北京市西城区2022届高三数学二模试卷及答案

北京市西城区2022届高三数学二模试卷

一、单选题

1．已知集合，，则（　　）

A． B． C． D．

2．已知双曲线的焦点分别为，，，双曲线上一点满足，则该双曲线的离心率为（　　）

A． B． C．2 D．3

3．已知为等差数列，首项，公差，若，则（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（　　）

A． B． C． D．

5．已知直线与圆：交于，两点，且，则的值为（　　）

A． B． C． D．2

6．已知是单位向量，向量满足，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

7．已知函数，，那么“”是“在上是增函数”的（　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8．已知，记关于的方程的所有实数根的乘积为，则（　　）

A．有最大值，无最小值 B．有最小值，无最大值

C．既有最大值，也有最小值 D．既无最大值，也无最小值

9．若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

10．如图为某商铺、两种商品在2022年前3个月的销售情况统计图，已知商品卖出一件盈利20元，商品卖出一件盈利10元.图中点、、的纵坐标分别表示商品2022年前3个月的销售量，点、、的纵坐标分别表示商品2022年前3个月的销售量.根据图中信息，下列四个结论中正确的是（　　）

①2月、两种商品的总销售量最多；②3月、两种商品的总销售量最多；③1月、两种商品的总利润最多；④2月、两种商品的总利润最多.

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

二、填空题

11．二项式的展开式中的系数为21，则　     　.

12．已知复数在复平面内所对应的点的坐标为，则为　     　.

13．已知数列是首项为16，公比为的等比数列，是公差为2的等差数列.若集合中恰有3个元素，则符合题意的的一个取值为　                 　.

14．已知四棱锥的高为1，和均是边长为的等边三角形，给出下列四个结论：

①四棱锥可能为正四棱锥；

②空间中一定存在到，，，，距离都相等的点；

③可能有平面平面；

④四棱锥的体积的取值范围是.

其中所有正确结论的序号是　     　.

15．已知抛物线的焦点为，准线为，则焦点到准线的距离为　     　；直线与抛物线分别交于、两点（点在轴上方），过点作直线的垂线交准线于点，则　     　.

三、解答题

16．在中，.

（1）求的大小；

（2）若，证明：.

17．2021年12月9日，《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》发布.义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分.其中过程性考核40分，现场考试30分.该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开.现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置22项考试内容.某区在九年级学生中随机抽取1100名男生和1000名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为和，选考1分钟跳绳的比例分别为和.假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立.

（1）从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，估计该学生选考乒乓球的概率；

（2）从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率；

（3）已知乒乓球考试满分8分.在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有60人得8分，40人得7.5分，其余男生得7分；样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分.记这次模拟考试中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为，其中男生的乒乓球平均分的估计值为，试比较与的大小.（结论不需要证明）

18．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点为棱上动点（不与，重合），平面与棱交于点.

（1）求证：；

（2）若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线与平面所成角的正弦值.条件①：平面平面；条件②：；条件③：.

19．已知函数.

（1）若，求的值；

（2）当时，

①求证：有唯一的极值点；

②记的零点为，是否存在使得？说明理由.

20．已知椭圆：的左顶点为，圆：经过椭圆的上、下顶点.

（1）求椭圆的方程和焦距；

（2）已知，分别是椭圆和圆上的动点（，不在坐标轴上），且直线与轴平行，线段的垂直平分线与轴交于点，圆在点处的切线与轴交于点.求线段长度的最小值.

21．已知数列：，，…，，其中是给定的正整数，且.令，，，，，.这里，表示括号中各数的最大值，表示括号中各数的最小值.

（1）若数列：2，0，2，1，-4，2，求，的值；

（2）若数列是首项为1，公比为的等比数列，且，求的值；

（3）若数列是公差的等差数列，数列是数列中所有项的一个排列，求的所有可能值（用表示）.

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】C

3．【答案】D

4．【答案】D

5．【答案】B

6．【答案】C

7．【答案】A

8．【答案】D

9．【答案】B

10．【答案】C

11．【答案】7

12．【答案】

13．【答案】-1（答案不唯一）

14．【答案】①②④

15．【答案】2；

16．【答案】（1）解：在中，∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴

（2）证明：∵，∴．

由余弦定理得①，

∵，∴②，

将②代入①，得，

整理得，∴

17．【答案】（1）解：样本中男生的人数为人，

样本中女生的人数为人，

设从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，该学生选考乒乓球为事件，

则该学生选考乒乓球的概率

（2）解：设从该区九年级全体男生中随机抽取1人，选考跳绳为事件，

从该区九年级全体女生中随机抽取1人，选考跳绳为事件，

由题意，

则从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率为

（3）解：

18．【答案】（1）证明：在三棱柱中，，又平面，平面，

所以平面，

又因为平面平面，

所以.

（2）解：选条件①②.

连接，取中点，连接，.

在菱形中，，

所以为等边三角形.

又因为为中点，所以，

又因为平面平面，

平面平面，

平面，且，

所以平面，平面，

所以.

又因为，所以.

以为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，，，.

所以，.

设平面的一个法向量为，

则，所以

令，则，，故.

又因为，

设直线与平面所成角为，

所以.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

选条件②③.

连接，取中点，连接，.

在菱形中，，

所以为等边三角形.

又为中点，故，且.

又因为，.

所以，

所以.

又因为，所以平面.

以下同选①②.

选条件①③

取中点，连接，.

在中，因为，所以，且，.

又因为平面平面，平面平面，

所以平面.

因为平面，所以.

在中，.

又因为，，

所以，

所以.

以下同选①②.

19．【答案】（1）解：因为，所以

因为，所以

（2）解：①的定义域是，

令，则.

设，因为在上单调递减，

所以在上单调递减.

因为，所以在上有唯一的零点，|

所以有有唯一解，不妨设为.

与的情况如下，

所以有唯一的极值点.

②由题意，，则

若存在a，使，则，所以

因为在单调递减，，

则需，即，与已知矛盾.

所以，不存在，使得.

20．【答案】（1）解：依题意，，由，得，

所以椭圆C的方程为：，焦距为

（2）解：设，则，依题意，设，且，

因，则线段AP的中点为，直线AP的斜率，

则线段AP的中垂线方程为：，

令得点M的纵坐标，而，则，即，

直线OQ的斜率，因此，圆O在点Q处的切线斜率为，

切线方程为，令得点N的纵坐标，即，

则有，当且仅当，即时取“=”，

所以线段长度的最小值为

21．【答案】（1）解：由题设，，，，则，

，，，则，

所以，

（2）解：若数列任意两项均不相等，

当时；

当且时，，

又，，

此时；

综上，，故，不合要求；

要使，即存在且使，即，

又，则，

当，则，不合要求；

当，则，满足题设；

综上，.

（3）解：由题设数列单调递增且，

由（2）知：，

根据题设定义，存在且，，

则，

由比数列中个项大，，同理，

所以；

又至少比数列中一项小，，同理，

所以；

综上，.

令数列，下证各值均可取到，

ⅰ、当，而数列递增，

，且，

此时，，，

则；

ⅱ、当时，，则，

当且时，令，则，

所以，，

此时；

ⅲ、给定，

令()且()，

则()，()，

又数列递增，，

()，()，

所以，

此时且，

故，

综上，.