苏教版 (2019)必修 第一册3.1 不等式的基本性质学案

这是一份苏教版 (2019)必修 第一册3.1 不等式的基本性质学案，共13页。学案主要包含了作差法比较大小，不等式的性质，利用不等式性质证明不等式等内容，欢迎下载使用。

导语
大家知道，相等关系与不等关系是数学也是日常生活中最基本的关系．比如说：长与短、远与近的比较；比如说：同学们之间高与矮、轻与重的比较；比如说：国家人口的多少、面积的大小的比较；再比如说：新冠疫情传播速度的快与慢的比较．正所谓：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”．
一、作差法比较大小
问题1 在初中，我们知道由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？
提示 设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，ab.
知识梳理
基本事实
注意点：
(1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，至于差的值是多少无关紧要，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式．
(2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小．
(3)对于某些问题也可采用取中间值的方法比较大小．
例1 已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．
解 ∵a3＋b3－(a2b＋ab2)
＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)
＝a2(a－b)＋b2(b－a)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．
当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；
当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.
综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.
延伸探究
1．若a>0，b>0，则比较a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小．
解 (a5＋b5)－(a3b2＋a2b3)＝a5－a3b2＋b5－a2b3
＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)
＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)．
∵a>0，b>0，∴(a－b)2≥0，a＋b>0，a2＋ab＋b2>0.
∴a5＋b5≥a3b2＋a2b3.
2．对于an＋bn，你能有一个更具一般性的猜想吗？
解 若a>0，b>0，n>r，n，r∈N*，
则an＋bn≥arbn－r＋an－rbr.
反思感悟 作差法比较两个实数a，b大小的基本步骤：
跟踪训练1 比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．
解 (2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4).
∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2≥0，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)>0.
∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0，
∴2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2.
二、不等式的性质
问题2 你能根据下列等式的性质，类比出不等式的性质吗？
(1)如果a＝b，那么b＝a；
(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c；
(4)如果a＝b，那么ac＝bc.
提示 (1)如果a>b，那么b(2)如果a>b，b>c，那么a>c；
(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c；
(4)如果a>b，若c>0，那么ac>bc，若c<0，则ac知识梳理
不等式的性质
注意点：
(1)可加性是不等式中移项的根据．
(2)应用同向可加性时，应注意“同向”．
(3)同向同正可乘性应注意数的正负．
例2 (1)对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是( )
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若a>b>0，则eq \f(1,a)>eq \f(1,b)
C．若aeq \f(a,b)
D．若a>b，eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，则a>0，b<0
答案 D
解析 方法一 ∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题；
由a>b>0，有ab>0⇒eq \f(a,ab)>eq \f(b,ab)⇒eq \f(1,b)>eq \f(1,a)，故B为假命题；
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b>0⇒－\f(1,b)>－\f(1,a)>0，,a－b>0))⇒eq \f(a,b)>eq \f(b,a)，故C为假命题；
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>b⇒b－a<0，,\f(1,a)>\f(1,b)⇒\f(1,a)－\f(1,b)>0⇒\f(b－a,ab)>0))⇒ab<0.
∵a>b，∴a>0且b<0，故D为真命题．
方法二 特殊值排除法．
取c＝0，则ac2＝bc2，故A错；
取a＝2，b＝1，则eq \f(1,a)＝eq \f(1,2)，eq \f(1,b)＝1.
有eq \f(1,a)取a＝－2，b＝－1，则eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，eq \f(a,b)＝2，
有eq \f(b,a)(2)已知－1①求x－y的取值范围；
②求3x＋2y的取值范围．
解 ①因为－1所以－3<－y<－2，所以－4②由－1得－3<3x<12,4<2y<6，
所以1<3x＋2y<18.
延伸探究 若将本例条件改为－1解 设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋n＝3，,m－n＝2，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(5,2)，,n＝\f(1,2)，))
即3x＋2y＝eq \f(5,2)(x＋y)＋eq \f(1,2)(x－y)，
又因为－1所以－eq \f(5,2)所以－eq \f(3,2)即－eq \f(3,2)<3x＋2y所以3x＋2y的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(23,2))).
反思感悟 (1)利用不等式性质判断命题真假的注意点
①运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质．
②解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
(2)利用不等式的性质求取值范围的策略
①建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
②同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
跟踪训练2 (1)(多选)若eq \f(1,a)A．|a|>|b| B．aC．a＋ba2
答案 CD
解析 由eq \f(1,a)从而|a|<|b|，A，B均不正确；
a＋b<0，ab>0，
则a＋bab>a2，D正确．
(2)已知1答案 (－3,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，2))
解析 ∵3∴1－4又eq \f(1,4)三、利用不等式性质证明不等式
例3 已知a>b>0，ceq \f(e,b－d).
证明 因为c－d>0，
因为a>b>0，所以a－c>b－d>0，
所以0又因为e<0，所以eq \f(e,a－c)>eq \f(e,b－d).
延伸探究 若a>b>0，ceq \f(e,b－d2).
证明 ∵c－d>0.
又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0.
∴(a－c)2>(b－d)2>0.
两边同乘以eq \f(1,a－c2b－d2)，得eq \f(1,a－c2)又e<0，∴eq \f(e,a－c2)>eq \f(e,b－d2).
反思感悟 利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
跟踪训练3 已知c>a>b>0，求证：eq \f(a,c－a)>eq \f(b,c－b).
证明 ∵c>a>b>0，
∴c－a>0，c－b>0，－a<－b，
∴0∴eq \f(1,c－a)>eq \f(1,c－b)>0.又a>b>0
∴eq \f(a,c－a)>eq \f(b,c－b).
1．知识清单：
(1)作差法比较大小．
(2)不等式的性质．
(3)利用不等式性质证明不等式．
2．方法归纳：作差法(作商法)、特殊值法．
3．常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性．
1．设bA．a－c>b－d B．ac>bd
C．a＋c>b＋d D．a＋d>b＋c
答案 C
解析 因为b2．已知xA．x2ax>a2
C．x2a2>ax
答案 B
解析 因为xa2；不等号两边同时乘x，则x2>ax，故x2>ax>a2.
3．若y1＝2x2－2x＋1，y2＝x2－4x－1，则y1与y2的大小关系是( )
A．y1>y2
B．y1＝y2
C．y1D．随x值变化而变化
答案 A
解析 y1－y2＝2x2－2x＋1－(x2－4x－1)
＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，
故y1>y2.
4．若1答案 (－2,3)
解析 因为1所以－3<－b<1，所以－21．如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是( )
A.eq \f(1,a)C．a2|b|
答案 A
解析 ∵a<0，b>0，∴eq \f(1,a)<0，eq \f(1,b)>0，∴eq \f(1,a)2．(多选)已知a，b，c，d∈R，则下列命题中错误的是( )
A．若a>b，c>d，则a＋b>c＋d
B．若a>－b，则c－aC．若a>b，ceq \f(b,d)
D．若a2>b2，则－a<－b
答案 ACD
解析 选项A，取a＝1，b＝0，c＝2，d＝1，则a＋b选项B，因为a>－b，所以－a选项C，如a>b>0，c<0选项D，如a＝－1，b＝0时不成立．
3．设a>1>b>－1，则下列不等式中恒成立的是( )
A.eq \f(1,a)eq \f(1,b)
C．a2>2b D．a>b2
答案 D
解析 A错，例如a＝2，b＝－eq \f(1,2)时，eq \f(1,a)＝eq \f(1,2)，eq \f(1,b)＝－2，此时，eq \f(1,a)>eq \f(1,b)；B错，例如a＝2，b＝eq \f(1,2)时，eq \f(1,a)＝eq \f(1,2)，eq \f(1,b)＝2，此时，eq \f(1,a)1，b2<1得a>b2，故D正确．
4．已知0A．MN
C．M＝N D．M≥N
答案 B
解析 ∵0∴－1∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1
＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)>0，
∴M>N.
5．若1A．－3C．－3答案 C
解析 ∵－4∴－4<－|b|≤0.
又∵16．(多选)设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的是( )
A．c2C．ac>bd D.eq \f(c,a)－eq \f(d,b)>0
答案 AD
解析 因为a>b>0>c>d，所以a>b>0,0>c>d，
对于A，因为0>c>d，由不等式的性质可得c2对于B，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则a－c＝3，b－d＝3，所以a－c＝b－d，故选项B错误；
对于C，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝－2，bd＝－2，所以ac＝bd，故选项C错误；
对于D，因为ad<0，bc<0，又a>b>0，deq \f(d,b)，故eq \f(c,a)－eq \f(d,b)>0，故选项D正确．
7．若－1答案 (－2,2)
解析 因为－18．若A＝eq \f(1,x2)＋3与B＝eq \f(1,x)＋2，则A________B．(填“>”“<”“≥”“≤”或“＝”)
答案 >
解析 A－B＝eq \f(1,x2)＋3－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋2))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)>0，
所以A>B.
9．利用不等式的性质证明下列不等式：
(1)若a0；
(2)若a<0，－1证明 (1)∵a又c<0，∴(a－b)c>0.
(2)∵－1∴1>b2>0>b>－1，
又a<0，∴a10．已知a≠1且a∈R，试比较eq \f(1,1－a)与1＋a的大小．
解 因为eq \f(1,1－a)－(1＋a)＝eq \f(a2,1－a)，
①当a＝0时，eq \f(a2,1－a)＝0，所以eq \f(1,1－a)＝1＋a.
②当a<1，且a≠0时，eq \f(a2,1－a)>0，所以eq \f(1,1－a)>1＋a.
③当a>1时，eq \f(a2,1－a)<0，所以eq \f(1,1－a)<1＋a.
11．已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．xy>yz B．xz>yz
C．xy>xz D．x|y|>z|y|
答案 C
解析 因为x>y>z，x＋y＋z＝0，
所以3x>x＋y＋z＝0,3z所以x>0，z<0.
所以由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,y>z，))可得xy>xz.
12．手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中的一个重要参数，其值通常在(0,1)之间，设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该手机的“屏占比”和升级前比的变化是( )
A．“屏占比”不变 B．“屏占比”变小
C．“屏占比”变大 D．变化不确定
答案 C
解析 设升级前“屏占比”为eq \f(b,a)，
升级后“屏占比”为eq \f(b＋m,a＋m)(a>b>0，m>0)．
∴eq \f(b＋m,a＋m)－eq \f(b,a)＝eq \f(a－bm,aa＋m)>0，
∴手机的“屏占比”和升级前相比变大．
13．若a>b>0，则下列不等式中恒成立的是( )
A.eq \f(b,a)>eq \f(b＋1,a＋1) B．a＋eq \f(1,a)>b＋eq \f(1,b)
C．a＋eq \f(1,b)>b＋eq \f(1,a) D.eq \f(2a＋b,a＋2b)>eq \f(a,b)
答案 C
解析 方法一 a>b>0⇒0b＋eq \f(1,a).
方法二(特值法) 令a＝2，b＝1，排除A，D；
再令a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,3)，排除B.
14．已知－eq \f(π,2)≤α<β≤eq \f(π,2)，则eq \f(α－β,2)的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))
解析 ∵－eq \f(π,2)≤α<β≤eq \f(π,2)，
∴－eq \f(π,4)≤eq \f(α,2)∴－eq \f(π,4)≤eq \f(α,2)－eq \f(π,4)∴－eq \f(π,4)≤－eq \f(β,2)由①＋②得－eq \f(π,2)≤eq \f(α－β,2)又知α<β，∴α－β<0.
∴－eq \f(π,2)≤eq \f(α－β,2)<0.
15．古希腊时期，人们把宽与长之比为eq \f(\r(5)－1,2)的矩形称为黄金矩形，把这个比值eq \f(\r(5)－1,2)称为黄金分割比例．如图为希腊的一古建筑．其中部分廊、檐、顶的连接点为图中所示相关对应点，图中的矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均近似为黄金矩形．若A与D间的距离大于18.7 m，C与F间的距离小于12 m．则该古建筑中A与B间的距离可能是( )
(参考数据：eq \f(\r(5)－1,2)≈0.618，0.6182≈0.38，0.6183≈0.236)
A．29 m B．29.8 m C．30.8 m D．32.8 m
答案 C
解析 由黄金矩形的定义可知eq \f(AD,AB)≈0.618，eq \f(BC,AB)·eq \f(CF,BC)＝eq \f(CF,AB)≈0.6182≈0.38，所以AB≈eq \f(AD,0.618)>eq \f(18.7,0.618)≈30.26(m)，AB≈eq \f(CF,0.38)16．实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.
(1)求实数a，b的取值范围；
(2)求3a－2b的取值范围．
解 (1)由－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，
两式相加得，－4≤2a≤6，则－2≤a≤3，
由－1≤a－b≤4，
得－4≤－a＋b≤1，
又－3≤a＋b≤2，
两式相加得，－7≤2b≤3，即－eq \f(7,2)≤b≤eq \f(3,2).
(2)设3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)
＝(m＋n)a＋(m－n)b，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋n＝3，,m－n＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,2)，,n＝\f(5,2)，))
∴3a－2b＝eq \f(1,2)(a＋b)＋eq \f(5,2)(a－b)，
∵－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，
∴－eq \f(3,2)≤eq \f(1,2)(a＋b)≤1，－eq \f(5,2)≤eq \f(5,2)(a－b)≤10，
则－4≤3a－2b≤11.依据
a>b⇔a－b>0
a＝b⇔a－b＝0
a结论
要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小
性质
别名
性质内容
注意
1
对称性
a>b⇔b⇔
2
传递性
a>b，b>c⇒a>c
不可逆
3
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
可逆
4
可乘性
a>b，c>0⇒ac>bc
a>b，c<0⇒acc的符号
5
同向可加性
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d
同向
6
同向同正可乘性
a>b>0，
c>d>0⇒ac>bd
同向