初中数学北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试习题

这是一份初中数学北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试习题，共13页。试卷主要包含了下列4组数据中，是勾股数的是，下列各组数中，不是勾股数的是，如图，一棵大树等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》同步单元达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分40分）1．下列4组数据中，是勾股数的是（　　）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．6，7，82．如图，小正方形的边长均为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ACB的度数是（　　）A．30° B．45° C．60° D．90°3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，c为斜边，a、b为直角边，a+b＝17，c＝13，则Rt△ABC的面积为（　　）A．30 B．60 C．110.5 D．1694．课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若AB＝17米，BC＝8米，则标牌上“■”处的数字是（　　）A．6 B．8 C．10 D．115．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝13，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为（　　）A．25 B．144 C．150 D．1696．已知在△ABC中，∠B＝38°，BC2﹣AC2＝AB2，则∠C的度数为（　　）A．38° B．52° C．62° D．90°7．下列各组数中，不是勾股数的是（　　）A．9、12、15 B．5、12、13 C．8、15、17 D．12、18、22 8．如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（　　）A．10米 B．12米 C．14米 D．16米二．填空题（共8小题，满分40分）9．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C沿垂直于x轴的方向向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 　   　cm．10．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若AB＝10，AC＝6，BD＝5，则点D到AB的距离是 　   　．11．如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞　   　米．12．如图，一架10m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，底端离墙的距离BC为6m，当梯子下滑到DE时，AD＝2m，则BE＝　   　m．13．如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是14，整个图形（连同空白部分）的面积是36，则大正方形ABCD的边长是 　   　．14．如图，一只螳螂在树干的点A处，发现它的正上方点B处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是就绕到虫子后面吃掉它，已知树干的半径为10cm，A，B两点的距离为45cm，则螳螂爬行的最短距离为 　   　．（π取3）15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4．以AB为边在点C同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为 　   　．16．在△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，则△ABC的面积是 　   　．三．解答题（共6小题，满分40分）17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝16，CD是高．求CD的长． 18．如图，明明在距离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m．若明明收绳6m后，船到达D处，则船向岸A移动了多少米？19．如图，把一块直角三角形（△ABC，∠ACB＝90°）土地划出一个三角形（△ADC）后，测得CD＝3米，AD＝4米，BC＝12米，AB＝13米．（1）求证：∠ADC＝90°；（2）求图中阴影部分土地的面积．20．笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米．（1）判断△BCH的形状，并说明理由；（2）求原路线AC的长．21．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC的中点，连接AD，BE．（1）若CD＝8，CE＝6，AB＝20，求证：∠C＝90°；（2）若∠C＝90°，AD＝13，AE＝6，求△ABC的面积．22．2020年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了∠ABC＝90°．（1）请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定∠ABC＝90°的依据；（2）若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：A．12+22≠32，因此不是勾股数，故此选项不合题意；B．22+32≠42，因此不是勾股数，故此选项不合题意；C．32+42＝52，因此是勾股数，故此选项符合题意；D．62+72≠82，因此不是勾股数，故此选项不合题意；故选：C．2．解：由图可知：AB＝，BC＝，AC＝，∴AB2+BC2＝AC2，AB＝BC，∴△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°．故选：B．3．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，a+b＝17，c＝13，∴由勾股定理得：a2+b2＝c2，即（a+b）2﹣2ab＝c2＝169，∴289﹣2ab＝169，即ab＝60，则Rt△ABC的面积为ab＝30．故选：A．4．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝＝＝15（米），∴AC+BC﹣AB＝15+8﹣17＝6（米），故选：A．5．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，∴AC2+BC2＝AB2＝13，∵正方形ADEC的面积是AC2，正方形BCFG的面积是BC2，∴正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为：AC2+BC2，∴正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和是169，故选：D．6．解：∵BC2﹣AC2＝AB2，∴BC2＝AC2+AB2，∴∠A＝90°，∵∠B＝38°，∴∠C＝90°﹣∠B＝52°，故选：B．7．解：A．∵92+122＝152，∴是勾股数，不符合题意；B．∵52+122＝132，∴是勾股数，不符合题意；C．∵82+152＝172，∴是勾股数，不符合题意；D．∵122+182≠222，∴不是勾股数，符合题意；故选：D．8．解：∵△ABC是直角三角形，AB＝6m，AC＝8m，∴BC＝＝＝10（m），∴大树的高度＝AB+BC＝6+10＝16（m）．故选：D．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：由题意知，DC垂直平分AB，∴AC＝AB＝4cm，AD＝BD，在Rt△ACD中，由勾股定理得，AD＝（cm），∴橡皮筋被拉长了AD+BD﹣AB＝5+5﹣8＝2（cm），故答案为：2．10．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC＝＝＝8，∵BD＝5，∴CD＝3，过点D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∴CD＝DE＝3，∴点D到AB的距离是3，故答案为：3．11．解：如图所示，AB，CD为树，且AB＝14米，CD＝9米，BD为两树距离12米，过C作CE⊥AB于E，则CE＝BD＝12，AE＝AB﹣CD＝5，在直角三角形AEC中，AC＝＝＝13．答：小鸟至少要飞13米．故答案为：13．12．解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，可得：AC＝＝＝8（米），∴DC＝AC﹣AD＝8﹣2＝6（米），在Rt△DCE中，CE＝＝＝8（米），∴BE＝CE﹣BC＝8﹣6＝2（米），故答案为：2．13．解：设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边为c，根据题意得，解得：c2＝25，解得：c＝5或﹣5（舍去），故大正方形的边长为5，故答案为：5．14．解：如图1所示：AC＝2π×10＝20π≈60（cm），BC＝45cm，故AB＝＝＝75（cm）．答：螳螂绕行的最短距离为75cm，故答案为：75cm．15．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，则AB＝＝＝5，∴S阴影部分＝AB2﹣AC•BC＝52﹣×3×4＝19，故答案为：19．16．解：分两种情况：①如图1所示：∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴BD＝＝＝15，CD＝＝＝6，∴BC＝BD+CD＝15+6＝21，∴S△ABC＝BC•AD＝×21×8＝84；②如图2所示：同①得：BD＝15，CD＝6，∴BC＝BD﹣CD＝15﹣6＝9，∴S△ABC＝BC•AD＝×9×8＝36；综上所述，△ABC的面积为84或36．故答案为：84或36．三．解答题（共6小题，满分40分）17．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝16，∴AB＝．∵，∴20CD＝12×16．∴CD＝9.6．18．解：∵开始时绳子BC的长为13m．明明收绳6m后，船到达D处，∴CD＝13﹣6＝7（m），由题意得：CA⊥AB，∴∠CAB＝90°，∴AD＝＝＝2（m），AB＝＝＝12（m），∴BD＝AB﹣AD＝（12﹣2）（m），∴船向岸A移动了（12﹣2）米，答：船向岸A移动了（12﹣2）米．19．（1）证明：∵∠ACB＝90°，BC＝12米，AB＝13米，∴AC＝＝＝5（米），∵CD＝3米，AD＝4米，∴AD2+CD2＝AC2＝25，∴∠ADC＝90°；（2）解：图中阴影部分土地的面积＝AC×BC﹣AD×CD＝×5×12﹣×4×3＝24（平方米）．20．解：（1）△BCH是直角三角形，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝42+32＝25，BC2＝25，∴CH2+BH2＝BC2，∴△HBC是直角三角形且∠CHB＝90°；（2）设AC＝AB＝x千米，则AH＝AB﹣BH＝（x﹣3）千米，在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣3，CH＝4，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2，∴x2＝（x﹣3）2+42解这个方程，得x＝，答：原来的路线AC的长为千米．21．（1）证明：∵D是边BC的中点，E是边AC的中点，CD＝8，CE＝6，∴AC＝2CE＝12，BC＝2CD＝16，∵AB＝20，∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠C＝90°；（2）解：∵E是边AC的中点，AE＝6，∴AC＝2AE＝12．在Rt△ACD中，∵∠C＝90°，AC＝12，AD＝13，∴CD＝＝＝5，∴BC＝2CD＝10，∴△ABC的面积＝AC•BC＝×12×10＝60．22．解：（1）连接AC，技术人员测量的是A，C两点之间的距离，确定∠ABC＝90°的依据是勾股定理逆定理；（2）∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，∴AC＝＝15（m），∵CD＝17m，AD＝8m，∴AD2+AC2＝DC2，∴∠DAC＝90°，∴S△DAC＝×AD•AC＝×8×15＝60（m2），S△ACB＝AB•AC＝×9×12＝54，∴S四边形ABCD＝60+54＝114（m2），∴150×114＝17100（元），答：绿化这片空地共需花费17100元．