2020届西藏日喀则市高三上学期学业水评测试（模拟）数学（文）试题含解析

2020届西藏日喀则市高三上学期学业水评测试（模拟）数学（文）试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（  ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.

【详解】

，则
故选：A

【点睛】

易于理解集补集的概念、交集概念有误.

2．若复数 满足 ，则在复平面内，复数对应的点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．

【详解】

由题意i z＝1+2i，∴iz（﹣i）＝（1+2i）•（﹣i），

∴z＝2﹣i．

则在复平面内，z所对应的点的坐标是（2，﹣1）．

故选D．

【点睛】

本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3．已知向量，且，则（    ）

A． B． C． D．5

【答案】B

【解析】根据向量共线求出参数，从而求出的坐标，再根据向量模的坐标表示，计算可得；

【详解】

解：因为，且，所以，所以

所以

所以

故选：B

【点睛】

本题考查平面向量共线的坐标表示，以及向量模的运算，属于基础题.

4．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取140人，则n为（    ）

A．300 B．250 C．200 D．150

【答案】C

【解析】根据分层抽样的比例，由求解.

【详解】

由题意得：，

解得，

故选：C

【点睛】

本题主要考查分层抽样，属于基础题.

5．已知，则

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先利用平方关系求出的值，再求的值得解.

【详解】

因为

所以，

所以.

故选A

【点睛】

本题主要考查同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

6．设满足约束条件，则的最大值为（     ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】由题意，画出约束条件画出可行域，结合图象，确定目标函数的最优解，即可求解.

【详解】

由题意，画出约束条件画出可行域，如图所示，

目标函数可化为，当直线过点A时，此时在轴上的截距最大，目标函数取得最大值，

又由，解得，

所以目标函数的最大值为，故选B.

【点睛】

本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．

7．已知a为函数f（x）=x3–12x的极小值点，则a=

A．–4 B．–2 C．4 D．2

【答案】D

【解析】试题分析：，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故的极小值点为2，即，故选D.

【考点】函数的导数与极值点

【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点是方程的解，但是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在附近，如果时，，时，则是极小值点，如果时，，时，，则是极大值点.

8．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【解析】根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平行、垂直的判定定理即可找出正确选项．

【详解】

选项A错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面；

选项B错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；

选项C错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交；

选项D正确，由，便得，又，，即.

故选：D.

【点睛】

本题考查空间直线位置关系的判定，这种位置关系的判断题，可以举反例或者用定理简单证明，

属于基础题.

9．函数（且）的图象可能为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.

【考点】1.函数的基本性质；2.函数的图象.

10．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入分别为14,18，则输出的（ ）

A．0 B．2 C．4 D．14

【答案】B

【解析】【详解】

由a=14，b=18，a＜b，

则b变为18﹣14=4，

由a＞b，则a变为14﹣4=10，

由a＞b，则a变为10﹣4=6，

由a＞b，则a变为6﹣4=2，

由a＜b，则b变为4﹣2=2，

由a=b=2，

则输出的a=2．

故选B．

11．在中，，，，则的面积为（）

A． B．4 C． D．

【答案】C

【解析】首先利用余弦定理求出，利用三角形面积计算公式即可得出．

【详解】

由余弦定理可得：，

化为：，解得，

∴的面积，

故选C．

【点睛】

本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

12．试在抛物线上求一点，使其到焦点的距离与到的距离之和最小，则该点坐标为　　

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为．

过点P作于点，由定义可得,

所以，

由图形可得，当三点共线时，最小，此时．

故点的纵坐标为1，所以横坐标．即点P的坐标为．选A．

点睛：与抛物线有关的最值问题的解题策略

该类问题一般解法是利用抛物线的定义，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．

(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；

(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．

二、填空题

13．曲线在（其中为自然对数的底数）处的切线方程为______．

【答案】

【解析】求出原函数的导函数，得到（e），再求出（e）的值，则由直线方程的点斜式可得切线方程．

【详解】

由，得，

（e）．

即曲线在点，（e）处的切线的斜率为2，

又（e）．

曲线在点，（e）处的切线方程为，

即．

故答案为

【点睛】

本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，曲线上过某点的切线的斜率，就是该点处的导数值．

14．已知函数，若，则实数的值是_______________.

【答案】3或－1

【解析】根据，分和 两种情况，利用对数方程和指数方程的解法求解.

【详解】

当时，，

即，解得，

当时，，

解得，

综上：实数的值是3或－1，

故答案为：3或－1

【点睛】

本题主要考查分段函数的应用以及指数方程和对数方程的解法，还考查了分类讨论思想和运算求解的能力，属于中档题.

15．已知点、分别是双曲线的左、右焦点，是该双曲线上的一点，且，则的周长是________．

【答案】34

【解析】由双曲线定义可得，结合勾股定理可得，从而得到周长.

【详解】

∵，∴，∴．

又，∴，∴．

∴的周长为.

故答案为34

【点睛】

本题考查双曲线的基本性质，考查双曲线定义及基本量的关系，属于基础题.

16．《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）．在如图所示的堑堵中， 

，则阳马的外接球的表面积是_________________

【答案】

【解析】根据堑堵定义以及长方体性质可得阳马的外接球的直径为，再根据球的表面积公式求结果.

【详解】

由于两两相互垂直，所以阳马的外接球的直径为，即，因此外接球的表面积是.

【点睛】

若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．

三、解答题

17．已知数列的前项和为，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由得，可得是等比数列；

（2）由（1）可得，利用错位相减法，结合等比数列的求和公式可得数列的前项和.

【详解】

（1）当时，，

当时，

即：，数列为以2为公比的等比数列

.

（2）

两式相减，得

.

【点睛】

错位相减法求数列的和是重点也是难点，相减时注意最后一项的符号，最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.

18．某次的一次学科测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．

（Ⅰ）求参加测试的总人数及分数在[80，90）之间的人数；

（Ⅱ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，恰有一份分数在[90，100）之间的概率．

【答案】（Ⅰ）参加测试人数n=25，分数在[80，90）的人数为4人；（Ⅱ）．

【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图的概念，根据成绩在[50，60）内的频数及对应的直方图中小长方形的面积即可求得样本容量及成绩落在[90，100]内的人数，进一步确定成绩落在[80，90）内的人数；（Ⅱ）由第一问的结果可知，成绩在[80，90）的人数为4，在[90，100]内的人数为2；设“在[80，100]内的学生中任选两人，恰有一人分数在[90，100]内”为事件M，于是可由古典概型的概率计算公式求得事件M的概率．

【详解】

（Ⅰ）成绩在[50，60）内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，成绩在[90，100]内同有2人．

由，解得n=25．成绩在[80，90）之间的人数为25﹣（2+7+10+2）=4人

∴参加测试人数n=25，分数在[80，90）的人数为4人

（Ⅱ）设“在[80，100]内的学生中任选两人，恰有一人分数在[90，100]内”为事件M，

将[80，90）内的4人编号为a，b，c，d；[90，100]内的2人编号为A，B

在[80，100]内的任取两人的基本事件为：ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15个．其中，恰有一人成绩在[90，100]内的基本事件有

aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB共8个．

∴所求的概率得．

【考点】1、频率分布直方图；2、古典概型．

19．如图,直三棱柱中,分别为的中点.

(1)证明:平面;

(2)求与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】(1)法一：要证平面，只需证明即可，通过构造平行四边形可证之；

法二：可先证平面平面，利用面面平行的性质即可得到平面;

（2）法一：由于即为与平面所成的角，利用数据求之；

法二：（等积法）利用等积法计算出到平面的距离，从而要求的答案为：即可.

【详解】

（1）法一：取中点，连接，在直三棱柱中，.

∵为中点，为中点，∴，

∴四边形为平行四边形，∴.∵平面，平面，

∴平面.

法二：取中点，连结，在直三棱柱中，.

∵为中点，为中点，∴，

∴四边形为平行四边形，∴.

又平面，平面，∴平面.

∵分别为中点，∴.

又平面，平面，∴平面.

平面平面.平面平面.

（2）法一：直三棱柱中，平面，∴.

又∵，且，∴平面.

过作于.∵平面，∴.

又平面.

又即为与平面所成的角.

.

法二：（等积法）与平面所成的角相等.

连结，直三棱柱中，平面，∴.

又平面.

，.

设到平面的距离为，.

∵，即.

设与平面所成的角为，.

【点睛】

本题主要考查线面平行，线面角所成正弦值的相关计算，意在考查学生的空间想象能力，分析能力，转化能力，计算能力.

20．已知椭圆:经过点，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线交椭圆于，两点，为椭圆的左焦点，若，求直线的方程.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）由，可得，将点代入，利用待定系数法即可求解.

（2）设直线的方程为，设点、，将直线与椭圆方程联立，消，利用韦达定理可得，，再利用向量数量积的坐标运算即可求解.

【详解】

（1）设椭圆的焦距为，则，

∴，，

所以，椭圆的方程为，

将点的坐标代入椭圆的方程得，

解得，则，，

因此，椭圆的方程为.

（2）若直线斜率为0，则为长轴的两交点，

此时不合题意，

设直线的方程为，设点、，

将直线的方程代入椭圆的方程，

并化简得，

，

解得或，

由韦达定理可得，，

，同理可得，

所以

，

即，解得：，符合题意，

因此，直线的方程为或.

【点睛】

本题考查了待定系数法求椭圆方程、直线与椭圆的位置关系，此题要求有较高的计算能力，属于中档题.

21．已知函数.

（Ⅰ）当时，求的单调区间；

（Ⅱ）若函数在区间上的最大值为，求的值.

【答案】（Ⅰ） 单增区间，单减区间（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）在定义域内对函数求导，再根据导数求出单调区间．（Ⅱ）在定义域内对函数求导，对进行分类讨论并判断其单调性，根据在区间，上的单调性求其最大值，并判断其最大值是否为，若是就可求出相应的最大值．

【详解】

（Ⅰ）当时，，

，

又，所以当时，，在区间上为增函数，

当时，，在区间上为减函数，

即在区间上为增函数，在区间上为减函数．

（Ⅱ），

①若，，则，在区间，上恒成立，

在区间，上为增函数，，

，舍去；

②当时，

，，，，在区间，上为增函数，

，，舍去；

③若，当时，，在区间上为增函数，

当时，，在区间上为减函数

，．

综上．

【点睛】

本题主要考查利用导数求函数的单调区间和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

22．在极坐标系中，圆.以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，直线经过点且倾斜角为.

求圆的直角坐标方程和直线的参数方程；

已知直线与圆交与，，满足为的中点，求.

【答案】（1），，(为参数，).（2）

【解析】（1）利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，可求解圆的直角坐标方程，根据直线参数方程的形式，即可求得直线的参数方程；

将直线的方程代入圆的方程，利用根与系数的关系，求得，，由为的中点，得到，求得，即可求得的表达式，利用三角函数的性质，即可求解.

【详解】

（1）由题意，圆，可得，

因为，，所以，即，

根据直线的参数方程的形式，可得直线:，(为参数，).

设对应的参数分别为，

将直线的方程代入，整理得，

所以，，

又为的中点，所以，

因此，，

所以，即，

因为，所以，

从而，即.

【点睛】

本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，直线参数方程的求解，以及直线参数方程的应用，其中解答中合理利用直线参数中参数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

23．已知函数.

（1）解不等式；

（2）若的最小值为，正实数，满足，求的最小值.

【答案】（1）；（2）9

【解析】（1）可采用零点讨论法先求出零点，，再将x分为三段，，，分别进行讨论求解

（2）采用绝对值不等连式特点求出最小值，再采用均值不等式进行求解即可

【详解】

解：（1）①当时，，解得；

②当时，，恒成立；

③当时，，解得；

综上所述，该不等式的解集为.

（2）根据不等连式，

所以，，

，

当且仅当时取等号.

故最小值为9.

【点睛】

绝对值不等式的解法常采用零点讨论法，分区间讨论时，一定要注意零点处取不取得到的问题，如本题中将x分为三段，，；绝对值不等连式为：，应熟悉均值不等式常见的基本形式，知道基本形式都源于