2.4.1指数函数（题型战法）- 备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

第二章 函数

2.4.1指数函数（题型战法）

知识梳理

一 整数指数幂的概念及运算性质

1.根式运算

（1）

2.整数指数幂的概念

（1）（2）（3）

3.运算法则

（1）；（2）；（3）；（4）.

二 分数指数幂的概念及运算性质

（1）（2）（3）

三 指数函数的图像与性质

（1）定义域是.

（2）值域是，即对任何实数x，都有ax>0，也就是说函数图像一定在x轴的上方.

（3）函数图像一定过点.

（4）当a>1时，y＝ax是增函数；当0<a<1时，y＝ax是减函数.

（5）指数函数的图像.

题型战法

题型战法一 指数与指数幂的运算

典例1．化简（式中字母都是正数）：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）同底数幂的乘除法法则进行计算；（2）把根式化为分数指数幂，再利用指数幂的运算法则进行计算.

(1)

(2)

变式1-1．计算：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

本题应用，为奇数，进行整理计算．

(1)

(2)

变式1-2．（1）求值：；

（2）已知，求值：.

【答案】（1）81；（2）6.

【解析】

【分析】

（1）（2）根据指数幂的运算性质即可求出.

【详解】

（1）原式；

（2）由，而，

则，故.

变式1-3．求下列各式的值：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)

【答案】(1)；

(2)；

(3)；

(4).

【解析】

【分析】

（1）（2）（3）利用指数幂的运算性质化简计算即得；

（4）利用根式与分数指数幂互化，利用指数幂的运算性质化简计算.

(1)

原式

；

(2)

原式；

(3)

原式；

(4)

原式

.

变式1-4．化简下列各式：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）（2）将根式化为分数指数幂，再根据分数指数幂的运算法则计算可得；

(1)

解：

．

(2)

解：

．

题型战法二 指数函数的概念

典例2．下列是指数函数的是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据指数函数的概念判断可得出合适的选项.

【详解】

根据指数函数的解析式可知，为指数函数，A、B选项中的函数均不为指数函数，

C选项中的底数的范围未知，C选项中的函数不满足指数函数的定义.

故选：D.

变式2-1．下列函数：①；②；③；④；⑤.其中一定为指数函数的有（       ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】B

【解析】

【分析】

根据指数函数的定义判断即可；

【详解】

解：形如且为指数函数，其解析式需满足①底数为大于0，且不等于1的常数，②系数为1，③指数为自变量，所以只有②是指数函数，①③④⑤都不是指数函数，

故选：B.

变式2-2．函数，，，，其中指数函数的个数为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】

【分析】

根据指数函数的定义即可解出．

【详解】

因为形如的函数称为指数函数，所以和是指数函数．

故选：B．

变式2-3．若函数是指数函数，则等于（       ）

A．或 B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值.

【详解】

由题意可得，解得.

故选：C.

变式2-4．已知指数函数在上单调递增，则实数的值为（       ）

A． B．1 C． D．2

【答案】D

【解析】

【分析】

解方程即得或，再检验即得解.

【详解】

解：由题得或.

当时，在上单调递增，符合题意；

当时，在上单调递减，不符合题意.

所以.

故选：D

题型战法三 指数函数的图像

典例3．函数的图象大致为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由单调性和所过定点作出判断.

【详解】

因为，所以单调递增，且恒过点，

故A为正确答案.

故选：A

变式3-1．若指数函数，，（其中a、b、c均为不等于1的正实数）的图象如图所示，则a、b、c的大小关系是（       ）

A．； B．； C． D．．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据指数函数图象可得，，，然后取，判断，大小即可.

【详解】

由所给图象，可知在R上是严格增函数，根据指数函数的单调性，

得．同理可得，．

不妨取，此时的图象在上方，即．所以，

选：B．

变式3-2．已知函数，则函数的图像经过（       ）．

A．第一、二、四象限 B．第二、三、四象限

C．第二、四象限 D．第一、二象限

【答案】B

【解析】

【分析】

根据指数函数的单调性和函数图象的平移变换即可得出结果.

【详解】

因为，

所以函数的图象经过一、二象限，

又的图象是由的图象沿y轴向下平移2个单位得到，

所以函数的图象经过二、三、四象限，如图，

故选：B

变式3-3．若函数（且）的图像经过定点P，则点P的坐标是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由函数图像的平移变换或根据可得.

【详解】

因为，所以当，即时，函数值为定值0，所以点P坐标为.

另解：因为可以由向右平移一个单位长度后，再向下平移1个单位长度得到，由过定点，所以过定点.

故选：B

变式3-4．对任意实数且关于x的函数图象必过定点(       )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据指数函数过定点(0，1)可求解.

【详解】

∵且，∴1－a＞0且1－a≠1，故函数是指数函数，过定点(0，1)，则过定点(0，5).

故选：C.

题型战法四 指数函数的定义域

典例4．已知集合，则集合的子集个数为（       ）

A．8 B．16 C．4 D．7

【答案】A

【解析】

【分析】

先化简集合，确定集合中元素个数，再由公式，即可求出其子集个数.

【详解】

因为

，

所以集合的子集个数为.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查求集合的子集个数，属于基础题型.

变式4-1．设函数，则函数的定义域为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出的定义域，再令满足的定义域范围求出的范围即可得的定义域.

【详解】

由即可得

所以的定义域为，

令，可得，所以函数的定义域为，

故选：A．

变式4-2．已知函数f(x)的定义域是(1，2)，则函数f(2x)的定义域是（       ）

A．(0，1) B．(2，4)

C．(，1) D．(1，2)

【答案】A

【解析】

由于f(x)的定义域是(1，2)，所以在f(2x)中只需1＜2x＜2，求出x的取值范围就是所求答案.

【详解】

∵f(x)的定义域是(1，2)，∴1＜2x＜2，即20＜2x＜21，∴0＜x＜1.

故选:A.

【点睛】

此题考查了求复合函数的定义域的问题，解题时要注意复合函数的自变量的取值范围是什么，属于基础题.

变式4-3．若函数f(x)＝的定义域是[1，＋∞)，则a的取值范围是（       ）

A．[0，1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞)

C．(0，1) D．(2，＋∞)

【答案】B

【解析】

【分析】

由不等式的解集是，结合指数函数单调性可得．

【详解】

∵ax－a≥0，∴ax≥a，∴当a＞1时，x≥1．故函数定义域为[1，＋∞)时，a＞1．

故选：B．

变式4-4．若函数的定义域为R，则a的取值范围是

A．        B．         C．         D．

【答案】A

【解析】

【详解】

∵函数 的定义域为R,

∴恒成立

题型战法五 指数函数的值域

典例5．函数在的最大值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

利用函数的单调性求解.

【详解】

解：因为函数是单调递增函数，

所以函数也是单调递增函数，

所以.

故选：C

变式5-1．函数的值域是（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据指数函数以及二次函数的性质， 即可得出结果.

【详解】

因为，所以，

由指数函数的性质可得：.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查求指数型复合函数的值域，属于基础题型.

变式5-2．函数在区间上的最大值比最小值大，则的值为(　　)

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据指数函数为单调函数，根据已知条件构造方程，解方程可得答案．

【详解】

∵函数f(x)＝ax(0＜a＜1)在区间[0，2]上为单调递减函数，

∴，

∵最大值比最小值大，

∴1﹣，

解得a

故选：A．

变式5-3．已知函数的定义域和值域都是，则（       ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【解析】

【分析】

分和，利用指数函数的单调性列方程组求解.

【详解】

当时，，方程组无解

当时，，解得

故选：A.

变式5-4．若函数的值域为，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

因为函数的值域为，所以可以取到所有非负数，即的最小值非正.

【详解】

因为，

且的值域为，

所以，解得.

故选：C.

题型战法六 指数函数的单调性

典例6．函数的单调递减区间为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

根据复合函数单调性以及二次函数单调性求单调区间.

【详解】

由与复合，而为单调递增函数，所以函数的单调递减区间为单调递减区间,即单调递减区间为.

故选：B

【点睛】

本题考查复合函数单调性以及二次函数单调性，考查基本分析求解能力，属基础题.

变式6-1．函数的单调递增区间是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

利用复合函数判断单调性“同增异减”的方法求解即可

【详解】

解：令，则，

因为在上单调递增，在上单调递减，

在定义域内为减函数，

所以在上单调递减，在上单调递增，

故选：C

变式6-2．已知指数函数（，且），且，则的取值范围（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据指数函数的单调性可解决此题．

【详解】

解：由指数函数（，且），且

根据指数函数单调性可知

所以，

故选：A

变式6-3．指数函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由已知条件结合指数函数的性质列不等式求解即可

【详解】

因为指数函数在R上单调递减，

所以，得，

所以实数a的取值范围是，

故选：D

变式6-4．已知函数是上的单调函数，那么实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

对进行分类讨论，根据是上单调函数列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】

当时，，则，无解.

当时，，则，所以符合题意.

所以的取值范围是.

故选：D

题型战法七 比较大小与解不等式

典例7．设，，，则a，b，c的大小关系（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由指数函数的单调性判断．

【详解】

是减函数，所以，，，

所以．

故选：C．

变式7-1．已知，，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由指数函数单调性及中间值比大小.

【详解】

因为单调递减，所以，，所以.

故选：D

变式7-2．不等式的解集是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据的单调性解不等式即可.

【详解】

由在定义域上单调递增，

∴根据得：，解得.

∴解集为.

故选：A.

变式7-3．若，则实数a的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据指数函数单调性确定与的大小，从而求出的取值范围.

【详解】

函数在上为减函数，所以，所以．

故选：A．

变式7-4．设，那么（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用的单调性即可求解.

【详解】

因为单调递减，

由可得，

故选：D.

题型战法八 指数函数的应用

典例8．我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（       ）（参考数据：）

A．5.32h B．6.23h C．6.93h D．7.52h

【答案】C

【解析】

【分析】

利用已知条件，该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L时需要的时间为，转化求解即可.

【详解】

解：由题意得：

设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L需要的时间为

故，

故该新药对病人有疗效的时长大约为

故选：C

变式8-1．放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设初始质量为，质量M与时间t（单位：天）的函数关系为（其中h为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用的时间）约为50天，那么锶89的质量从衰减至所经过的时间约为（参考数据：）（       ）

A．10 B．20 C．30 D．40

【答案】C

【解析】

【分析】

根据时，代入函数关系式中，可得的值，再把代入关系式，即可求解.

【详解】

由题，半衰期所用时间为50天，即，则，

所以当衰减至时，满足，即，

所以，即，所以.

故选：C

变式8-2．2021年，郑州大学考古科学队在荣阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊．利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊．已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）．经过测定，官庄遗址青铜布币样本中碳14的质量约是原来的至，据此推测青铜布币生产的时期距今约多少年？（       ）（参考数据：）

A．2600年 B．3100年 C．3200年 D．3300年

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意列出不等式，求出，从而求出正确答案.

【详解】

由题意得：，解得：，故选A.

故选：A

变式8-3．核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量法进行的，即通过化学物质的荧光信号，对在扩增过程中的靶标进行实时检测．已知被标靶的在扩增期间，每扩增一次，的数量就增加．若被测标本扩增次后，数量变为原来的倍，则的值约为（       ），（参考数据：，）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

设数量没有扩增前数量为，由题意可得，解指数方程即可得的值.

【详解】

设数量没有扩增前数量为，由题意可得，

所以，所以，可得，，

故选：C.

变式8-4．Logistic模型是常用的数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布的数据建立某地区流感累计确诊病例数（的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数，为非零常数，当时，的值为（       ）

A．60 B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据指数的运算直接代入求值.

【详解】

由，且，

得，

解得，

故选：A.