专题30：函数的零点、隐零点问题-2023届高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）

专题30：函数的零点、隐零点问题

精讲温故知新

函数零点的个数问题

用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断；另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决．对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值；从图象的对称性,分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别,论证是充要关系,要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说

利用函数的极值(最值)判断函数零点个数，主要是借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负、函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者利用零点个数求参数范围．

题型一：利用最值(极值)、单调性判断零点个数

例1：（2019·全国·高考真题（理））已知函数，为的导数．证明：

（1）在区间存在唯一极大值点；

（2）有且仅有2个零点．

题型二、数形结合法研究零点问题　

例2：（2022·全国·高考真题（理））已知函数

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．

题型三、分类讨论参数确定零点个数的情况

例3:（2022·浙江绍兴·模拟预测）设a为实数，函数．

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)判断函数零点的个数．

题型四、已知零点的个数求参数的范围

例4．（2020·全国·高考真题（文））已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若有三个零点，求的取值范围．

零点存在性赋值理论

1.确定零点是否存在或函数有几个零点,作为客观题常转化为图象交点问题,作为解答题一般不提倡利用图象求解,而是利用函数单调性及零点赋值理论.函数赋值是近年高考的一个热点, 赋值之所以“热”, 是因为它涉及到函数领域的方方面面：讨论函数零点的个数(包括零点的存在性, 唯一性)； 求含参函数的极值或最值； 证明一类超越不等式； 求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的参数取值范围等,零点赋值基本模式是已知 f (a) 的符号,探求赋值点 m (假定 m  a )使得 f (m) 与 f (a) 异号,则在 (m,a) 上存在零点．

2.赋值点遴选要领：遴选赋值点须做到三个确保：确保参数能取到它的一切值； 确保赋值点 x0 落在规定区间内；确保运算可行

三个优先：（1）优先常数赋值点；（2）优先借助已有极值求赋值点；（3）优先简单运算.

例5：（2022·全国·高考真题（文））已知函数．

(1)当时，求的最大值；

(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．

隐零点问题

1.函数零点按是否可求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的，称之为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法直接表示的，称之为“隐零点”。

2.利用导数求函数的最值或单调区间,常常会把最值问题转化为求导函数的零点问题,若导数零点存在,但无法求出,我们可以设其为,再利用导函数的单调性确定所在区间,最后根据,研究,我们把这类问题称为隐零点问题. 注意若中含有参数a，关系式是关于的关系式，确定的合适范围，往往和的范围有关.

例6：已知函数，.

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）当时，求证：.

精练巩固提升

一、单选题

1．（2012·天津·高考真题（理））函数在区间(0,1)内的零点个数是

A．0 B．1 C．2 D．3

2．（2022·甘肃武威·模拟预测（文））函数有三个零点，则实数的取值范围是（     ）

A．（﹣4，4） B．[﹣4，4]

C．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞） D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）

3．（2020·浙江·湖州中学模拟预测）已知为R上的可导函数，当时，，若，则函数的零点个数为（       ）

A．0 B．1 C．2 D．0或2

4．（2022·四川·眉山市彭山区第一中学模拟预测（文））已知函数在上有零点，则m的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

5．（2021·全国·模拟预测（理））已知函数在区间内有唯一零点，则实数的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

6．（2021·安徽·合肥市第六中学模拟预测（文））已知函数的图象与x轴有三个交点，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

7．（2012·全国·高考真题（理））已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则

A．或2 B．或3 C．或1 D．或1

8．（2017·全国·高考真题（理））已知函数有唯一零点，则

A． B． C． D．1

二、多选题

9．（2022·重庆·模拟预测）已知函数有唯一零点，则实数的值可以是（       ）

A． B． C．0 D．1

10．（2020·山东·高密市教育科学研究院模拟预测）若函数与的图象恰有一个公共点，则实数可能取值为　　

A．2 B．1 C．0 D．

三、解答题

11．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（文））已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若恰有一个零点，求a的值．

12．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（理））已知函数．

(1)若在上仅有一个零点，求实数a的取值范围；

(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．