【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件午练19　导数与函数的极值、最值

午练19　导数与函数的极值、最值

1.函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e)上的极大值为(　　)

A.－e  B.1－e

C.－1  D.0

答案　C

解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝－1.

令f′(x)＝0，得x＝1.

当x∈(0，1)时，f′(x)>0，

当x∈(1，e)时，f′(x)<0，

故f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.

2.函数y＝x－sin x，x∈的最大值是(　　)

A.π－1  B.－1

C.π  D.π＋1

答案　C

解析　因为y′＝1－cos x，当x∈时，y′>0，则函数在区间上为增函数，

所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π，故选C.

3.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品的销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元/件)有如下关系：Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)(　　)

A.30元  B.60元

C.28 000元  D.23 000元

答案　D

解析　设毛利润为L(P).

则L(P)＝PQ－20Q＝(8 300－170P－P2)(P－20)

＝－P3－150P2＋11 700P－166 000，

所以L′(P)＝－3P2－300P＋11 700.

令L′(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去).

此时，L(30)＝23 000.

根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元.

4.(多选)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　)

A.f(a)>f(e)>f(d)

B.函数f(x)在[a，b]上单调递增，在[b，d]上单调递减

C.f(x)的极值点为c，e

D.f(x)的极大值为f(c)

答案　CD

解析　由导数与函数单调性的关系知，当f′(x)>0时，f(x)单调递增，当f′(x)<0时，f(x)单调递减.

结合所给图象知，x∈(a，c)时，f′(x)>0，

∴f(x)在(a，c)上单调递增；

x∈(c，e)时，f′(x)<0，

∴f(x)在(c，e)上单调递减；

x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，

∴f(x)在(e，＋∞)上单调递增.

∴函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值，∴f(x)的极值点为c，e.

故C，D正确，A，B错误.

5.用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为(　　)

A.120 000 cm3  B.128 000 cm3

C.150 000 cm3  D.158 000 cm3

答案　B

解析　设水箱底边长为x cm，则水箱高h＝60－(cm)，水箱容积V＝V(x)＝x2h＝60x2－ (0<x<120).

V′(x)＝120x－x2.令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝80.可判断得x＝80 cm时，V取最大值为128 000 cm3.

6.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为________.

答案　－71

解析　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1).

由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.

又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，

f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20，

故f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，

∴f(x)min＝k－76＝－71.

7.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1，1]，则f(m)的最小值为________.

答案　－4

解析　f′(x)＝－3x2＋2ax，

由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，

即－3×4＋2a·2＝0，故a＝3.

由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，

f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)，可得f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，

∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.

8.已知函数f(x)＝＋a在(0，＋∞)上的最小值为2e，则实数a的值为________.

答案　e

解析　f′(x)＝，当x>0时，令f′(x)>0，解得x>1，令f′(x)<0，解得0<x<1，故f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(1)＝e＋a＝2e，解得a＝e.

9.若函数f(x)＝x2ex－a恰有三个零点，则实数a的取值范围是________.

答案　

解析　易知f(x)的定义域为R，f′(x)＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2)，x∈R.

令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝－2，

分析易知f(x)在(－2，0)上单调递减，在(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递增，

所以0和－2是函数f(x)的极值点，函数的极小值为f(0)＝－a，极大值为f(－2)＝4e－2－a＝－a.

函数f(x)＝x2ex－a恰有三个零点，

则

解得0<a<，

故实数a的取值范围是.

10.已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数.

(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；

(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值.

解　(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，

当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，f′(x)＝－1＋＝，

令f′(x)＝0，得x＝1.

当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0.

∴f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数.

∴f(x)max＝f(1)＝－1.

∴当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.

(2)f′(x)＝a＋，x∈(0，e]，∈.

①若a≥－，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上是增函数，

∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不合题意.

②若a<－，令f′(x)>0得a＋>0，结合x∈(0，e]，解得0<x<－；

令f′(x)<0得a＋<0，结合x∈(0，e]，解得－<x≤e.

从而f(x)在上为增函数，

在上为减函数，

∴f(x)max＝f＝－1＋ln.

令－1＋ln＝－3，得ln＝－2，

即a＝－e2.

∵－e2<－，∴a＝－e2为所求.

故实数a的值为－e2.