2023届高考数学一轮复习精选用卷 第九章 概率与统计 考点48 分类加法计数原理与分步乘法计数原理+答案解析

第九章　概率与统计

考点测试48　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

一、基础小题

1．若x∈{1，2，3}，y∈{5，7，9}，则x·y的不同值的个数是(　　)

A．2   B．6 

C.9   D．8

答案　C

解析　求x·y需分两步取值：第一步，x的取值有3种；第二步，y的取值有3种，故有3×3＝9个不同的值．故选C.

2．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少有1个，至多有5个，则不同的分法共有(　　)

A．4种   B．5种 

C.6种   D．7种

答案　A

解析　分类考虑，若最少一堆是1个，那由至多5个知另两堆分别为4个、5个，只有1种分法；若最少一堆是2个，则由3＋5＝4＋4知有2种分法；若最少一堆是3个，则另两堆为3个、4个，只有1种分法，故共有1＋2＋1＝4种分法．

3．某校科技大楼电子阅览室在第8层，每层均有2个楼梯，则由一楼上到电子阅览室的不同走法共有(　　)

A．29种   B．28种 

C.27种   D．82种

答案　C

解析　因为从一楼到二楼有2种走法，从二楼到三楼有2种走法，……，从一楼到八楼分7步进行，每步都有2种不同的走法，所以根据分步乘法计数原理可得由一楼上到电子阅览室的不同走法共有27种．故选C.

4．若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不产生进位现象，则称n为“开心数”．例如：32是“开心数”，因32＋33＋34不产生进位现象；23不是“开心数”，因23＋24＋25产生进位现象．那么，小于100的“开心数”的个数为(　　)

A．9   B．10 

C.11   D．12

答案　D

解析　根据题意，∵个位数需要满足：n＋(n＋1)＋(n＋2)＜10，即n＜，∴个位数可取0，1，2三个数，∵十位数需要满足3n＜10，∴n＜，∴十位可以取0，1，2，3四个数，故小于100的“开心数”共有3×4＝12个．故选D.

5．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种手机充值卡．若他至少买一张，则不同的买法共有(　　)

A．7种   B．8种 

C.6种   D．9种

答案　A

解析　要完成的一件事是“至少买一张手机充值卡”，分三类完成：买1张卡，买2张卡，买3张卡．而每一类都能独立完成“至少买一张手机充值卡”这件事．买1张卡有2种方法，买2张卡有3种方法，买3张卡有2种方法，故共有2＋3＋2＝7种不同的买法．故选A.

6．有四位老师在同一年级的四个班级中各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是(　　)

A．8   B．9 

C.10   D．11

答案　B

解析　设四个班级分别是A，B，C，D，它们的老师分别是a，b，c，d.解法一：设a监考的是B，则剩下的三位老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C，D时，剩下的三位老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．由分类加法计数原理知，共有3＋3＋3＝9种不同的安排方法．

解法二：让a先选，可从B，C，D中选一个，即有3种选法．若选的是B，则b从剩下的三个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两位老师都只有1种选法，由分步乘法计数原理知，共有3×3×1×1＝9种不同的安排方法．

7．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为(　　)

A．504   B．210 

C.336   D．120

答案　A

解析　分三步，先插一个新节目，有7种方法，再插第二个新节目，有8种方法，最后插第三个新节目，有9种方法．故共有7×8×9＝504种不同的插法．

8．如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有(　　)

A．400种   B．460种

C．480种   D．496种

答案　C

解析　从A开始，有6种涂法，B有5种，C有4种，D，A同色1种，D，A不同色3种，得不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480种．故选C.

9．已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后．已知英文字母是A，B，C，D，E这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的1个，则共有________个不同的编号(用数字作答).

答案　45

解析　对于英文字母来说，共有5种可能，对于数字来说，共有9种可能，由分步乘法计数原理可知，共有5×9＝45个不同的编号．

10．如果一个三位数abc同时满足a>b且b<c，则称该三位数为“凹数”，那么所有不同的三位“凹数”的个数是________．

答案　285

解析　根据题意，按十位数字分类讨论：

①十位数字是9时不存在，此时三位“凹数”的个数为0；

②十位数字是8时，只有989，此时三位“凹数”的个数为1；

③十位数字是7时，则百位与个位都有2种可能，所以此时三位“凹数”的个数为2×2＝4；

④十位数字是6时，则百位与个位都有3种可能，所以此时三位“凹数”的个数为3×3＝9；

⑤十位数字是5时，则百位与个位都有4种可能，所以此时三位“凹数”的个数为4×4＝16；

⑥十位数字是4时，则百位与个位都有5种可能，所以此时三位“凹数”的个数为5×5＝25；

⑦十位数字是3时，则百位与个位都有6种可能，所以此时三位“凹数”的个数为6×6＝36；

⑧十位数字是2时，则百位与个位都有7种可能，所以此时三位“凹数”的个数为7×7＝49；

⑨十位数字是1时，则百位与个位都有8种可能，所以此时三位“凹数”的个数为8×8＝64；

⑩十位数字是0时，则百位与个位都有9种可能，所以此时三位“凹数”的个数为9×9＝81.

所以所有不同的三位“凹数”的个数是1＋4＋9＋16＋25＋36＋49＋64＋81＝285.

二、高考小题

11．(2016·全国Ⅱ卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)

A．24   B．18 

C.12   D．9

答案　B

解析　分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路径．故选B.

12．(2020·全国Ⅱ卷)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．

答案　36

解析　∵4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，∴先取2名同学作为一组，选法有C＝6种，然后将3组同学分配到3个小区，分法有A＝6种，根据分步乘法计数原理，可得不同的安排方法共有6×6＝36种．

13．(2015·广东高考)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)

答案　1560

解析　∵同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，且全班共有40人，∴全班共写了40×39＝1560条毕业留言．

三、模拟小题

14．(2021·广东省湛江二十一中开学考试)有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法共有(　　)

A．21种   B．315种 

C.153种   D．143种

答案　D

解析　由题意，选一本语文书、一本数学书有9×7＝63种，选一本数学书、一本英语书有7×5＝35种，选一本语文书、一本英语书有9×5＝45种，所以共有63＋45＋35＝143种选法．故选D.

15．(2021·湖南高三下学期高考冲刺)某体育彩票规定：从01至36共36个号中选出7个作为一注，每注2元．某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号， 从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，若这人想把满足这种特殊要求的号买全，则他要花的钱数为(　　)

A．3360元   B．6720元

C．4320元   D．8640元

答案　D

解析　从01至10中选3个连续的号共有8种选法；从11至20中选2个连续的号共有9种选法；从21至30中选1个号共有10种选法；从31至36中选1个号共有6种选法．所以共有8×9×10×6＝4320种选法，要花4320×2＝8640元．故选D.

16．(2022·广东省高三开学摸底联考)四色定理(Four color theorem)又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一，它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里(Francis Guthrie)提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色．”四色问题的证明进程缓慢，直到1976年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理．现某校数学兴趣小组给一个底面边长互不相等的直四棱柱容器的侧面和下底面染色，提出如下的“四色问题”：要求相邻两个面不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方案有(　　)

A．18种   B．36种 

C.48种   D．72种

答案　D

解析　染色方案可分为两类：①只使用3种颜色的染色方案有4×3×2种；②使用4种颜色的染色方案有4×3×2×2种，所以不同的染色方案有4×3×2×(2＋1)＝72种．故选D.

17．(2021·辽宁省高考压轴试卷)用数字3，6，9组成四位数，各数位上的数字允许重复，且数字3至多出现一次，则可以组成的四位数的个数为(　　)

A．81   B．48 

C.36   D．24

答案　B

解析　根据题意，数字3至多出现一次，分2种情况讨论：①数字3不出现，此时四位数的每个数位都可以为6或9，都有2种情况，则此时四位数有2×2×2×2＝16个；②数字3出现1次，则数字3出现的情况有4种，剩下的三个数位，可以为6或9，都有2种情况，此时四位数有4×2×2×2＝32个，故有16＋32＝48个四位数．故选B.

18．(2021·河北石家庄高三二模)算盘是一种手动操作计算辅助工具，它起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项重要发明．算盘有很多种类，现有一种算盘(如图1)，共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下四珠，上拨每珠记作数字1(例如图2中算盘表示整数51).如果拨动图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为(　　)

A．16   B．15 

C.12   D．10

答案　C

解析　由题意，拨动三枚算珠，有四种拨法：①十位拨动0枚，个位拨动3枚，有2种结果：7和3；②十位拨动1枚，个位拨动2枚，有4种结果：12，16，52，56；③十位拨动2枚，个位拨动1枚，有4种结果：21，25，61，65；④十位拨动3枚，个位拨动0枚，有2种结果：30，70.综上，拨动图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为12.故选C.

19．(2021·江苏省南通学科基地高三模拟)为了强化劳动观念，弘扬劳动精神，某班级决定利用班会课时间进行劳动教育．现要购买铁锹、锄头、镰刀三种劳动工具共10把，每种工具至少购买1把，则不同的选购方法共有________种．

答案　36

解析　设购买铁锹x把，锄头y把，镰刀z把，则x＋y＋z＝10.当x＝1时，y＋z＝9，有8种选购方法；当x＝2时，y＋z＝8，有7种选购方法；以此类推，共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36种不同的选购方法．

20. (2022·重庆市第七中学高三第一次月考)用红、黄、蓝、绿4种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为________．

答案　120

解析　根据题意，红色至少要涂2个圆，则红色可以涂2个圆或3个圆，共2种情况．(1)红色涂3个圆，则红色只能涂第1，3，5个圆，此时有3×3＝9种涂法．(2)红色涂2个圆，若红色涂第1，3个圆，有3×3×2＝18种涂法；若红色涂第1，4个圆，有3×2×3＝18种涂法；若红色涂第1，5个圆，有3×2×2＝12种涂法；若红色涂第2，4个圆，有3×3×3＝27种涂法；若红色涂第2，5个圆，有3×3×2＝18种涂法；若红色涂第3，5个圆，有3×2×3＝18种涂法，此时有18＋18＋12＋27＋18＋18＝111种涂法．所以共有9＋111＝120种不同的涂色方案．

本考点在近三年高考中未涉及此题型．