2021-2022学年内蒙古呼伦贝尔市满洲里市远方中学高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

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2021-2022学年内蒙古呼伦贝尔市满洲里市远方中学高二（下）期末数学试卷（文科）

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 设命题：，，则为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

2. 若抛物线的焦点坐标为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列求导运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 函数的单调递减区间为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 复数的共轭复数是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知复数，则正确的是(    )

A. 的实部为 B. 在复平面内对应的点位于第二象限
C. 的虚部为 D. 的共轭复数为

7. 若复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走．遇店添一倍，逢友饮一斗．”基于此情景设计了如图所示的程序框图，若输入，输出，则判断框中可以填(    )

A.  B.  C.  D.

9. 在极坐标系下，，两点间的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 若曲线的极坐标方程为，则它的直角坐标方程为(    )

A.  B.
C.  D.

11. 已知点的极坐标为，则点的直角坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 直线过抛物线的焦点，且平分圆，则该直线的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13. 若复数的实部为，虚部与的虚部相等，则复数______．
14. 椭圆的两焦点为，，为上的一点，则______．
15. 若，则______．
16. 若复数满足，则的虚部为______．

三、解答题（本大题共6小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    求下列函数的导数：
    ；
    ；
    ；
    ；
     
18. 本小题分
    求下列双曲线的实轴和虚轴的长、离心率、焦点和顶点坐标、渐近线方程：
    ；
    ．
19. 本小题分
    已知函数．
    求函数的单调递减区间；
    求函数的极值．
20. 本小题分
    为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，营造党的二十大胜利召开的良好社会氛围，某校开展了党史知识答题活动．为调查学生的成绩是否为高分与性别的关联性，随机抽取了该校名学生，他们的成绩统计如下表．已知满分分，分及以上称为“及格”，分及以上称为“高分”，分及以上称为“优秀”．

Ⅰ完成如下列联表，并判断是否有的把握认为“学生成绩是否为高分与性别有关”；

Ⅱ从样本中成绩优秀的学生中随机抽取人，求抽到一名男生和一名女生的概率．

21. 本小题分
    在直角坐标系中，以轴非负半轴为极轴，以坐标原点为极点建立极坐标系，曲线的极坐标方程为为曲线上的点．
    求的值，并求曲线的直角坐标方程；
    ，是曲线上的两个动点，且，求面积的最大值．
22. 本小题分
    抛物线的顶点在原点，它的准线过椭圆的一个焦点且垂直于椭圆的长轴，又抛物线与椭圆的一个交点是，求抛物线与椭圆的标准方程．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查存在量词命题与全称量词命题的否定关系，属于基础题．
直接利用存在量词命题的否定是全称量词命题，写出结果即可．

【解答】

解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题：，，则为：，．
故选C．

2.【答案】 

【解析】解：抛物线的焦点坐标为，
，
．
故选：．
由抛物线的焦点坐标为，可得，即可得出结论．
本题考查抛物线的简单性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，，，
故选：
根据常见函数的导数公式分别进行判断即可．
本题主要考查导数的基本运算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，比较基础．
 

4.【答案】 

【解析】解：函数，，
令得：，
当时，，递减，
故减区间为．
故选：．
求导，利用导函数的正负判断函数的单调区间．
本题考查利用导函数判断函数的单调区间，属于常规题型，应熟练掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
则复数的共轭复数是．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
的实部为，虚部为，AC错误，
对应的点为，位于第四象限，B错误，
的共轭复数，D正确．
故选：．
根据复数除法运算可求得，由复数实部和虚部、共轭复数定义和复数对应点的坐标，依次判断各个选项即可．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的性质，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
的共轭复数为．
故选：．
根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：输入，，，，输出，循环继续，
，，，输出，循环继续，
，，，输出，循环继续，
，，，输出，循环继续，
，，，输出，循环结束，
故当时，跳出循环，
故判断框可以填．
故选：．
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：在直角坐标系下，极坐标系中的点，的直角坐标为，，
，
故选：．
把点的极坐标转化为直角坐标，再利用两点间的距离公式，计算求得结果．
本题主要考查点的极坐标和直角坐标的互化，两点间的距离公式，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：曲线的极坐标方程为，根据转换为直角坐标方程为．
故选：．
直接利用转换关系，把极坐标方程转换为直角坐标方程．
本题考查的知识要点：直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意，点的极坐标为，
则有，，
故其直角坐标为；
故选：．
根据题意，由极坐标和直角坐标的关系，分析可得答案．
本题考查极坐标与直角坐标的互化，涉及极坐标的定义，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线的焦点为，由于直线平分圆，故直线经过圆心，
所以可得直线经过点和，故斜率，
由斜截式可得方程为：．
故选：．
根据题意可知直线经过抛物线的焦点和圆的圆心，由两点坐标即可求解直线方程．
本题考查了抛物线的性质，直线与圆的位置关系的应用，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，其虚部为，
复数的实部为，虚部与的虚部相等，
复数，
故答案为：．
利用复数的运算法则、复数相等即可得出结论．
本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：椭圆，可得，
椭圆的两焦点为，，为上的一点，
则．
故答案为：．
利用椭圆方程求解，结合椭圆定义求解即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故答案为：．
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
的虚部为．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．
 

17.【答案】解：因为，则；
因为，则；
因为，则；
因为，则；
因为，则． 

【解析】由常见函数的求导公式以及导数的四则运算公式依次求解即可．
本题考查了导数的运算，解题的关键是掌握常见函数的求导公式以及导数的四则运算公式，考查了化简运算能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：由，可得，
，，，即，
双曲线的实轴长为，虚轴长为，离心率为，
焦点为，顶点坐标为，渐近线方程为；
由，可得，
，，，即，
双曲线的实轴长为，虚轴长为，离心率为，
焦点为，顶点坐标为，，渐近线方程为． 

【解析】利用双曲线的性质即可求解．
本题考查由双曲线的方程求双曲线的实轴和虚轴的长、离心率、焦点和顶点坐标、渐近线方程，属基础题．
 

19.【答案】解：由，得，
令，解得，
函数的单调递减区间是；
令，得，
故在单调递减，在单调递增，
在处取得极小值，极小值为，
的极小值为，无极大值． 

【解析】求出原函数的导函数，由导函数小于求出单调递减区间；求出函数的递增区间，结合第一问求出极小值，由单调性可知无极大值．
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算求解能力，是中档题．
 

20.【答案】解：Ⅰ列联表如下：

则，
故没有的把握认为“学生成绩是否为高分与性别有关”；
Ⅱ记成绩优秀的两名男生为，，四名女生为，，，，则随机抽取人的基本事件为：
，，，，，，，，，，，，，，共个，
其中抽到一名男生和一名女生的基本事件有个，
则抽到一名男生和一名女生的概率为． 

【解析】Ⅰ先完善列联表，计算，和临界值比较，作出判断即可；
Ⅱ先列举出随机抽取人的基本事件，再找出抽到一名男生和一名女生的基本事件，计算概率即可．
本题考查了独立性检验和古典概型的概率计算，属于中档题．
 

21.【答案】解：曲线的极坐标方程为为曲线上的点．
将代入，得．
曲线的极坐标方程变形为，，，，
曲线的直角坐标方程为．
因为，是曲线上的两个动点，且，所以不妨设．
因为


．
所以当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为． 

【解析】将代入，求解利用极坐标与直角坐标的互化，求解曲线的直角坐标方程．
设求解三角形的面积的表达式，利用两角和与差的三角函数化简求解最大值即可．
本题考查极坐标与直角坐标的互化，三角函数的最值的求法，是中档题．
 

22.【答案】解：由题意可设抛物线方程为
点在抛物线上，
抛物线的方程为
，，

椭圆的方程为 

【解析】首先根据抛物线的准线过双曲线的焦点，可得，再利用抛物线与椭圆同过交点，求出、的值，进而结合椭圆的性质，求解即可．
本题考查了抛物线和椭圆的标准方程的求法：待定系数法，熟练掌握圆锥曲线的性质是解题的关键，同时考查了学生的基本运算能力与运算技巧．