人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）评课课件ppt

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第四章 指数函数与对数函数
4.4.3　不同函数增长的差异
课标要求
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要工具.2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.3.比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”等术语的现实含义.
素养要求
通过本节内容的学习，使学生体会常见函数的变化异同，提升学生数学抽象、数学建模等素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、一次函数与指数函数增长的差异1.问题　在同一直角坐标系中画出函数y＝2x，y＝2x的图象，观察图象思考下列问题： (1)这两个函数在区间(0，＋∞)内的单调性是怎样的？ 提示　都是单调递增函数. (2)当x趋于无穷大时，在这两个函数中，哪一个函数的增长速度快？哪一个慢？ 提示　函数y＝2x增长速度快，y＝2x增长速度慢.
2.填空　一般地，指数函数y＝ax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)的增长速度不同，即使k的值远大于a的值，y＝ax(a>1)的增长速度最终会大大______y＝kx(k>0)的增长速度.
超过
二、一次函数与对数函数增长的差异1.问题　在同一直角坐标系中画出函数y＝2x，y＝log2x的图象，观察图象思考下列问题： (1)这两个函数在区间(0，＋∞)内的单调性是怎样的？ 提示　均是单调递增函数. (2)当x趋于无穷大时，在这两个函数中，哪一个函数的增长速度快？哪一个慢？ 提示　函数y＝2x增长速度快 ，y＝log2x增长速度慢.
2.填空　一般地，虽然对数函数y＝logax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间(0，＋∞)内都单调递增，但它们的增长速度______.随着x的增大，一次函数y＝kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数y＝logax(a>1)的增长速度__________.不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，恒有__________________.
不同
越来越慢
logax3.做一做　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　)
C
D
(2)某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用(　　)A.一次函数 B.二次函数C.指数型函数 D.对数型函数解析　对数函数的增长速度是先快后慢，故D符合题意.
√
4.思考辨析　正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.
√
×
×
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
例1(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　) A.y＝2 022x B.y＝x2 022 C.y＝log2 022x D.y＝2 022x 解析　比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快.
A
题型一　几类函数模型的增长差异
(2)三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：
C
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是(　　)A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3 C.y3，y2，y1 D.y3，y1，y2解析　由指数函数、对数函数、幂函数的增长速度比较，指数函数增长最快，对数函数增长最慢，由题中表格可知，y1是幂函数，y2是指数函数，y3是对数函数.
常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.(2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大 ，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧加快，形象地称为“指数爆炸”.(3)对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，增长速度平缓.
训练1 (多选)下列函数中，在(0，＋∞)内增长速度越来越快的是(　　) A.y＝6x B.y＝log6x C.y＝x2 D.y＝6x 解析　D中一次函数的增长速度不变；A，C中函数的增长速度越来越快；B中对数函数的增长速度越来越慢，不符合题意.
AC
例2 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1题型二　三类函数增长速度的比较
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；解　(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 022)，g(2 022)的大小.解　因为f(1)>g(1)，f(2)g(10)，所以1x2，从图象上可以看出，当x1x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 022)>g(2 022).又因为g(2 022)>g(6)，所以f(2 022)>g(2 022)>g(6)>f(6).
迁移 在例2中，若将“函数f(x)＝2x”改为“f(x)＝3x”，又如何求解第(1)问呢？ 解　由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知：C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝3x.
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数.
训练2 已知函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示. (1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数； (2)比较这两个函数的增长差异(以两图象的交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较).解　(1)由题图知，C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x).
题型三　函数模型的选择
例3 在2022年年初公告：公司计划2022年的生产目标为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如表所示：
如果我们分别将2019，2020，2021，2022定义为第一、二、三、四年.现在有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系？
解　建立年产量y与年份x的函数，可知函数图象必过点(1，8)，(2，18)，(3，30).(1)构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，与计划误差为1万辆.
(2)构造指数型函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，
由(1)(2)可得，二次函数模型f(x)＝x2＋7x能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系.
1.不同函数模型的选取标准(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律.2.建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能.因此需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题.
训练3 某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y随生源利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？ 解　作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(图略). 观察图象可知，在区间[5，100]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求.
课堂小结
1.三种常见函数模型的增长差异
2.几种函数模型的选取 (1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型. (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型. (3)当要求增长速度比较均匀，常常选用一次函数模型.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.下列函数中随x的增大而增长速度最快的是(　　)
A
解析　指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且a值越大，增长速度越快，应选A.
2.在某试验中，测得变量x和变量y之间的对应数据如下表：
D
则下列函数中，最能反映变量x和y之间的变化关系的是(　　)A.y＝2x B.y＝x2－1C.y＝2x－2 D.y＝log2x解析　将x＝0.50，y＝－1.01代入计算，可以排除A；将x＝2.01，y＝0.98代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意.
3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　)
D
解析　设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的图象大致为D中图象.
A.f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快B.f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢C.f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢D.f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快
C
解析　在平面直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象如图所示，
由图象可判断出衰减情况为f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢.
5.y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.y2>y3>y1 解析　由题意可知，三个函数在区间(2，4)上都是单调递增的，所以4y1>y3.
B
6.函数y＝x2与函数y＝ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的是________. 解析　作出y＝x2与y＝ln x的图象，通过比较图象可得.
y＝x2
7.某人投资x元，获利y元，有以下三种方案.甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应选择的方案分别是________________. 解析　将投资数分别代入甲、乙、丙的解析式，计算比较y值的大小可求得结果.
乙，甲，丙
8.某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示.
②③
以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变.其中说法正确的序号是________.解析　由图可知，前三年产量增长的速度越来越慢，故①错误，②正确；第三年后这种产品的总产量保持不变，即第三年后停产，故④错误，③正确.
9.每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种方案如下：方案一：每年植树1万平方米；方案二：每年树木面积比上一年增加9%.哪个方案较好？解　方案一：5年后树木面积为10＋1×5＝15(万平方米).方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米)，因为15.386>15，所以方案二较好.
10.某公司对营销人员有如下规定： ①年销售额x(万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x(万元)在[8，64]内时，奖金为y(万元)，且y＝logax，y∈[3，6]，a>0且a≠1，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额x(万元)超过64万元，按年销售额的10%发奖金.(1)求y关于x的函数解析式；解　由题意知y＝logax是增函数，∴a>1，又当x∈[8，64]，y∈[3，6]，
(2)若某营销人员争取年奖金y∈[4，10](万元)，求年销售额x所在的范围.
解得16≤x≤100，∴年奖金y∈[4，10]时，年销售额x的取值范围为[16，100].
B
解析　在选项B中，y＝lg x＋1在区间[4，10]上是单调递增函数，当x＝10时，ymax＝2.
12.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________. ①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50. 解析　由于指数型函数的底数大于1，其增长速度随着时间的推移是越来越快，所以y＝10×1.05x是更为有前途的生意.
①
13.我国的烟花名目繁多，花色品种繁杂.其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂，通过研究，发现该型烟花爆裂时距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)存在函数关系，并得到相关数据如下表：
(1)根据上表数据，从下列函数中，选取一个函数描述该型烟花爆裂时距地面的高度h与时间t的变化关系：y1＝kt＋b，y2＝at2＋bt＋c，y3＝abt，确定此函数解析式，并简单说明理由；
解　由表中数据分析可知，烟花距地面的高度随时间的变化呈先上升再下降的趋势，则在给定的三类函数中，只有y2可能满足，故选取该函数.设h(t)＝y2＝at2＋bt＋c，
∴h(t)＝－4t2＋20t＋1(t≥0).
(2)利用你选取的函数，判断烟花爆裂的最佳时刻，并求出此时烟花距地面的高度.
∴当烟花冲出后2.5秒时是爆裂的最佳时刻，此时烟花距地面的高度为26米.
14.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1).有以下结论：①当x>1时，甲走在最前面；②当x>1时，乙走在最前面；③当01时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.其中，正确结论的序号为________.
③④⑤
解析　四个函数的大致图象如图所示，根据图象易知，③④⑤正确.