


苏教版 (2019)必修 第一册3.1 不等式的基本性质学案
展开导语
大家知道,相等关系与不等关系是数学也是日常生活中最基本的关系.比如说:长与短、远与近的比较;比如说:同学们之间高与矮、轻与重的比较;比如说:国家人口的多少、面积的大小的比较;再比如说:新冠疫情传播速度的快与慢的比较.正所谓:“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”.
一、作差法比较大小
问题1 在初中,我们知道由于数轴上的点与实数一一对应,所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系,具体是如何规定的呢?
提示 设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是A,B.那么,当点A在点B的左边时,ab.
知识梳理
基本事实
注意点:
(1)利用作差法比较大小,只需判断差的符号,至于差的值是多少无关紧要,通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式.
(2)对于两个正值,也可采用作商的方法,比较商与1的大小.
(3)对于某些问题也可采用取中间值的方法比较大小.
例1 已知a,b均为正实数.试利用作差法比较a3+b3与a2b+ab2的大小.
解 ∵a3+b3-(a2b+ab2)
=(a3-a2b)+(b3-ab2)
=a2(a-b)+b2(b-a)
=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b).
当a=b时,a-b=0,a3+b3=a2b+ab2;
当a≠b时,(a-b)2>0,a+b>0,a3+b3>a2b+ab2.
综上所述,a3+b3≥a2b+ab2.
延伸探究
1.若a>0,b>0,则比较a5+b5与a3b2+a2b3的大小.
解 (a5+b5)-(a3b2+a2b3)=a5-a3b2+b5-a2b3
=a3(a2-b2)+b3(b2-a2)=(a2-b2)(a3-b3)
=(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2).
∵a>0,b>0,∴(a-b)2≥0,a+b>0,a2+ab+b2>0.
∴a5+b5≥a3b2+a2b3.
2.对于an+bn,你能有一个更具一般性的猜想吗?
解 若a>0,b>0,n>r,n,r∈N*,
则an+bn≥arbn-r+an-rbr.
反思感悟 作差法比较两个实数a,b大小的基本步骤:
跟踪训练1 比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小.
解 (2x2+5x+3)-(x2+4x+2)=x2+x+1
=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(1,2)))2+eq \f(3,4).
∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(1,2)))2≥0,
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(1,2)))2+eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)>0.
∴(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)>0,
∴2x2+5x+3>x2+4x+2.
二、不等式的性质
问题2 你能根据下列等式的性质,类比出不等式的性质吗?
(1)如果a=b,那么b=a;
(2)如果a=b,b=c,那么a=c;
(3)如果a=b,那么a±c=b±c;
(4)如果a=b,那么ac=bc.
提示 (1)如果a>b,那么b(2)如果a>b,b>c,那么a>c;
(3)如果a>b,那么a+c>b+c;
(4)如果a>b,若c>0,那么ac>bc,若c<0,则ac
不等式的性质
注意点:
(1)可加性是不等式中移项的根据.
(2)应用同向可加性时,应注意“同向”.
(3)同向同正可乘性应注意数的正负.
例2 (1)对于实数a,b,c,下列命题中的真命题是( )
A.若a>b,则ac2>bc2
B.若a>b>0,则eq \f(1,a)>eq \f(1,b)
C.若aeq \f(a,b)
D.若a>b,eq \f(1,a)>eq \f(1,b),则a>0,b<0
答案 D
解析 方法一 ∵c2≥0,∴c=0时,有ac2=bc2,故A为假命题;
由a>b>0,有ab>0⇒eq \f(a,ab)>eq \f(b,ab)⇒eq \f(1,b)>eq \f(1,a),故B为假命题;
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a-b>0⇒-\f(1,b)>-\f(1,a)>0,,a-b>0))⇒eq \f(a,b)>eq \f(b,a),故C为假命题;
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>b⇒b-a<0,,\f(1,a)>\f(1,b)⇒\f(1,a)-\f(1,b)>0⇒\f(b-a,ab)>0))⇒ab<0.
∵a>b,∴a>0且b<0,故D为真命题.
方法二 特殊值排除法.
取c=0,则ac2=bc2,故A错;
取a=2,b=1,则eq \f(1,a)=eq \f(1,2),eq \f(1,b)=1.
有eq \f(1,a)
有eq \f(b,a)
②求3x+2y的取值范围.
解 ①因为-1
所以1<3x+2y<18.
延伸探究 若将本例条件改为-1
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m+n=3,,m-n=2,))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m=\f(5,2),,n=\f(1,2),))
即3x+2y=eq \f(5,2)(x+y)+eq \f(1,2)(x-y),
又因为-1
反思感悟 (1)利用不等式性质判断命题真假的注意点
①运用不等式的性质判断时,要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能凭想当然随意捏造性质.
②解有关不等式的选择题时,也可采用特殊值法进行排除,注意取值一定要遵循以下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算.
(2)利用不等式的性质求取值范围的策略
①建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最后利用一次不等式的性质进行运算,求得待求的范围.
②同向不等式的两边可以相加,这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围.
跟踪训练2 (1)(多选)若eq \f(1,a)
答案 CD
解析 由eq \f(1,a)
a+b<0,ab>0,
则a+b
(2)已知1答案 (-3,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4),2))
解析 ∵3∴1-4又eq \f(1,4)
例3 已知a>b>0,c
证明 因为c
因为a>b>0,所以a-c>b-d>0,
所以0
延伸探究 若a>b>0,c
证明 ∵c
又∵a>b>0,∴a-c>b-d>0.
∴(a-c)2>(b-d)2>0.
两边同乘以eq \f(1,a-c2b-d2),得eq \f(1,a-c2)
反思感悟 利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.
(2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.
跟踪训练3 已知c>a>b>0,求证:eq \f(a,c-a)>eq \f(b,c-b).
证明 ∵c>a>b>0,
∴c-a>0,c-b>0,-a<-b,
∴0
∴eq \f(a,c-a)>eq \f(b,c-b).
1.知识清单:
(1)作差法比较大小.
(2)不等式的性质.
(3)利用不等式性质证明不等式.
2.方法归纳:作差法(作商法)、特殊值法.
3.常见误区:注意不等式性质的单向性或双向性,即每条性质是否具有可逆性.
1.设bA.a-c>b-d B.ac>bd
C.a+c>b+d D.a+d>b+c
答案 C
解析 因为b2.已知xA.x2
C.x2
答案 B
解析 因为xa2;不等号两边同时乘x,则x2>ax,故x2>ax>a2.
3.若y1=2x2-2x+1,y2=x2-4x-1,则y1与y2的大小关系是( )
A.y1>y2
B.y1=y2
C.y1
答案 A
解析 y1-y2=2x2-2x+1-(x2-4x-1)
=x2+2x+2=(x+1)2+1>0,
故y1>y2.
4.若1答案 (-2,3)
解析 因为1所以-3<-b<1,所以-21.如果a<0,b>0,那么下列不等式中正确的是( )
A.eq \f(1,a)
答案 A
解析 ∵a<0,b>0,∴eq \f(1,a)<0,eq \f(1,b)>0,∴eq \f(1,a)
A.若a>b,c>d,则a+b>c+d
B.若a>-b,则c-a
D.若a2>b2,则-a<-b
答案 ACD
解析 选项A,取a=1,b=0,c=2,d=1,则a+b
3.设a>1>b>-1,则下列不等式中恒成立的是( )
A.eq \f(1,a)
C.a2>2b D.a>b2
答案 D
解析 A错,例如a=2,b=-eq \f(1,2)时,eq \f(1,a)=eq \f(1,2),eq \f(1,b)=-2,此时,eq \f(1,a)>eq \f(1,b);B错,例如a=2,b=eq \f(1,2)时,eq \f(1,a)=eq \f(1,2),eq \f(1,b)=2,此时,eq \f(1,a)
4.已知0
C.M=N D.M≥N
答案 B
解析 ∵0
=a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1)>0,
∴M>N.
5.若1A.-3C.-3答案 C
解析 ∵-4∴-4<-|b|≤0.
又∵16.(多选)设a,b,c,d为实数,且a>b>0>c>d,则下列不等式正确的是( )
A.c2
答案 AD
解析 因为a>b>0>c>d,所以a>b>0,0>c>d,
对于A,因为0>c>d,由不等式的性质可得c2
对于C,取a=2,b=1,c=-1,d=-2,则ac=-2,bd=-2,所以ac=bd,故选项C错误;
对于D,因为ad<0,bc<0,又a>b>0,d
7.若-1
解析 因为-1
答案 >
解析 A-B=eq \f(1,x2)+3-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)+2))
=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)-\f(1,2)))2+eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)>0,
所以A>B.
9.利用不等式的性质证明下列不等式:
(1)若a0;
(2)若a<0,-1证明 (1)∵a又c<0,∴(a-b)c>0.
(2)∵-1∴1>b2>0>b>-1,
又a<0,∴a
解 因为eq \f(1,1-a)-(1+a)=eq \f(a2,1-a),
①当a=0时,eq \f(a2,1-a)=0,所以eq \f(1,1-a)=1+a.
②当a<1,且a≠0时,eq \f(a2,1-a)>0,所以eq \f(1,1-a)>1+a.
③当a>1时,eq \f(a2,1-a)<0,所以eq \f(1,1-a)<1+a.
11.已知x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式中一定成立的是( )
A.xy>yz B.xz>yz
C.xy>xz D.x|y|>z|y|
答案 C
解析 因为x>y>z,x+y+z=0,
所以3x>x+y+z=0,3z
所以由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0,,y>z,))可得xy>xz.
12.手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”,它是手机外观设计中的一个重要参数,其值通常在(0,1)之间,设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量,升级为一款新手机,则该手机的“屏占比”和升级前比的变化是( )
A.“屏占比”不变 B.“屏占比”变小
C.“屏占比”变大 D.变化不确定
答案 C
解析 设升级前“屏占比”为eq \f(b,a),
升级后“屏占比”为eq \f(b+m,a+m)(a>b>0,m>0).
∴eq \f(b+m,a+m)-eq \f(b,a)=eq \f(a-bm,aa+m)>0,
∴手机的“屏占比”和升级前相比变大.
13.若a>b>0,则下列不等式中恒成立的是( )
A.eq \f(b,a)>eq \f(b+1,a+1) B.a+eq \f(1,a)>b+eq \f(1,b)
C.a+eq \f(1,b)>b+eq \f(1,a) D.eq \f(2a+b,a+2b)>eq \f(a,b)
答案 C
解析 方法一 a>b>0⇒0
方法二(特值法) 令a=2,b=1,排除A,D;
再令a=eq \f(1,2),b=eq \f(1,3),排除B.
14.已知-eq \f(π,2)≤α<β≤eq \f(π,2),则eq \f(α-β,2)的取值范围是________.
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,2),0))
解析 ∵-eq \f(π,2)≤α<β≤eq \f(π,2),
∴-eq \f(π,4)≤eq \f(α,2)
∴-eq \f(π,2)≤eq \f(α-β,2)<0.
15.古希腊时期,人们把宽与长之比为eq \f(\r(5)-1,2)的矩形称为黄金矩形,把这个比值eq \f(\r(5)-1,2)称为黄金分割比例.如图为希腊的一古建筑.其中部分廊、檐、顶的连接点为图中所示相关对应点,图中的矩形ABCD,EBCF,FGHC,FGJI,LGJK,MNJK均近似为黄金矩形.若A与D间的距离大于18.7 m,C与F间的距离小于12 m.则该古建筑中A与B间的距离可能是( )
(参考数据:eq \f(\r(5)-1,2)≈0.618,0.6182≈0.38,0.6183≈0.236)
A.29 m B.29.8 m C.30.8 m D.32.8 m
答案 C
解析 由黄金矩形的定义可知eq \f(AD,AB)≈0.618,eq \f(BC,AB)·eq \f(CF,BC)=eq \f(CF,AB)≈0.6182≈0.38,所以AB≈eq \f(AD,0.618)>eq \f(18.7,0.618)≈30.26(m),AB≈eq \f(CF,0.38)
(1)求实数a,b的取值范围;
(2)求3a-2b的取值范围.
解 (1)由-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4,
两式相加得,-4≤2a≤6,则-2≤a≤3,
由-1≤a-b≤4,
得-4≤-a+b≤1,
又-3≤a+b≤2,
两式相加得,-7≤2b≤3,即-eq \f(7,2)≤b≤eq \f(3,2).
(2)设3a-2b=m(a+b)+n(a-b)
=(m+n)a+(m-n)b,
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m+n=3,,m-n=-2,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m=\f(1,2),,n=\f(5,2),))
∴3a-2b=eq \f(1,2)(a+b)+eq \f(5,2)(a-b),
∵-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4,
∴-eq \f(3,2)≤eq \f(1,2)(a+b)≤1,-eq \f(5,2)≤eq \f(5,2)(a-b)≤10,
则-4≤3a-2b≤11.依据
a>b⇔a-b>0
a=b⇔a-b=0
a结论
要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小
性质
别名
性质内容
注意
1
对称性
a>b⇔b⇔
2
传递性
a>b,b>c⇒a>c
不可逆
3
可加性
a>b⇔a+c>b+c
可逆
4
可乘性
a>b,c>0⇒ac>bc
a>b,c<0⇒ac
5
同向可加性
a>b,c>d⇒a+c>b+d
同向
6
同向同正可乘性
a>b>0,
c>d>0⇒ac>bd
同向
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