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4.3.1正弦定理和余弦定理（题型战法）- 备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）
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第四章 三角函数与解三角形
4.3.1 正弦定理和余弦定理（题型战法）
知识梳理
一 正弦定理
1.正弦定理概念
在中：
这就是正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等.
2.利用正弦定理和三角形内角和定理，解决三角形
（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；如；
（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．如.
二 余弦定理
1.余弦定理概念
在中：a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.
这就是余弦定理：三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍.
2.应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题.
（1）已知三边，求三角.
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.
3.余弦定理的变形
（1）余弦定理的变形：
cosA=；cosB=；cosC=.
（2）利用余弦定理的变形判定角：
在△ABC中，c2=a2+b2⇔C为直角；c2>a2+b2⇔C为钝角；c2
一般地，若记的面积为S，则12absinC=12acsinB=12bcsinA
题型战法
题型战法一 正弦定理解三角形
典例1．记△ABC的内角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出，在由正弦定理可得：，代入即可得出答案.
【详解】
因为，则，所以由正弦定理，得.
故选：B.
变式1-1．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，,，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正弦定理求出，再根据同角公式可得结果.
【详解】
根据正弦定理得，得，
所以.
故选：C.
变式1-2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，，，则B等于（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正弦定理求解即可
【详解】
由正弦定理，，故，因为，故或
故选：C
变式1-3．在△ABC中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用正弦定理，求得，结合三角函数的基本关系式，即可求解的值.
【详解】
在中，，
由正弦定理，可得，
又因为，所以为锐角，所以.
故选：B.
变式1-4．在△ABC中，，，则△ABC外接圆的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
直接使用正弦定理进行求解即可.
【详解】
设R为外接圆的半径，故，解得．
故选：A．
题型战法二 余弦定理解三角形
典例2．在△ABC中， 角、、的对边分别是、、， 若， 则（ ）
A．6 B．7 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用余弦定理计算可得；
【详解】
解：由余弦定理，即，
所以；
故选：B
变式2-1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由余弦定理直接计算可得.
【详解】
由余弦定理可得：
即，解得或（舍去）
故选：B
变式2-2．在△ABC中，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用余弦定理即可得出答案.
【详解】
解：因为，，，
所以，
所以.
故选：C.
变式2-3．在△ABC中，内角、、所对的边分别为、、，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据余弦定理求解即可.
【详解】
由，得，，
由于，所以.
故选：B.
变式2-4．△ABC中，内角，，所对的边分别为，，，若，则∠B的大小为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【解析】
【分析】
根据余弦定理即可求得答案.
【详解】
由题意，，结合余弦定理可知.
故选：A.
题型战法三 边角互化
典例3．在△ABC中，角，，所对的边分别为，，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
运用正弦定理边化角直接计算即可.
【详解】
由题意， ， ，
∵ ；
故选：A.
变式3-1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
由正弦定理得，在中，由余弦定理即可求解.
【详解】
因为，由正弦定理可知，
在中，由余弦定理可得：，解得， ，故
故选：D
变式3-2．已知△ABC中，内角，，的对边分别为，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用正弦定理，结合两角和的正弦公式进行求解即可.
【详解】
根据正弦定理，由
因为，所以，于是有，
故选：A
变式3-3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正弦定理和两角和的正弦逆应用进行化简即可.
【详解】
解：
，根据正弦定理得
，即
.
故选：C
变式3-4．在△ABC中，内角、、所对的边分别为、、，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由正弦定理可得，利用余弦定理可求得的值.
【详解】
因为，令，，，
则.
故选：A.
题型战法四 判断三角形形状
典例4．△ABC的内角，，的对边分别为，，.若，则△ABC为（ ）
A．等腰且直角三角形 B．等腰或直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合余弦定理化简得，即可得解.
【详解】
由结合余弦定理可得，
化简得，即，所以为等腰三角形.
故选：D.
变式4-1．在△ABC中，角，，所对的边分别是，，，已知，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
利用正弦定理以及三角形的内角和，两角和的正弦函数化简，求出与的关系，即可判断三角形的形状．
【详解】
解：，由正弦定理可知，，因为，
所以，所以，
即
所以，所以，，
因为、、是三角形内角，
所以．
所以是等腰三角形．
故选：A．
变式4-2．在非钝角△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，且，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知利用正弦定理可得，由于，可求，可得，进而可求，即可判定得解的形状为等边三角形．
【详解】
解：在非钝角中，，
由正弦定理可得：，
，
，可得：，
，，
，，
，
，的形状为等边三角形．
故选：C．
变式4-3．在△ABC中，已知，那么△ABC一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
利用正弦定理和余弦定理将已知的式子转化为边的形式，然后化简即得.
【详解】
因为，，
所以，
所以由正余弦定理得，化简得，
所以，
所以为等腰三角形.
故选：B.
变式4-4．若△ABC的三个内角满足，则△ABC的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都有可能
【答案】A
【解析】
【分析】
由正弦定理可得可设，，，再由余弦定理判断最大角的余弦值符号即可求解.
【详解】
由，得，设，，（），
则由余弦定理有：，又，
所以，即为钝角；
故选：A.
题型战法五 面积公式的应用
典例5．在△ABC中，，，，则△ABC的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由正弦定理余弦定理和三角形面积公式求解即可
【详解】
由可得，
又，解得，，
又由可得，
所以的面积为，
故选：D
变式5-1．在△ABC中，角的对边分别为，若，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据余弦定理和面积公式计算后可得正确的选项.
【详解】
因为，所以.
因为为三角形内角，故，
所以三角形的面积.
故选：B.
变式5-2．在△ABC中，的面积等于，则等于（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知利用三角形面积公式可求，进而利用余弦定理可求的值．
【详解】
解：，，的面积等于，
解得：，
由余弦定理可得：．
故选：C．
变式5-3．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用余弦定理可求的值，从而可求三角形的面积．
【详解】
因为，故，
而，故，
故，故三角形的面积为，
故选：A．
变式5-4．已知△ABC的内角的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则角（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用面积公式和余弦定理可求.
【详解】
由余弦定理可得，而三角形面积为，
故，
整理得到，而为三角形内角，故.
故选：C.
题型战法六 判断三角形解的个数
典例6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中，使得△ABC恰有一个解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用正弦定理逐项判断.
【详解】
A. 因为，由正弦定理得 ，则，无解；
B. 因为，由正弦定理得 ，则，又，则，有两解，故错误；
C. 因为，则，所以无解，故错误；
D. 因为，由正弦定理得 ，则，又，且，所以，故有一解，故正确.
故选：D
变式6-1．在△OAB中，，，，则满足条件的三角形的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【答案】B
【解析】
【分析】
利用正弦定理结合三角形边角关系定理即可判断
【详解】
如图所示，因为，所以
又，所以为锐角
则满足条件的三角形只有一个
故选：B
变式6-2．下列条件判断三角形解的情况，正确的的个数是（ ）．
①，，，有两解；
②，，，有一解；
③，，，无解；
④，，，有一解．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
对于①，由正弦定理求得，可判断三角形解的个数；对于②，由正弦定理求得，结合三角形中大边对大角性质，可判断三角形解的个数；对于③，由正弦定理，结合，可得解的个数；对于④，由正弦定理得 ，结合可得三角形的解有一个,由此可得答案.
【详解】
对于①，由正弦定理 ，
则由 ,可得 有一解，故三角形的解有一个,错误；
对于②，由正弦定理，
因为 ，故 ,则三角形的解有两解，错误；
对于③，由正弦定理 ，
则由且 ,可得 有一解，故三角形的解有一个，错误；
对于④，由正弦定理 ，
则由且,可得 有一解，故三角形的解有一个,正确,
故选：A
变式6-3．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，a＝2，A＝45°，若三角形有两解，则b的可能取值是（ ）
A．2 B．2.3 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
结合图形即可由解的个数求得b的取值范围，从而得到答案.
【详解】
如图，有两解的充要条件是，解得，
故b的取值范围是，结合各选项可知B正确．
故选: B
变式6-4．在中，，，，若满足条件的三角形有两个，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
因为满足条件的三角形有两个，所以,将已知条件代入即可得出结果.
【详解】
因为满足条件的三角形有两个，所以,将，，，代入，解得.
故选：C
题型战法七 正、余弦定理的综合应用
典例7．记△ABC中，角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，求△ABC的面积.
【答案】(1)
(2)或
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理，结合三角形内角和求解即可；
（2）根据余弦定理可得或，再根据面积公式求解即可
(1)
由正弦定理可得，故，因为，故，故，又，故
(2)
根据余弦定理可得，故，故，.当时， ；当时，，故的面积为或
变式7-1．在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面的横线中，并求解．
在中，角，，所对的边分别是，，，且，，若________．
（注：只需选一个作答，如果选择两个条件分别解答，按第一个解答给分）求：
(1)的值；
(2)的面积．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理边角关系可得，结合三角形内角性质有，根据所选的条件，应用正余弦定理求.
（2）由和角正弦公式求，根据所选条件，应用三角形面积公式求面积.
(1)
由，得，
因为，所以，故，而，
所以，
选①：，又，，
所以得：，解得或（舍），
所以.
选②：，，则，
由正弦定理得：，所以.
(2)
选①：由，，，所以.
选②：由，则，，
所以，又，，
所以.
变式7-2．已知的内角，，所对的边分别为，，，若的外接圆半径为，且.
(1)求及；
(2)若，求，.
【答案】(1)，
(2)，或，
【解析】
【分析】
（1）根据题意得，所以，再由求解即可；（2）根据余弦定理公式求解即可.
(1)
由及正弦定理，得，
又在中，，则，可得，
即得，
又，则.
又的外接圆的半径，
由正弦定理，则.
(2)
由（1）知，，又，
则由余弦定理得，
解得，由，解得，或，.
变式7-3．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.
(1)求角C的大小；
(2)若，，求的面积.
(3)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）运用正弦定理角化边，再利用余弦定理即可求解；
（2）先算出ab，再利用三角形面积公式即可；
（3）先算出 ，再运用两角差和倍角公式即可求解.
(1)
依题意，运用正弦定理得： ，化简得 …①，
由余弦定理得： ，
因为C是三角形内角， ；
(2)
由于 ，
由①得 ， ；
(3)
，
；
综上： ， ， .
变式7-4．中，是角所对的边，.
(1)求∠B的大小；
(2)若的面积为，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理边角关系及余弦定理求得，即可得∠B的大小；
（2）由三角形面积公式可得，再应用余弦定理求.
(1)
由题设，，故，
又，故.
(2)
由题设，故，
所以，故.
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