培优课　活用换底，简化运算

换底公式是对数运算、证明中重要的公式，其作用是将不同底数的对数式转化成同底的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算.要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.

类型一　换底公式的正用

例1 (1)log425·log516＝________.

(2)已知log152＝a，3b＝5，用含a，b的式子表示log12518＝____________.

答案　(1)4　(2)

解析　(1)由换底公式可得，

log425·log516＝·＝·＝4.

(2)∵3b＝5，∴b＝log35，∴＝log53，

又a＝log152＝＝，

∴log52＝a(1＋log53)＝a＋，

则log12518＝＝

＝＝

＝.

类型二　换底公式的逆用

例2 计算.

解　法一　原式＝＝－.

法二　原式＝·

＝log·log427＝log3－12·log2233

＝－log32·log23＝－.

类型三　换底公式的基本变形一

　logab＝(a>0，a≠1，b>0，b≠1).

例3 已知2a＝3b＝6，求＋的值.

解　∵2a＝6，∴a＝log26，＝log62.

∵3b＝6，∴b＝log36，＝log63.

∴＋＝log62＋log63＝log66＝1.

类型四　换底公式的基本变形二

loganbm＝logab(a>0，a≠1，b>0，m∈R，n≠0).

例4 已知log1627＝a，则log916＝________.

答案　

解析　法一　∵log1627＝＝a，∴＝.

log916＝＝2＝2×＝.

法二　∵log1627＝log2433＝log23＝a，

∴log23＝，∴log32＝，

∴log916＝log3224＝2log32＝2×＝.

类型五　解对数方程

例5 若logab·logbc·logc3＝2，则a＝________.

答案　

解析　由logab·logbc·logc3＝2，

得··＝2，

∴lg 3＝2lg a＝lg a2，

∴a2＝3，又a＞0，∴a＝.

类型六　证明对数恒等式

例6 证明：(ab)lg a＋lg b＝alg a·blg b·a2lg b.

证明　令(ab)lg a＋lg b＝M，

两边取以10为底的对数，

得lg(ab)lg a＋lg b＝lg M，

即lg M＝(lg a＋lg b)(lg a＋lg b)

＝(lg a＋lg b)2.

令alg a·blg b·a2lg b＝N，两边取以10为底的对数，

得(lg a)2＋(lg b)2＋2lg alg b＝lg N，

即lg N＝(lg a＋lg b)2.

∴M＝N，

∴(ab)lg a＋lg b＝alg a·blg b·a2lg b..