【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件章末检测卷(五)

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章末检测卷(五)
(时间：120分钟　满分：150分)
第5章 导数及其应用
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)
A
2.函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为(　　)A.(－∞，－1)和(0，1) B.(－1，0)和(1，＋∞)C.(－1，1) D.(－∞，－1)和(1，＋∞)
A
解析　y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0得x的范围为(－∞，－1)∪(0，1)，故选A.
3.若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于(　　)A.2 B.3 C.4 D.5
D
解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋3.由f(x)在x＝－3时取得极值，得f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5(经检验，符合题意).
B
1
D
A.[1，＋∞) B.(－∞，0)∪(0，1]C.(0，1] D.(－∞，0)∪[1，＋∞)
C
A
C
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)
AD
9.若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是(　　)
A.y＝cos x B.y＝ln x C.y＝ex D.y＝x2
对于选项C，因为f′(x)＝ex>0，不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；
10.将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是(　　 )
ABD
解析　对于A选项，由函数y＝f′(x)的图象可知，f′(0)＝0，但函数y＝f(x)在x＝0处的切线斜率不存在，不合题意；对于B选项，由函数y＝f′(x)的图象可知，函数y＝f(x)存在增区间，但B选项的图中，函数y＝f(x)没有增区间，不合题意；对于C选项，由函数y＝f′(x)的图象可知，函数y＝f(x)在R上为增函数，符合题意；对于D选项，由函数y＝f′(x)的图象可知，函数y＝f(x)有两个单调区间，但D选项的图中，函数y＝f(x)有三个单调区间，不合题意.故选ABD.
11.如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则(　　)
AD
A.在x＝－2时，函数y＝f(x)取得极值B.在x＝1时，函数y＝f(x)取得极值C.y＝f(x)的图象在x＝0处切线的斜率小于零D.函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增
解析　由题图可知，x＝－2是导函数f′(x)的一个变号零点，故当x＝－2时，函数f(x)取得极值，选项A正确；x＝1不是导函数f′(x)的一个变号零点，故当x＝1时，函数f(x)不能取得极值，选项B错误；y＝f(x)的图象在x＝0处的切线斜率为f′(x)>0，选项C错误；当x∈(－2，2)时，f′(x)>0，此时函数y＝f(x)单调递增，选项D正确.故选AD.
12.定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且(x＋1)f′(x)－f(x)CD
因为(x＋1)f′(x)－f(x)g(2)>g(3)，整理得2f(2)－3f(1)<5，f(3)－2f(1)<7，故A错误，C正确；
x＋9y－6＝0
14.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(单位：万元)与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元，那么当仓库建在离车站________ km处时，两项费用之和最小，最小费用为________万元.(本题第一空3分，第二空2分)
5
8
令y′＝0，得x＝5或x＝－5(舍去).当0＜x＜5时，y′＜0；当x＞5时，y′＞0，因此，当x＝5时，y取得极小值，也是最小值，其值为8.
15.当x∈[－1，2]时，x3－x2－x＜m恒成立，则实数m的取值范围是________.
(2，＋∞)
解析　记f(x)＝x3－x2－x，所以f′(x)＝3x2－2x－1.
16.法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出一个定理：如果函数y＝f(x)满足条件： (1)在闭区间[a，b]上是连续不断的；
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f′(x)是奇函数. (1)求b，c的值；
解　因为f(x)＝x3＋bx2＋cx，所以f′(x)＝3x2＋2bx＋c.从而g(x)＝f(x)－f′(x)＝x3＋bx2＋cx－(3x2＋2bx＋c)＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c.因为g(x)是奇函数，且x∈R，所以g(0)＝0，得c＝0.由奇函数的定义，得b＝3.
(2)求g(x)的单调区间.
解　由(1)，知g(x)＝x3－6x，从而g′(x)＝3x2－6.
(2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥0.
证明　当a≥1时，f(x)＋e≥(x2＋x－1＋ex＋1)e－x.令g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1，则g′(x)＝2x＋1＋ex＋1.当x<－1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>－1时，g′(x)>0，g(x)单调递增；所以g(x)≥g(－1)＝0.因此f(x)＋e≥0.
19.(12分)设函数f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0，6). (1)求a的值；
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，∴f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1).∵切线与y轴相交于点(0，6)，
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝3.当03时，f′(x)>0，f(x)在区间(0，2)，(3，＋∞)上为增函数；当220.(12分)设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有3个不同的实根，求实数a的取值范围.
解　令g(x)＝f(x)－a，则g′(x)＝f′(x)，
则f′(x)＝3 240(2.7x2－9.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3)，
22.(12分)已知函数f(x)＝xln x－ax. (1)当a＝－1时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的最值；