角形的判定和性质，可用来判断几何图形中某些线段、角的关系，结合等腰三角形和等边三角形的特性，证明三角形全等．

一、单选题
1．（2019·上海市市西初级中学七年级期中）下列三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．15，5，21 C．2，5，4 D．1，1，
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系定理即可得．
【详解】三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边
A、，不满足三角形的三边关系定理，此项不符题意
B、，不满足三角形的三边关系定理，此项不符题意
C、，满足三角形的三边关系定理，此项符合题意
D、，不满足三角形的三边关系定理，此项不符题意
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，熟记定理是解题关键．
2．（2019·上海市梅陇中学八年级期中）如图，在△ABC中，D为BC边上一点，=,,,则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形内角和可判定∠ADE=∠B，即可得解.
【详解】∵在△ABC和△ADE中，=,,,
∴∠BAC+∠C+∠B=∠DAE+∠ADE+∠DEA=180°
∴∠ADE=∠B=30°
故答案为A.
【点睛】此题主要考查三角形内角和定理的运用，熟练掌握，即可解题.
3．（2022·上海市川沙中学南校七年级期中）如果，那么是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理得到∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠A＋∠C＝180°−∠B，由∠A＝∠B−∠C变形得∠A＋∠C＝∠B，则180°−∠B＝∠B，解得∠B＝90°，即可判断△ABC的形状．
【详解】解：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠C＝180°−∠B，
而∠A＝∠B−∠C，
∴∠A＋∠C＝∠B，
∴180°−∠B＝∠B，解得∠B＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是熟知三角形的内角和为180°．
4．（2022·上海市川沙中学南校七年级期中）如图，已知在中，，的度数是（ ）

A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】根据平角的性质及三角形的内角和定理即可求解．
【详解】∵∠1+∠CAB=180°，∠2+∠CBA=180°
∴∠ACB+∠CBA=360°-∠1-∠2
∵∠ACB+∠CBA+∠A=180°，
∴360°-∠1-∠2+90°=180°
∴∠1-∠2=
故选B．
【点睛】此题主要考查三角形的角度求解，解题的关键是熟知三角形的内角和定理．
5．（2019·上海七年级期末）用下列长度的三条线段首尾顺次联结，能构成等腰三角形的是（ ）
A．2、2、1 B．3、3、6 C．4、4、10 D．8、8、18
【答案】A
【分析】根据三角形的三边关系和等腰三角形的定义即可对各个选项进行判断．
【详解】解：A、∵，则2、2、1可以构成三角形，又∵2=2，∴2、2、1能构成等腰三角形，故本选项正确；
B、∵，则3、3、6不能构成三角形，∴3、3、6不能构成等腰三角形，故本选项错误；
C、∵，则4、4、10不能构成三角形，∴4、4、10不能构成等腰三角形，故本选项错误；
D、∵，则8、8、18不能构成三角形，∴8、8、18不能构成等腰三角形，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的三边的关系和等腰三角形的定义，正确理解三边关系和等腰三角形的定义是解题的关键．通常利用两个短边的和与最长的边进行比较，即可判断是否能构成三角形．
6．（2019·上海七年级期末）下列所叙述的图形中，全等的两个三角形是（ ）
A．含有45°角的两个直角三角形 B．腰相等的两个等腰三角形
C．边长相等的两个等边三角形 D．一个钝角对应相等的两个等腰三角形
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合全等的判定方法对各个选项逐一判断即可．
【详解】解：A、含有45°角的两个直角三角形，缺少对应边相等，所以两个三角形不一定全等；
B、腰相等的两个等腰三角形，缺少两腰的夹角或底边对应相等，所以两个三角形不一定全等；
C、边长相等的两个等边三角形，各个边长相等，符合全等三角形的判定定理SSS，所以两个三角形一定全等，故本选项正确；
D、一个钝角对应相等的两个等腰三角形的腰长或底边不一定对应相等，所以两个三角形不一定全等，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查全等图形的识别，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7.适合条件∠A=∠B=∠C的三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形
【难度】★★
【答案】B
【解析】∵， ∴，
∴， ∴，， ∴三角形为钝角三角形．
【总结】考察三角形内角和和三角形的分类．

8.如图所示，在△ABC中，∠ACB是钝角，让点C在射线BD上向右移动，则下
面说法正确的是（ ）
A．△ABC将先变成直角三角形，再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
B．△ABC将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
C．△ABC将先变成直角三角形，再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三
角形
D． △ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三
角形，然后再次变为钝角三角形

【难度】★★
【答案】D
【解析】从左往右画出图形即可得到D答案．
【总结】考察三角形的分类．
9.下列四组条件中，能够判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D
B．∠A=∠D，∠C=∠F，AC=DF
C．∠A=∠E，∠A=∠F，AB=DE
D．AB=DE，BC=EF，三角形ABC的面积等于△DEF的面积
【难度】★★
【答案】B
【解析】A答案是“S.S.A”不能判断全等；C答案不是对应角相等；D答案不能判断出来全
等．
【总结】考察三角形全等的判定方法．
10.如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BC平分∠ABC，DE∥BC，图中等腰三角形的个数有（ ）
A．1个 B．3个 C．4个 D．5个

【难度】★★
【答案】D
【解析】△ABC，△ABD，△AED，△BED，△BDC均为等腰三角形．
【总结】考察三角形的分类和三角形内角和的综合运用．
11.下列四组三角形中一定是全等的是（ ）
A．三个内角分别相等的两个三角形
B．斜边相等的两直角三角形
C．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形
D．三边对应相等的两个三角形
【难度】★★
【答案】D
【解析】选项中只有D是“S.S.S”是可以判定三角形全等．
【总结】考察全等三角形判定方法．
12.如图，在△ABC中，∠ACB=450，∠ABC=600，AD、CF都是高，相交于P，角平分线BE分别交AD、CF于Q、S，则图中的等腰三角形的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5

【难度】★★
【答案】D
【解析】∵∠ACB=450，∠ABC=600，AD、CF都是高，
∴，∴，即△ADC是等腰三角形，∴，∴
∵∠ABC=600，且BE是的角平分线，∴，∴
∴，即△QSP为等腰三角形
∵，∴△QAB是等腰三角形．
∵，，∴
∴，即△ABE是等腰三角形
∵，∴△SBC是等腰三角形．
【总结】考察三角形内角和的综合运用，本题综合性较强，要注意分析．
13.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形底边的长为（ ）
A．17cm B．5cm C．5cm或17cm D．无法确定

【难度】★★★
【答案】B
【解析】如图，由题意可得：，，
当，时，可知：，
则，．
∵，，8+8<17，不符合三角形三边关系，舍去．
当，时，可知：，则，
∵，，符合三角形三边关系， ∴三角形底边长为5．
【总结】考察等腰三角形性质和三角形三边关系的综合应用．
14.若△ABC的三边长是，，，且满足，，
，则△ABC（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【难度】★★★
【答案】D
【解析】∵，，，
∴三式相加可得
∴，∴
∴，∴该三角形为等边三角形．
【总结】考察完全平方公式的应用和三角形的分类．
二、填空题
1．（2020·上海七年级期末）如图，在△ABC中，两个内角∠BAC与∠BCA的角平分线交于点D，若∠B＝70°，则∠D＝_____度．

【答案】125
【分析】根据角平分线的性质和三角形内角和定理求解即可.
【详解】∵AD、CD是∠BAC与∠BCA的平分线，
∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）
＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）
＝180°﹣（180°﹣∠B）
＝90°+∠B＝125°，
故答案为：125．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理以及角平分线的性质，根据角平分线的性质将∠ADC转化到三角形中，利用三角形的内角和求解是解题的关键.
2．（2018·上海市延安初级中学七年级期末）如图，把沿直线翻折后得到，点的对应点是点，如果，那么____________度．

【答案】
【分析】先根据邻补角的定义求得的度数，再由对折的性质进行解答．
【详解】∵，
∴＝
∵沿直线翻折后得到，点的对应点是点，
∴．
故答案为：．
【点睛】考查了对折和邻补角的性质，解题关键是利用邻补角的定义求得的度数和对折前后的两个角的度数相等．
3．（2022·上海市仙霞第二中学八年级期末）在中，，如比小，则________________度．
【答案】33
【分析】设，则，根据三角形内角和是，列式求出x的值即可．
【详解】解：设，则，
∵，
∴，即，解得．
故答案是：33．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形的内角和是．
4．（2019·上海市市西初级中学八年级期末）如图，中，一内角和一外角的平分线交于点连结，_______________________.


【答案】66°
【分析】过D作，DF⊥BE于F，DG⊥AC于G，DH⊥BA，交BA延长线于H，由BD平分∠ABC，可得∠ABD=∠CBD，DH=DF，同理CD平分∠ACE，∠ACD=∠DCF=，DG=DF，由∠ACE是△ABC的外角，可得2∠DCE=∠BAC+2∠DBC①，由∠DCE是△DBC的外角，可得∠DCE=∠CDB+∠DBC②，两者结合，得∠BAC=2∠CDB，则∠HAC=180º-∠BAC，在证AD平分∠HAC，即可求出∠CAD．
【详解】过D作，DF⊥BE于F，DG⊥AC于G，DH⊥BA，交BA延长线于H，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC，DH=DF，
∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠DCF=∠ACE，DG=DF，
∵∠ACE是△ABC的外角，
∴∠ACE=∠BAC+∠ABC，
∴2∠DCE=∠BAC+2∠DBC①，
∵∠DCE是△DBC的外角，
∴∠DCE=∠CDB+∠DBC②，
由①②得，∠BAC=2∠CDB=2×24º=48º，
∴∠HAC=180º-∠BAC=180º-48º=132º，
∵DH=DF，DG=DF，
∴DH=DG，
∵DG⊥AC，DH⊥BA，
AD平分∠HAC，
∠CAD=∠HAD=∠HAC=×132º=66º．
故答案为：66．

【点睛】本题考查角的求法，关键是掌握点D为两角平分线交点，可知AD为角平分线，利用好外角与内角的关系，找到∠BAC=2∠CDB是解题关键
5.的三边为、、，则=___________．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由三角形三边关系可得：，，，，
∴

【总结】考察三角形三边关系及绝对值的运算．
6.若等腰三角形两腰上的高所在直线组成的角是80°，则顶角是______度．
【难度】★★
【答案】80°或100°．
【解析】当等腰三角形为锐角三角形时，顶角为80°；
当等腰三角形为钝角三角形时，顶角为100°．
【总结】当出现三角形一边上的高的问题时，注意要分类讨论．
7.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，与△ACD面积相等的三角形是__________．

【难度】★★
【答案】△BDC、△AEC、△ABE．
【解析】由同底等高可得：
．
【总结】考察面积的求法，注意同底等高的应用．
8.若等腰三角形一腰上的高与腰的夹角为28°，那么顶角等于________度．
【难度】★★
【答案】62°和118°．
【解析】图1中，，则；


图2中，，则．
【总结】注意等腰三角形的分类讨论．
9.如果等腰三角形的一边长为，另一边长为，则此三角形的周长为__________．
【难度】★★
【答案】．
【解析】当等腰三角形的三边长分别为，，，
因为，不符合三角形三边关系，所以不能构成三角形；
当等腰三角形的三边长分别为，，，符合三角形三边关系，
此时三角形的周长为．
【总结】考察等腰三角形的分类和三角形三边关系，注意等腰三角形的分类讨论．
10.如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：① AD=BE； ② PQ∥AE； ③ AP=BQ；④ DE=DP； ⑤ ∠AOB=60°．恒成立的结论有___（把你认为正确的序号都填上）．

【难度】★★★
【答案】①②③⑤．
【解析】①②③⑤正确，理由如下
∵，∴，即
∵，，，∴
∴，． ∵点C在线段AE上， ∴．
∵，∴
∵，，，∴
∴，．
∵，∴为等边三角形，∴
∵，∴，∴．
∵，∴， ∴．
∴
④错误，理由如下：∵，
∴，即
∵，
∴，∴
【总结】考察全等三角形判定方法和等边三角形的性质的运用，综合性较强，注意认真分析．
11.若以△ABC的AB、AC为一边在三角形形外分别作等边△ABD和等边△ACE，DC与BE交于点O，则∠BOC=__________．






【难度】★★★
【答案】120°．
【解析】∵
∴，即
∵，，
∴，∴
∴．
【总结】考察全等三角形判定方法和等边三角形的性质的综合运用．
12.如图，∠GEF =75°，AB=BC=CD=DE=EF，求∠A的度数．

【难度】★★★
【答案】15°．
【解析】∵，∴
∴
∵，∴，∴
∴
∵，∴
∵，∴
∵，∴
∴
∴．
【总结】考察三角形外角性质及等腰三角形性质的综合运用，注意进行分析．
三、解答题
1．（2019·上海八年级期末）如图，平分，交于点，， 垂足为，过点作，交于点．求证：点是的中点．

【分析】根据角平分线的定义、平行线的性质得到FA=FE，根据垂直的定义、同角的余角相等得到FB=FE，证明结论．
【详解】平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即点是的中点．
【点睛】本题考查的是平行线的性质、等腰三角形的性质、线段的中点，掌握等腰三角形的性质定理是解题的关键．
2．（2017·上海市青浦区金泽中学八年级期末）已知：如图，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，DE＝DF．
求证：AD⊥BC．

【分析】求出△BDE和△CDF都是直角三角形．根据HL证△BDE≌△CDF，推出∠B=∠C，推出AB=AC，根据等腰三角形的三线合一推出即可．
【详解】证明：∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE和△CDF都是直角三角形，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等）．
∴AB＝AC （等角对等边）．
∵AB＝AC，点 D是BC的中点，
∴AD⊥BC （等腰三角形的三线合一）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是证出△ABC是等腰三角形.
3.已知点M是AB的中点，∠1=∠2，∠C=∠D，试说明△AMC≌△BMD的理由．

【难度】★★
【解析】∵，∠1=∠2，∠C=∠D，
∴△AMC≌△BMD（A.A.S）．
【总结】考察全等三角形的判定方法的运用．
4.已知CE=CB，∠ACD=∠BCE，AC=DC，试说明△ABC≌△DEC的理由．

【难度】★★
【解析】∵∠ACD=∠BCE，
∴，即
∵CE=CB，，AC=DC，
∴△ABC≌△DEC（S.A.S）
【总结】考察全等三角形的判定方法．
5.已知AB∥DE，BC∥EF，点C、D在AF上，且AD=CF，试说明△ABC≌△DEF的理由．

【难度】★★
【解析】∵AB∥DE，∴
∵BC∥EF，∴
∵AD=CF， ∴AC=DF
∵，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF（A.S.A）
【总结】考察全等三角形的判定方法．
6.如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B=∠E=90°，BF=EC，AB=DE，∠A=50°，求∠DFE的度数．

【难度】★★
【答案】40°．
【解析】∵BF=EC， ∴，即．
∵，∠B=∠E，AB=DE，
∴，∴
∵，，∠A=50°，
∴，∴．
【总结】考察全等三角形判定和性质的综合运用．
7.如图，在△ABC中，∠ABC=52°，∠ACB=68°，CD、BE分别是AB、AC边上的高，BE、CD相交于点O，求∠BOC的度数．


【难度】★★
【答案】120°．
【解析】∵，
∴．
∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，
∴．
在△ABE中，，∴，
∴．
【总结】考察三角形内角和定理的综合运用．
8.已知：如图，CD平分∠ACB，AE∥CD，交BC的延长线于点E，请说明△ACE是等腰三角形的理由．

【难度】★★
【解析】∵CD平分∠ACB， ∴．
∵AE∥CD， ∴，
∵， ∴
∴△ACE是等腰三角形．
【总结】考察平行线的性质和等腰三角形的判定的综合运用．
9.如图，已知AD平分∠BAC，BE∥AD，F是BE的中点，试说明AF⊥BE的理由．

【难度】★★
【解析】∵AD平分∠BAC， ∴
∵BE∥AD，∴，
∵，∴
∴△ACE是等腰三角形
∵F是BE的中点， ∴AF⊥BE．
【总结】考察平行线的性质和等腰三角形的判定和三线合一性质的综合应用．
10.在△ABC中，D、E分别是BC和AB的中点，联结AD、CE相交于点F，试说明的大小关系．

【难度】★★
【答案】相等，理由见解析
【解析】∵D、E分别是BC和AB的中点，
∴．
∵，，
∴．
【总结】考察面积等底同高的用法，注意进行归纳分析．
11.如图，等边△ABC是等边三角形，点E、F分别是边BA、AC延长线上的点，且AE=CF，EC的延长线交BF于点D，求∠BDC的度数．

【难度】★★
【答案】60°
【解析】∵
∴
∵AE=CF，，
∴， ∴
∴
【总结】考察三角形全等判定方法及等边三角形性质的运用．
12.如图所示，已知∠BAD=∠CAD，EF⊥AD于P，交BC延长线于M，试说明2∠M =（∠ACB∠B）的理由．

【难度】★★
【解析】∵∠BAD=∠CAD，，
∴， ∴
∵，
∴
∴
∴2∠M =（∠ACB∠B）
【总结】考察全等三角形判定方法及等腰三角形性质的综合运用．
13.已知：如图，是等边三角形，过边上的点作，交于点，在的延长线上取点，使，连接．
（1）试说明的理由；
（2）过点作，交于点，请你连接，并判断是怎样的三角形，试证明你的结论．

【难度】★★
【解析】（1）∵是等边三角形，
∴，．
∵，∴，，
∴是等边三角形， ∴．
∵，∴， ∴．
∵，，，
∴；
（2） △AEF是等边三角形．
证明：∵，，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∴EF=CD，．
由（1）可得：，．
∵，，
∴△AEF是等边三角形．
【总结】考察等边三角形、全等三角形的性质和判定，综合性较强．
14.如图，已知BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，且CQ=AB．试说明（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ的理由．

【难度】★★
【解析】（1）∵BD、CE是△ABC的高，
∴，
∴，，
∴．
∵BP=AC，，CQ=AB，∴；
（2）∵，∴，
∵BD是△ABC的高，∴，
∴，即，
∴AP⊥AQ．
【总结】考察全等三角形判定和性质及垂直的判定，注意分析角度间的关系．
15.在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠DAE=600，DE交∠C的外角平分线于E，那么△ADE是什么三角形?证明你的结论．

【难度】★★
【答案】△ADE是等边三角形．
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴．
∵CE为∠C的外角平分线，∴，∴．
∵∠DAE=600， ∴．
∵，， ∴．
∵，，，
∴， ∴．
∵∠DAE=600， ∴△ADE是等边三角形．
【总结】考察全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质的综合运用．
16.正方形ABCD中，AC、BD交于O，∠EOF=90°，已知AE=3，CF=4，求四边形OEBF的面积．

【难度】★★
【答案】．
【解析】∵正方形ABCD，AC、BD交于O，
∴，，，，
∴．
∵∠EOF=90°， ∴．
∵，∴
∵，，
∴， ∴，
∵AE=3，CF=4， ∴， ∴
∴．
【总结】考察全等三角形的判定和性质，注意面积的转化．
17.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BD=CE，CE⊥BD交BD的延长线于点E，∠ABE=∠CBE．试说明AB=AC的理由．

【难度】★★★
【解析】延长BA和CE相交于F
∵CE⊥BD， ∴．
∵∠ABE=∠CBE，， ∴
∴，即
∵BD=CE， ∴
∵∠BAC=90°，CE⊥BD
∴，，∴
∵，，
∴，∴．
【总结】考察全等三角形的判定和性质，注意总结本题中的全等模型．
18.如图，已知△ABC中，AE=BE+BC，D是CB延长线上一点，∠ADB=60°，E是AD上一点，且有DE=DB，试说明AB=AC的理由．

【难度】★★★
【解析】延长DC至点F，使得，联结AF
∵∠ADB=60°，DE=DB，
∴是等边三角形
∴
∵AE=BE+BC，，
∴
∵DE=DB，
∴，即．
∵∠ADB=60°，
∴是等边三角形，
∴
∴，
∵∠ADB=60°，
∴
∵，，
∴
∵，，
∴，
∴
【总结】考察全等三角形的判定和等边三角形的性质的综合运用，注意辅助线的添加．
19.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N，
试说明：（1）BD=CE；（2）BD⊥CE．（3）当△ABC绕A点沿顺时针方向旋转如下图（1）（2）（3）位置时，上述结论是否成立?请选择其中的一个图加以说明．


【难度】★★★
【解析】（1）∵
∴，即
∵，，
∴，
∴，；
（2）∵，
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴，即BD⊥CE
（3） 当△ABC绕A点沿顺时针方向旋转如下图（1）（2）（3）位置时，上述结论成立．
证明方法同上．
【总结】考察全等三角形判定方法和等边三角形的性质的综合运用．