第2讲用数轴表示实数及运算（练习）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版）

第2讲     用数轴表示实数及运算（练习）

夯实基础

1．（2019·上海市松江区九亭中学七年级期中）已知面积为10的正方形的边长为，那么的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据正方形的面积公式，求得正方形的边长，再进一步根据数的平方进行估算．

【详解】解：由面积为10的正方形的边长为x，得，∴

∵9<10<16，∴，故选：C．

【点睛】此题考查了求一个数的算术平方根和无理数的估算方法，解题的关键是熟悉1至20的整数的平方．

2．（2019·上海市市西初级中学）如图，数轴上有、、、、五个点，根据各点所表示的数，则表示的点在下列哪条线段上？（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据无理数的估算、数轴的定义即可得．

【详解】，，即

由数轴的定义得：表示的点在线段BC上，故选：C．

【点睛】本题考查了无理数的估算、数轴的定义，掌握无理数的估算方法是解题关键．

3．（2019·上海市光明中学七年级期中）我们知道，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示.如果把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上的一个点来表示.如果把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上，以原点O为圆心，正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，那么点A对应的实数是（      ） 

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【分析】利用勾股定理求出正方形对角线长度，即为OA的长度，根据实数与数轴的知识解答.

【详解】因为正方形边长为1，所以对角线为，所以OA=，则A点对应的数是，选B.

【点睛】本题考查实数与数轴的对应关系，找到OA的长度是关键.

4．（2019·上海长宁区·七年级期末）在数轴上表示实数和的点的位置如图所示，那么下列各式成立的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据数轴上的点所表示的数，右边的总比左边的大，且离原点的距离越远，则该点所对应的数的绝对值越大，进行分析．

【详解】解：A、根据a在b的右边，则a＞b，故本选项错误；

B、根据a在b的右边，则a＞b，故本选项正确；

C、根据a在原点的右边，b在原点的左边，得b＜0＜a，则ab＜0，故本选项错误；

D、根据b离原点的距离较远，则|b|＞|a|，故本选项错误．故选：B．

【点睛】此题考查了数轴上的点和实数之间的对应关系，同时能够根据点在数轴上的位置判断它们所对应的数之间的大小关系以及绝对值的大小关系．

5．（2019·上海普陀区·七年级期中）比较大小：____________（填“>”、“<”或“=”）．

【答案】>

【分析】根据15＜16，利用算术平方根比较出和大小；再利用不等式的基本性质求出与-3的大小．

【详解】∵15＜16，∴即

∴，∴，故答案为：>

【点睛】本题是一道主要估算无理数大小的题目，理解无理数大小估算的方法是解答关键.其中考查了不等式的基本性质．

6．（2019·上海市同洲模范学校七年级期中）如果，那么整数=_______．

【答案】4

【分析】根据，推出，推出a＝4，a＋1＝5即可．

【详解】解：∵，∴，∵，

∴a＝4，a＋1＝5，即a＝4，故答案为：4．

【点睛】本题考查了估算无理数的大小，关键是求出的范围．

7．（2019·上海控江中学附属民办学校七年级单元测试）的相反数是_________，绝对值是________.

【答案】       

【分析】根据相反数的定义即可求出；根据绝对值的性质判断出该数的正负即可求出．

【详解】的相反数是﹣（）=；

∵＜0，∴||=．故答案为：，．

【点睛】本题考查了绝对值和相反数的性质，要求掌握绝对值和相反数的性质及其定义，并能熟练运用到解题当中．

8．（2019·上海金山区·七年级期中）比较大小：_______0．

【答案】

【分析】根据实数的大小比较法则即可得．

【详解】，，即，。故答案为：．

【点睛】本题考查了实数的大小比较法则，熟记大小比较法则是解题关键．

9．（2019·上海市市西初级中学）比较大小：4______（填“”、“”或“”）．

【答案】>．

【分析】根据实数的大小比较即可得．

【详解】，，即，故答案为：．

【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟记大小比较方法是解题关键．

10．（2019·上海崇明区·七年级期末）比较大小：__________-4．（填“”、“”或“”）

【答案】

【分析】先由，得到>，再利用两个负实数绝对值大的反而小得到结论．

【详解】解：∵>，∴，∴>．故答案为：

【点睛】本题考查了实数大小的比较，关键要熟记实数大小的比较方法：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．

11．（2019·上海市实验学校西校七年级期中）若定义ab＝a-2b，计算:(3x)2=_______

【答案】-1-2x

【分析】根据定义先计算括号内的数，将结果与2进行计算即可得出答案.

【详解】∵ab＝a-2b，∴(3x)2=(3-2x)2=3-2x-2×2=-1-2x，故答案为：-1-2x.

【点睛】本题考查的是新定义，认真审题理清题意是解决本题的关键.

12．（2019·上海浦东新区·七年级月考）比较大小：________.（选填“>”、“=”、“<”）.

【答案】<；

【分析】根据有理数大小比较的规律可知两个负数比较，绝对值大的反而小，即可得出答案．

【详解】解：，且，，．

故答案是：．

【点睛】此题考查了实数的大小比较，注意两个无理数的比较方法：根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小．

13．（2019·上海市闵行区明星学校）对于有理数a,b，定义一种新运算※,即a※b=3a+3b,则式子（x+y）※(x-y)化简后得到_________

【答案】6x

【分析】先根据新运算“※”的定义，得出（x+y）※（x-y）=3（x+y）+3（x-y），再去括号合并即可．

【详解】解：∵a※b=3a+3b，

∴（x+y）※（x-y）=3（x+y）+3（x-y）=3x+3y+3x-3y=6x．

故答案为：6x.

【点睛】本题考查了整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“-”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．也考查了学生的阅读理解能力．

14．（2019·上海杨浦区·七年级期末）计算：；

【答案】．

【分析】根据实数的混合运算法则，即可求解．

【详解】原式===．

【点睛】本题主要考查实数的混合运算法则，掌握分数指数幂与零次幂的性质，是解题的关键．

15．（2019·上海市光明中学七年级期中）计算：

【答案】12

【分析】用完全平方公式展开计算即可.

【详解】原式=

【点睛】熟记完全平方公式是解题关键。

16．（2019·上海控江中学附属民办学校七年级单元测试）设求

【答案】158.82

【分析】先求出a、b的值，再求和即可．

【详解】∵，，∴a=1.572516，b=157.2516，∴a+b=1.572516+157.2516≈158.82．

【点睛】本题考查了实数的运算，解答本题关键是求出a、b的值．

17．（2019·上海市中国中学七年级期中）计算：

【答案】1

【分析】根据立方根、零次幂、平方和负整数指数幂的性质化简各数，然后计算即可.

【详解】解：原式.

【点睛】本题考查实数运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题关键.

18．（2019·上海浦东新区·七年级期末）计算：

【答案】6

【分析】运用指数是分数的幂、算术平方根、立方根、零次幂、负指数幂的知识即可解答.

【详解】解：原式=

【点睛】本题考查了指数是分数的幂、算术平方根、立方根、零次幂、负指数幂的知识，解题的关键是对原式的变形和化简.

能力提升

1．（2019·上海七年级月考）实数x在数轴上的位置如右图，则化简的结果是(   )

A．-1 B．3-2x C．1 D．2x-3

【答案】C

【分析】由数轴可得1<x<2,然后利用二次根式与绝对值的性质求解即可求得答案

【详解】如图, ∵1＜x＜2，∴x-2＜0,1-x＜0，

∴ =2-x+x-1=1。故选C

【点睛】此题考查实数与数轴和二次根式的性质与化简，解题关键在于利用1<x<2进行求解

2．（2019·上海黄浦区·七年级期中）若的小数部分为，整数部分为，则的值为_____________．

【答案】

【分析】根据，可得a、b的值，代入代数式中利用平方差公式计算即可得答案．

【详解】解：∵，∴，∴，，

∴

【点睛】本题考查了估算无理数的大小和平方差公式的应用，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．

3．（2019·上海市同洲模范学校七年级期中）已知的小数部分为，的小数部分为，则的值为_______．

【答案】1

【分析】根据1＜＜2，可得a、b的值，代入，可得答案．

【详解】解：∵1＜＜2，∴，

∵的小数部分为，的小数部分为，

∴a=，b=，∴a+b=+=1．

【点睛】本题考查了估算无理数的大小，利用范围得出a、b的值是解题关键．

4．（2019·上海市西南位育中学七年级期末）已知的整数部分为，小数部分为，那么_________．

【答案】

【分析】分别计算出和的值，再代入求解即可．

【详解】∵，∴

∵整数部分为，小数部分为，∴，

∴，故答案为：．

【点睛】本题考查了无理数的整数部分问题，掌握无理数的运算法则是解题的关键．

5．（2019·上海金山区·七年级期中）把化成幂的形式是______.

【答案】

【分析】根据开方.倒数和指数的关系，逐步分析即可.

【详解】。故答案为：

【点睛】考核知识点：开方.倒数和指数的关系.理解幂的意义是关键.

6．（2019·上海全国·七年级单元测试）对于“”，有下列说法：①它是一个无理数；②它是数轴上离原点个单位长度的点所表示的数；③若a＜＜a＋1，则整数a为2；④它表示面积为5的正方形的边长．其中正确的说法是________(填序号)．

【答案】①③④

【分析】根据无理数的意义和数轴的性质进行判断即可．

【详解】是一个无理数，A正确；

±是数轴上离原点个单位长度的点表示的数，B错误；

∵2＜＜2+1，∴若a＜＜a+1，则整数a为2，C正确；

表示面积为5的正方形的边长，D正确，

说法正确是①③④，故答案为①③④．

【点睛】本题主要考查了实数与数轴的相关知识，理解定义和概念是解答此题的关键．

7．（2019·上海浦东新区·七年级期末）比较大小：__________（填“”或“”或“”）．

【答案】

【分析】先求的值，然后与比较即可.

【详解】解：=，则：，即答案为：.

【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根和实数的大小比较，其中算术平方根为非负数是解答本题的关键.

8．（2019·上海虹口区·七年级月考）比较大小：-2_______-（填或）.

【答案】>

【分析】先比较2与的大小，再比较-2与-的大小，根据绝对值大的反而小，即可得出答案．

【详解】∵|-2|=2，|-|=，2=<，∴-2>-.故答案为>.

【点睛】此题主要考查了实数的大小比较，掌握两个负数比较大小，绝对值大的它就小是本题的关键．

9．（2019·上海市中国中学七年级期中）比较大小:-2_____-5，_____5

【答案】>，    >.   

【分析】先把根号的外的因式移入根号内，再比较大小即可；

【详解】-2=-，-5=-，∵＜，

∴-2＞-5；=>=5，∴>5.故答案为>；>.

【点睛】本题考查了实数的大小比较法则，二次根式的性质的应用，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键．

10．（2019·上海市嘉定区震川中学七年级期中）比较大小:______6.

【答案】

【分析】将6转化成然后再比较大小即可解答.

【详解】解：6=＞ ，故答案为＜.

【点睛】本题考查了无理数的大小比较，灵活进行转换是解题的关键.

11．（2019·上海兰田中学七年级期中）比较大小：  _____________ ．

【答案】>

分析：先比较他们的绝对值，根据两个负数，绝对值大的反而小,即可得出结论.

详解：

即 故答案为

点睛：考查实数的大小比较，两个负数，绝对值大的反而小,

12．（2019·上海嘉定区·七年级期末）计算：．

【答案】5

【分析】先算乘方和开方、零次幂，再算加减法即可．

【详解】

【点睛】本题考查了实数的混合运算问题，掌握实数混合运算法则、零次幂的性质是解题的关键．

13．（2019·上海市西南位育中学七年级期末）

【答案】

【分析】先算乘方和开方，再算加减法即可．

【详解】．

【点睛】本题考查了无理数的混合运算，掌握无理数混合运算的法则是解题的关键．

14．（2019·上海市长宁中学七年级月考）计算：

【答案】1

【分析】分别计算零指数幂、负整数指数幂，得出各部分的最简值，继而合并可得出答案．

【详解】解：原式=

【点睛】本题考查了实数的运算，属于基础题，熟练掌握各部分的运算法则是解答本题的关键．

15．（2019·上海市光明中学七年级期中）计算：

【答案】-2

【分析】先分别计算开立方，0次方，负指数幂，再计算除法，最后加法.

【详解】解：原式= 

【点睛】，

16．（2019·上海七年级课时练习）化简：|﹣|﹣|3﹣|．

【答案】2﹣﹣3．

【分析】先化简绝对值，再进行实数的混合运算即可．

【详解】原式=﹣﹣（3﹣）

=﹣﹣3+

=2﹣﹣3．

【点睛】本题考查了实数的混合运算．正确去掉绝对值符号是解答本题的关键．

17．（2019·上海浦东新区·七年级期中）计算：－＋－×

【答案】-36

【分析】原式第一项利用零指数幂化简，第二项利用绝对值化简，第三项利用分数指数幂计算，第四项利用乘方计算，最后一项利用二次根式的性质化简即可得到结果；

【详解】解：原式=1-4+3-9×4=-36.

【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

18．（2019·上海浦东新区·七年级期中）计算：

【答案】24

【分析】直接利用根式与分数指数幂的互化化简求值．

【详解】解：原式=

【点睛】本题考查了根式与分数指数幂的互化，是基础题．

19．（2019·上海浦东新区·七年级期中）计算：＋＋.

【答案】

【分析】第一、三项利用负指数幂法则计算，第二项利用立方根计算即可.

【详解】解：原式= .

【点睛】本题考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键.

20．（2019·上海浦东新区·七年级期中）计算：﹣＋－.

【答案】4

【分析】原式第一项利用乘方的意义化简,第二项利用二次根式的性质化简,最后一项利用立方根定义计算即可得到结果.

【详解】解：原式=-4+6+2=4.

【点睛】本题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解题的关键.

21．（2019·上海浦东新区·七年级期末）计算：.

【答案】

【分析】按顺序先分别进行0次幂的运算、平方运算、立方根运算，然后再按运算顺序进行计算即可.

【详解】===.

【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了0次幂、立方根、乘方等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.

22．（2019·上海市中国中学七年级期中）

【答案】22.

【分析】根据二次根式的乘方，二次根式的乘法以及零指数幂的定义分别化简计算即可.

【详解】=5+18-1=22.

【点睛】本题考查了实数的运算，掌握二次根式的乘方，二次根式的乘法以及零指数幂的定义是解题的关键.

23．（2019·上海市中国中学七年级期中）

【答案】

【分析】根据算术平方根和立方根的意义进行求解即可.

【详解】===

【点睛】本题考查了实数的运算，熟悉算术平方根的意义和立方根的意义是解题的关键，解答此题时要注意：负数的立方根是负数.

24．（2019·上海静安区·新中初级中学七年级期中）(结果用根式的形式来表示).

【答案】

【分析】根据开方与幂的关系进行变形，再根据幂的运算法则进行计算.

【详解】解：

【点睛】考核知识点：开方与幂的关系.理解相关定义是关键.

25．（2019·上海全国·七年级单元测试）如图是一个数值转换器．

(1)当输入x＝25时，求输出的y的值；

(2)是否存在输入x的值后，始终输不出y的值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由；

(3)输入一个两位数x，恰好经过三次取算术平方根才能输出无理数y，则x＝________(只填一个即可)．

【答案】（1） （2）x＝0或1时，始终输不出y的值  （3）81

【分析】（1）根据运算的定义即可直接求解；

（2）始终输不出y值，则x的任何次方根都是有理数，则只有0和1；

（3）写出一个无理数，平方是有理数，然后两次平方即可．

【详解】解：(1)由输入x＝25得＝5.因为5是有理数，不能输出，再取5的算术平方根得.因为是无理数，所以输出y，所以输入x＝25时，输出的y的值是.

(2)x＝0或1时，始终输不出y的值．

(3)81(答案不唯一)

【点睛】本题考查无理数，正确理解题目中规定的运算是关键．

26．（2019·上海全国·七年级单元测试）计算：

(1)3π－＋(精确到0.01)；

(2)2×÷(精确到0.01)．

【答案】（1）8.50 （2）5.77

【分析】各个无理数的近似值代入，然后计算即可．

【详解】解：(1)原式≈3×3.142－＋0.875≈8.50.

(2)原式≈2×3.162×2.236÷2.449≈5.77.

【点睛】此题考查了实数的运算以及计算器的应用．此题比较简单.

27．（2019·上海全国·七年级单元测试）计算：

(1)|－5|＋(－2)2＋－－1；

(2)－×3×.

【答案】（1）3  （2）

【分析】（1）原式利用乘方的意义，平方根及立方根定义计算即可得到结果；

（2）原式利用平方根及立方根的定义化简即可得到结果.

【详解】(1)原式＝5＋4－3－2－1＝3.

(2)原式＝0.5－×3×＝－.

【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键