黑龙江省哈尔滨市香坊区第六十九中学2022年中考一模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（　　）

A．25和30 B．25和29 C．28和30 D．28和29

2．如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A＝60°）按如图所示放置．若∠1＝55°，则∠2的度数为（　　）

A．105° B．110° C．115° D．120°

3．下列命题是真命题的是（　　）

A．如果a+b＝0，那么a＝b＝0 B．的平方根是±4

C．有公共顶点的两个角是对顶角 D．等腰三角形两底角相等

4．如图，若a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（　　）

A．40° B．60° C．120° D．150°

5．今年，我省启动了“关爱留守儿童工程”．某村小为了了解各年级留守儿童的数量， 对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别为10,15,10,17,18,1．对于这组数据，下列说法错误的是（ ）

A．平均数是15 B．众数是10 C．中位数是17 D．方差是

6．如图，已知直线AD是⊙O的切线，点A为切点，OD交⊙O于点B，点C在⊙O上，且∠ODA=36°，则∠ACB的度数为（　　）

A．54°    B．36°    C．30°    D．27°

7．下列计算错误的是(　　)

A．a•a=a2 B．2a+a=3a C．(a3)2=a5 D．a3÷a﹣1=a4

8．下列运算正确的是（　　）

A．a3•a2=a6 B．（x3）3=x6 C．x5+x5=x10 D．﹣a8÷a4=﹣a4

9．关于x的不等式的解集为x＞3，那么a的取值范围为（　　）

A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤3

10．如图，等腰直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D是量角器上60°刻度线的外端点，连接CD交AB于点E，则∠CEB的度数为（    ）

A．60° B．65° C．70° D．75°

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点D，如果EF＝8，AD＝2，则⊙O半径的长是_____．

12．已知a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，则an＝_____．（n为正整数）．

13．如图所示，某办公大楼正前力有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶点A测得族杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底端C的距离DC是20米，梯坎坡长BC是13米，梯坎坡度i=1：2.4，则大楼AB的高度的为_____米．

14．如图，为了测量铁塔AB高度，在离铁塔底部（点B）60米的C处，测得塔顶A的仰角为30°，那么铁塔的高度AB=________米．

15．若x2+kx+81是完全平方式，则k的值应是________．

16．等腰三角形一边长为8，另一边长为5，则此三角形的周长为_____．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）（1）计算：（）﹣1+﹣（π﹣2018）0﹣4cos30°

（2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．

18．（8分）P是外一点，若射线PC交于点A，B两点，则给出如下定义：若，则点P为的“特征点”．

当的半径为1时．

在点、、中，的“特征点”是______；

点P在直线上，若点P为的“特征点”求b的取值范围；

的圆心在x轴上，半径为1，直线与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上的所有点都不是的“特征点”，直接写出点C的横坐标的取值范围．

19．（8分）4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？

20．（8分）为了弘扬学生爱国主义精神，充分展现新时期青少年良好的思想道德素质和精神风貌，丰富学生的校园生活，陶冶师生的情操，某校举办了“中国梦•爱国情•成才志”中华经典诗文诵读比赛．九(1)班通过内部初选，选出了丽丽和张强两位同学，但学校规定每班只有1个名额，经过老师与同学们商量，用所学的概率知识设计摸球游戏决定谁去，设计的游戏规则如下：在A、B两个不透明的箱子分别放入黄色和白色两种除颜色外均相同的球，其中A箱中放置3个黄球和2个白球；B箱中放置1个黄球，3个白球，丽丽从A箱中摸一个球，张强从B箱摸一个球进行试验，若两人摸出的两球都是黄色，则丽丽去；若两人摸出的两球都是白色，则张强去；若两人摸出球颜色不一样，则放回重复以上动作，直到分出胜负为止．

根据以上规则回答下列问题：

(1)求一次性摸出一个黄球和一个白球的概率；

(2)判断该游戏是否公平？并说明理由．

21．（8分）已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）.（正方形网格中， 每个小正方形的边长是1个单位长度）

画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；以点B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2︰1，并直接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积．

22．（10分）如图所示，某小组同学为了测量对面楼AB的高度，分工合作，有的组员测得两楼间距离为40米，有的组员在教室窗户处测得楼顶端A的仰角为30°，底端B的俯角为10°，请你根据以上数据，求出楼AB的高度．（精确到0.1米）（参考数据：sin10°≈0.17， cos10°≈0.98， tan10°≈0.18， ≈1.41， ≈1.73）

23．（12分）已知：如图，在△OAB中，OA=OB，⊙O经过AB的中点C，与OB交于点D，且与BO的延长线交于点E，连接EC，CD．

（1）试判断AB与⊙O的位置关系，并加以证明；

（2）若tanE=，⊙O的半径为3，求OA的长．

24．已知抛物线y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y=﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．

（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；

（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；

（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、D

【解析】

【分析】根据中位数和众数的定义进行求解即可得答案.

【详解】对这组数据重新排列顺序得，25，26，27，28，29，29，30，

处于最中间是数是28，

∴这组数据的中位数是28，

在这组数据中，29出现的次数最多，

∴这组数据的众数是29，

故选D．

【点睛】本题考查了中位数和众数的概念，熟练掌握众数和中位数的概念是解题的关键.一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，一组数据按从小到大（或从大到小）排序后，位于最中间的数（或中间两数的平均数）是这组数据的中位数.

2、C

【解析】
如图，首先证明∠AMO=∠2，然后运用对顶角的性质求出∠ANM=55°；借助三角形外角的性质求出∠AMO即可解决问题．

【详解】

如图，对图形进行点标注.

∵直线a∥b，

∴∠AMO=∠2；

∵∠ANM=∠1，而∠1=55°，

∴∠ANM=55°，

∴∠2=∠AMO=∠A+∠ANM=60°+55°=115°，

故选C.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

3、D

【解析】
解：A、如果a+b=0，那么a=b=0，或a=﹣b，错误，为假命题；

B、=4的平方根是±2，错误，为假命题；

C、有公共顶点且相等的两个角是对顶角，错误，为假命题；

D、等腰三角形两底角相等，正确，为真命题；

故选D．

4、C

【解析】

如图：

∵∠1=60°，

∴∠3=∠1=60°，

又∵a∥b，

∴∠2+∠3=180°，

∴∠2=120°，

故选C.

点睛：本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，熟记性质是解题的关键.平行线的性质定理：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，两条平行线之间的距离处处相等.

5、C

【解析】
解：中位数应该是15和17的平均数16，故C选项错误，其他选择正确．

故选C．

【点睛】

本题考查求中位数，众数，方差，理解相关概念是本题的解题关键.

6、D

【解析】解：∵AD为圆O的切线，∴AD⊥OA，即∠OAD=90°，∵∠ODA=36°，∴∠AOD=54°，∵∠AOD与∠ACB都对，∴∠ACB=∠AOD=27°．故选D．

7、C

【解析】
解：A、a•a=a2，正确，不合题意；

B、2a+a=3a，正确，不合题意；

C、（a3）2=a6，故此选项错误，符合题意；

D、a3÷a﹣1=a4，正确，不合题意；

故选C．

【点睛】

本题考查幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；负整数指数幂．

8、D

【解析】
各项计算得到结果，即可作出判断．

【详解】

A、原式=a5，不符合题意；

B、原式=x9，不符合题意；

C、原式=2x5，不符合题意；

D、原式=-a4，符合题意，

故选D．

【点睛】

此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

9、D

【解析】

分析：先解第一个不等式得到x＞3，由于不等式组的解集为x＞3，则利用同大取大可得到a的范围．

详解：解不等式2（x-1）＞4，得：x＞3，

解不等式a-x＜0，得：x＞a，

∵不等式组的解集为x＞3，

∴a≤3，

故选D．

点睛：本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

10、D

【解析】
解：连接OD

∵∠AOD=60°，

∴ACD=30°.

∵∠CEB是△ACE的外角，

∴△CEB＝∠ACD+∠CAO=30°+45°=75°

故选：D

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、1.

【解析】

试题解析：连接OE，如下图所示，

则：OE=OA=R，

∵AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB，

∴ED=DF=4，

∵OD=OA-AD，

∴OD=R-2，

在Rt△ODE中，由勾股定理可得：

OE2=OD2+ED2，

∴R2=（R-2）2+42，

∴R=1．

考点：1.垂径定理；2.解直角三角形．

12、.

【解析】
观察分母的变化为n的1次幂加1、2次幂加1、3次幂加1…，n次幂加1；分子的变化为：3、5、7、9…2n+1．

【详解】

解：∵a1=，a2=，a3=，a4=，a5=，…，

∴an＝，

故答案为：．

【点睛】

本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．

13、42

【解析】
延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米，则CH=2.4x米，在Rt△BCH中，BC=13米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=5米，CH=12米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=12+20=32（米），即可得出大楼AB的高度．

【详解】

延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：

则GH=DE=15米，EG=DH，
∵梯坎坡度i=1：2.4，
∴BH：CH=1：2.4，
设BH=x米，则CH=2.4x米，
在Rt△BCH中，BC=13米，
由勾股定理得：x2+（2.4x）2=132，
解得：x=5，
∴BH=5米，CH=12米，
∴BG=GH-BH=15-5=10（米），EG=DH=CH+CD=12+20=32（米），
∵∠α=45°，
∴∠EAG=90°-45°=45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴AG=EG=32（米），
∴AB=AG+BG=32+10=42（米）；
故答案为42

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用-坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键．

14、20

【解析】
在Rt△ABC中,直接利用tan∠ACB=tan30°==即可.

【详解】

在Rt△ABC中，tan∠ACB=tan30°==,BC=60，解得AB=20.

故答案为20.

【点睛】

本题考查的知识点是解三角形的实际应用，解题的关键是熟练的掌握解三角形的实际应用.

15、±1

【解析】

试题分析：利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．

解：∵x2+kx+81是完全平方式，

∴k=±1．

故答案为±1．

考点：完全平方式．

16、18或21

【解析】

当腰为8时，周长为8+8+5=21；

当腰为5时，周长为5+5+8=18.

故此三角形的周长为18或21.

三、解答题（共8题，共72分）

17、 (1)-3;(2).

【解析】

分析：

（1）代入30°角的余弦函数值，结合零指数幂、负整数指数幂的意义及二次根式的相关运算法则计算即可；

（2）按照解一元一次不等式组的一般步骤解答，并把解集规范的表示到数轴上即可.

（1）原式=

     =

= -3.

（2）

解不等式①得:  ，

解不等式②得：，

∴不等式组的解集为：

不等式组的解集在数轴上表示：

点睛：熟记零指数幂的意义：，（，为正整数）即30°角的余弦函数值是本题解题的关键.

18、（1）①、；②（2）或，．

【解析】
据若，则点P为的“特征点”，可得答案；

根据若，则点P为的“特征点”，可得，根据等腰直角三角形的性质，可得答案；

根据垂线段最短，可得PC最短，根据等腰直角三角形的性质，可得，根据若，则点P为的“特征点”，可得答案．

【详解】

解：，，

点是的“特征点”；

，，

点是的“特征点”；

，，

点不是的“特征点”；

故答案为、

如图1，

在上，若存在的“特征点”点P，点O到直线的距离．

直线交y轴于点E，过O作直线于点H．

因为．

在中，可知．

可得同理可得．

的取值范围是：

如图2

，

设C点坐标为，

直线，．

，，

，．

．

，

线段MN上的所有点都不是的“特征点”，

，

即，

解得或，

点C的横坐标的取值范围是或，．

故答案为 ：（1）①、；②（2）或，．

【点睛】

本题考查一次函数综合题，解的关键是利用若，则点P为的“特征点”；解的关键是利用等腰直角三角形的性质得出OE的长；解的关键是利用等腰直角三角形的性质得出，又利用了．

19、（1）；（2）；（3）x=1．

【解析】
（1）用不合格品的数量除以总量即可求得抽到不合格品的概率；

（2）利用独立事件同时发生的概率等于两个独立事件单独发生的概率的积即可计算；

（3）根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值.

【详解】

解：（1）∵4件同型号的产品中，有1件不合格品，

∴P（不合格品）=；

（2）

共有12种情况，抽到的都是合格品的情况有6种，

P（抽到的都是合格品）==；

（3）∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，

∴抽到合格品的概率等于0.95，

∴ =0.95，

解得：x=1．

【点睛】

本题考查利用频率估计概率；概率公式；列表法与树状图法．

20、 (1)；(2)不公平，理由见解析．

【解析】
（1）画树状图列出所有等可能结果数，找到摸出一个黄球和一个白球的结果数，根据概率公式可得答案；

（2）结合（1）种树状图根据概率公式计算出两人获胜的概率，比较大小即可判断．

【详解】

(1)画树状图如下：

由树状图可知共有20种等可能结果，其中一次性摸出一个黄球和一个白球的有11种结果，

∴一次性摸出一个黄球和一个白球的概率为；

(2)不公平，

由(1)种树状图可知，丽丽去的概率为，张强去的概率为=，

∵，

∴该游戏不公平．

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法，解题的关键是根据题意画出树状图.

21、解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，C1（2，－2）．（2）如图，△A2BC2即为所求，C2（1，0），△A2BC2的面积：10

【解析】
分析：（1）根据网格结构，找出点A、B、C向下平移4个单位的对应点、、 的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点的坐标；（2）延长BA到使A=AB，延长BC到，使C=BC，然后连接A2C2即可，再根据平面直角坐标系写出点的坐标，利用△B所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．

本题解析：（1）如图，△A1B1C1即为所求，C1(2，－2)

(2)如图,△B为所求, (1,0)，

△B 的面积：

6×4−×2×6−×2×4−×2×4=24−6−4−4=24−14=10，

22、30.3米．

【解析】

试题分析：过点D作DE⊥AB于点E，在Rt△ADE中，求出AE的长，在Rt△DEB中，求出BE的长即可得.

试题解析：过点D作DE⊥AB于点E，

在Rt△ADE中，∠AED=90°，tan∠1=， ∠1=30°，

∴AE=DE× tan∠1=40×tan30°=40×≈40×1.73×≈23.1

在Rt△DEB中，∠DEB=90°，tan∠2=， ∠2=10°，

∴BE=DE× tan∠2=40×tan10°≈40×0.18=7.2

∴AB=AE+BE≈23.1+7.2=30.3米．

23、（1）AB与⊙O的位置关系是相切，证明见解析；（2）OA=1．

【解析】
（1）先判断AB与⊙O的位置关系，然后根据等腰三角形的性质即可解答本题；

（2）根据题三角形的相似可以求得BD的长，从而可以得到OA的长．

【详解】

解：（1）AB与⊙O的位置关系是相切，

证明：如图，连接OC．

∵OA=OB，C为AB的中点，

∴OC⊥AB．

∴AB是⊙O的切线；

（2）∵ED是直径，

∴∠ECD=90°．

∴∠E+∠ODC=90°．

又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，

∴∠BCD=∠E．

又∵∠CBD=∠EBC，

∴△BCD∽△BEC．

∴.

∴BC2=BD•BE．

∵，

∴．

∴．

设BD=x，则BC=2x．

又BC2=BD•BE，

∴（2x）2=x（x+6）．

解得x1=0，x2=2．

∵BD=x＞0，

∴BD=2．

∴OA=OB=BD+OD=2+3=1．

【点睛】

本题考查直线和圆的位置关系、等腰三角形的性质、三角形的相似，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

24、（1）y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3；（2）（﹣4，﹣）和（﹣6，﹣3）（3）（1，﹣4）．

【解析】

试题分析：（1）根据二次函数的交点式确定点A、B的坐标，求出直线的解析式，求出点D的坐标，求出抛物线的解析式；（2）作PH⊥x轴于H，设点P的坐标为（m，n），分△BPA∽△ABC和△PBA∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可；（3）作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，根据正切的定义求出Q的运动时间t=BE+EF时，t最小即可．

试题解析：（1）∵y=a（x+3）（x﹣1），

∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0），

∵直线y=﹣x+b经过点A，

∴b=﹣3，

∴y=﹣x﹣3，

当x=2时，y=﹣5，

则点D的坐标为（2，﹣5），

∵点D在抛物线上，

∴a（2+3）（2﹣1）=﹣5，

解得，a=﹣，

则抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3；

（2）作PH⊥x轴于H，

设点P的坐标为（m，n），

当△BPA∽△ABC时，∠BAC=∠PBA，

∴tan∠BAC=tan∠PBA，即=，

∴=，即n=﹣a（m﹣1），

∴，

解得，m1=﹣4，m2=1（不合题意，舍去），

当m=﹣4时，n=5a，

∵△BPA∽△ABC，

∴=，即AB2=AC•PB，

∴42=•，

解得，a1=（不合题意，舍去），a2=﹣，

则n=5a=﹣，

∴点P的坐标为（﹣4，﹣）；

当△PBA∽△ABC时，∠CBA=∠PBA，

∴tan∠CBA=tan∠PBA，即=，

∴=，即n=﹣3a（m﹣1），

∴，

解得，m1=﹣6，m2=1（不合题意，舍去），

当m=﹣6时，n=21a，

∵△PBA∽△ABC，

∴=，即AB2=BC•PB，

∴42=•，

解得，a1=（不合题意，舍去），a2=﹣，

则点P的坐标为（﹣6，﹣），

综上所述，符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣）和（﹣6，﹣）；

（3）作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，

则tan∠DAN===，

∴∠DAN=60°，

∴∠EDF=60°，

∴DE==EF，

∴Q的运动时间t=+=BE+EF，

∴当BE和EF共线时，t最小，

则BE⊥DM，E(1,﹣4)．

考点：二次函数综合题.