2021-2022学年四川省成都市温江区七年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年四川省成都市温江区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共32.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列图案中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是，这个数用科学记数法表示正确的是．(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 将一副直角三角板如图放置，已知，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

5. 等腰三角形两边的长分别为和，则这个三角形的周长是(    )

A.  B.
C. 或 D. 在或之间

6. 如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定≌的是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 李老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为，他从家出发匀速步行到公园后，停留，然后匀速步行到学校，设李老师离公园的距离为单位：，所用时间为单位：，则下列表示与之间函数关系的图象中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 假定按同一种方式掷两枚均匀硬币，如果第一枚出现正面朝上，第二枚出现反面朝上，就记为正，反，如此类推，出现反，反的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

9. 小明用七巧板拼了一个对角线长为的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形如图所示，则长方形的周长为______．

10. 若，，则的值为______．
11. 如图，已知是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是______．

12. 如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为______．

13. 四边形是轴对称图形，对称轴为直线，，，点、分别为、的中点，点、分别是线段、上的动点，则的最大值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14. ；
    先化简，再求值：，其中，满足：．
15. 从至的个整数中随机取个数，求取到的数为奇数的概率；从至的个整数中随机取个不同的数，求取到的个数互质的概率．公因数只有的两个非零自然数，叫做互质数
16. 如图，已知，，，求度数．

17. 某公交车每月的支出费用为元，票价为元人，设每月有人乘坐该公交车，每月收入与支出的差额为元．
    请写出与之间的关系式，并列表表示当的值分别是，，，，，，，时的值；
    当每月乘客量达到多少人以上时，该公交车才不会亏损？
18. 如图，在等边三角形中，点为边上一动点点不与、重合，延长至点，使，连接交于点，于点．
    求证：；
    探究与的数量关系，并证明．

19. 如图，，是线段上一点，分别以，为直径作圆．
    设，求两个圆的面积之和；
    当分别为和时，比较的大小．

20. 在中，，，如图所示，边在直线上，若绕点沿顺时针方向旋转，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、．
    当时，证明：≌，并探究线段、和的数量关系并说明理由；
    当，且时，探究线段、和的数量关系直接写出结果．
     

21. 【尝试初探】如图，小明将两个含角的全等的三角尺拼成一个等边三角形，发现，小明得出结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．请利用小明的结论，完成下面的探究问题．
    【深入探究】在平行四边形中，，，，，点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，过点作于点，作交直线于点，交直线于点，点运动时间为秒求为何值时，与全等，并说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
【解答】
解：，
故选C．  

3.【答案】 

【解析】解：，
选项A不符合题意；
，
选项B符合题意；
，
选项C不符合题意；
，
选项D不符合题意；
故选：．
利用同底数幂的除法法则，幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握同底数幂的除法法则，幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
．
故选：．
由直角三角形的性质得出，由平行线的性质得出，再由三角形外角和定理即可求出的度数．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，三角形外角定理是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：当腰长是时，因为，不符合三角形的三边关系，应排除；
当腰长是时，因为，符合三角形三边关系，此时周长是．
故选：．
题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：添加，理由如下：
，
，
，，
根据“”判定≌．
故选：．
先根据平行线的性质得到，加上，则可根据全等三角形的判定方法即可求解．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的根据，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
李老师离公园的距离为单位：，所用时间为单位：，家到公园、公园到学校的距离分别为，，
李老师从家出发匀速步行到公园，
这个过程随的增大而减小，当时，，
李老师到公园后，停留，
这个过程随的变化不改变，的值都是，
李老师匀速步行到学校，
这个过程随的增大而增大，当时，，
故选：．
根据题意和题目中的数据，可以写出各段随的变化如何变化，然后即可判断哪个选项符合题意．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中出现反，反的结果有种，
所以出现反，反的概率是，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中出现反，反的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

9.【答案】 

【解析】解：正方形对角线为，
和的直角边为，
长方形的长为，宽为，
长方形的周长为，
故答案为：．
根据正方形对角线为，则和的直角边为，从而得出长方形的长和宽，进而得出答案．
本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，七巧板等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
根据完全平方公式计算即可．
本题考查了完全平方公式以及代数式求值，掌握完全平方公式是解答本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：作，，如图：

设的半径为，
是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆，
，、是等腰直角三角形，
，，
，，
这个点取在阴影部分的概率是，
故答案为：．
作，，设的半径为，根据是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆，可得，、是等腰直角三角形，即可得，，从而求出答案．
本题考查几何概率，涉及正方形的外切圆与内接圆，解题的关键是用含的代数式表示阴影部分的面积．
 

12.【答案】 

【解析】解：由作图可知，垂直平分线段，
，
，
设，
在中，则有，
，
，
故答案为：．
证明，设，利用三角形内角和定理构建方程求解．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，．

四边形是菱形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，关于对称，
，
，
点在线段上，
当点与或重合时，的值最大，最大值为，
，
的最大值为，
故答案为：．
如图，连接，，证明是边长为的等边三角形，再证明，推出，求出的最大值，可得结论．
本题考查轴对称最短问题，菱形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

14.【答案】解：原式
；
原式

，

，，
解得：，，
则原式． 

【解析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及乘方的意义计算即可求出值；
原式中括号里利用完全平方公式，平方差公式化简，去括号合并后再利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，利用非负数的性质求出与的值，代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

15.【答案】解：从至的个整数中随机取个数共有种等可能结果，其中取到的数为奇数的、这种结果，
所以取到的数为奇数的概率为；
从至的个整数中随机取个不同的数的所有情况如下表所示：

由表知，共有种等可能结果，其中取到的个数互质的有种结果，
所以取到的个数互质的概率为． 

【解析】利用概率公式可得随机取个数，取到的数为奇数的概率；列表得出随机取个不同的数的所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与扇形统计图、条形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

16.【答案】解：过点作，

，
，
，，
，
即． 

【解析】过点作，根据平行线的性质及角的和差求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
 

17.【答案】解：由每月有人乘坐该公交车，每月收入与支出的差额为元．
所以，
列表如下：

由上表可知：
当时，不盈不亏，
当时，盈利，
当时，亏损，
当每月乘客量达到人以上时，该公交车才不会亏损． 

【解析】读懂题意，按题意列一次函数解析式，画表格．
按表格中数据，得到值大于时就不会亏损了，相应的的值就是乘客应达到的数量．
本题考查函数关系式，理解题目中的数量关系是正确解答的关键．
 

18.【答案】证明：过点作，交于点，如图所示：

在等边中，，
，
，，，
是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：理由如下：
是等边三角形，且，
，
≌，
，
，
，
． 

【解析】过点作，交于点，根据等边三角形的性质以及平行线的性质证明是等边三角形，易证≌，即可得证；
根据等边三角形的性质可知，根据全等三角形的性质可知，即可表示出与的数量关系．
本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

19.【答案】解：；

当时，，
当时，，
． 

【解析】利用圆的面积公式求解即可；
代入中结果，求解即可．
本题考查作图基本作图，圆的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

20.【答案】证明：，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
；
，理由如下：
如图，

，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
． 

【解析】由“”可证≌，可得，，可得结论；
由“”可证≌，可得，，可得结论．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

21.【答案】解：当点在线段上时，
，，
，
与全等，
，
，
，
，
，
，
当点在的延长线上时，

与全等，
，
同理得，，
，
综上：或时，与全等． 

【解析】分点在线段上或点在的延长线上，分别根据图形可得，从而解决问题．
本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质，平行四边形的性质，含角所对的直角边等于斜边的一半等知识，熟练掌握全等三角形的性质进行分类讨论是解题的关键．