【最新版】高中数学高三培优小题练第19练　函数的构造问题

第19练　函数的构造问题

考点一　由条件构造具体函数

1．下列三个数：a＝ln －，b＝ln π－π，c＝ln 3－3，大小顺序正确的是(　　)

A．a>c>b   B．a>b>c

C．b>c>a   D．b>a>c

答案　A

解析　构造函数f(x)＝ln x－x，

因为f′(x)＝－1<0对一切x∈(1，＋∞)恒成立，

所以函数f(x)＝ln x－x在x∈(1，＋∞)上单调递减，从而有f >f(3)>f(π)，

即a>c>b.

2．已知x，y∈R，且2x＋3y>2－y＋3－x，则下列各式正确的是(　　)

A．x－y>0   B．x＋y<0

C．x－y<0   D．x＋y>0

答案　D

解析　因为2x＋3y>2－y＋3－x，所以2x－3－x>2－y－3y.令f(x)＝2x－3－x，因为f(x)＝2x－3－x＝2x－为增函数，f(x)>f(－y)，所以x>－y，即x＋y>0.

3．(2022·宝鸡模拟)若ex＋x≥ax＋ln ax(a>0，x>0)，则a的最大值为(　　)

A.  B.  C．e  D．2e

答案　C

解析　由题设，ex＋x≥eln ax＋ln ax，

令g(x)＝ex＋x，则g′(x)＝ex＋1>0，

即g(x)在(0，＋∞)上单调递增，

而g(x)≥g(ln ax)，

∴x≥ln ax＝ln a＋ln x，

要使ex＋x≥ax＋ln ax，只需ln a≤x－ln x恒成立，

令f(x)＝x－ln x，则f′(x)＝1－，

当0<x<1时，f′(x)<0，即f(x)单调递减；

当x>1时，f′(x)>0，即f(x)单调递增，

∴f(x)≥f(1)＝1，故只需ln a≤1，

即0<a≤e.

4．已知函数f(x)＝ln x－2x，当x1>x2>1时，恒有f(x1)－f(x2)<m，则实数m的取值范围是________．

答案　(－∞，1]

解析　∵f(x1)－f(x2)<m，

即f(x1)－<f(x2)－，

令φ(x)＝f(x)－，

∴当x1>x2>1时，φ(x1)<φ(x2)，

∴φ(x)在(1，＋∞)上单调递减，

∴当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＝－2＋≤0恒成立，

即m≤2x2－x.

∵y＝2x2－x在(1，＋∞)上单调递增，

∴2x2－x>2×12－1＝1，

∴m≤1.

5．设一条平行于x轴的直线与曲线y＝ex，y＝相交于P，Q两点，则|PQ|的最小值为________．

答案　＋ln 2

解析　依题意设P(x1，t)，Q(x2，t)(x1>0，x2>0，t>0)，

∵|PQ|＝x2－x1，

又t＝，t＝，

∴x1＝ln t，x2＝t2，

∴|PQ|＝t2－ln t(t>0)，

令φ(t)＝t2－ln t(t>0)，

φ′(t)＝2t－＝，

令φ′(t)>0⇒t>，

φ′(t)<0⇒0<t<，

∴φ(t)在上单调递减，在上单调递增，

∴φ(t)min＝φ＝2－ln ＝＋ln 2.

考点二　由f′的关系式构造抽象函数

6．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f′(x)<2，f(2)＝8，则不等式f(x)<2x＋4的解集为(　　)

A．(－∞，2)   B．(0,2)

C．(2，＋∞)   D．(－2,2)

答案　C

解析　设φ(x)＝f(x)－2x，

∴φ′(x)＝f′(x)－2<0，

∴φ(x)在R上单调递减，

又φ(2)＝f(2)－4＝4，

∴不等式f(x)<2x＋4可转化为f(x)－2x<4，

即φ(x)<φ(2)，

∴x>2.

7．f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，且g(3)＝0，则不等式f(x)g(x)>0的解集是(　　)

A．(－3,0)∪(3，＋∞)

B．(－3,0)∪(0,3)

C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)

D．(－∞，－3)∪(0,3)

答案　D

解析　令h(x)＝f(x)g(x)，

∵f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，

则h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，因此函数h(x)在R上是奇函数．

∵当x<0时，h′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，

∴h(x)在(－∞，0)上单调递减．

∵g(3)＝g(－3)＝0，

∴h(3)＝f(3)g(3)＝0，

进而h(－3)＝f(－3)g(－3)＝0，

且h(0)＝f(0)g(0)＝0，

要使h(x)＝f(x)g(x)>0，

则0<x<3或x<－3.

8．已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，当x<0时，xf′－f<0，若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．b<a<c   B．a<c<b

C．a<b<c   D．c<a<b

答案　D

解析　令g(x)＝，由偶函数f知，

当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，g(－x)＝－g(x)，

故g(x)＝为奇函数，

当x<0时，g′(x)＝<0，

则g(x)在(－∞，0)上单调递减，

由奇函数性质知，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，

而ln 2<1<e<3，

所以g(3)<g(e)<g(ln 2)，

即c<a<b.

9．(2022·郑州模拟)已知函数f(x)是定义在R上的函数，且满足f′(x)＋f(x)>0，其中f′(x)为f(x)的导函数，设a＝f(0)，b＝2f(ln 2)，c＝ef(1)，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．c>b>a   B．a>b>c

C．c>a>b   D．b>c>a

答案　A

解析　令g(x)＝exf(x)，

则g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，

∴g(x)在R上单调递增，

又0<ln 2<1，

∴g<g<g，

即f<2f<ef，即c>b>a.

10．已知定义在上的函数f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，且恒有cos x·f′(x)＋sin x·f(x)<0成立，则(　　)

A．f >f    B.f >f 

C．f >f    D.f >f 

答案　C

解析　根据题意，令g(x)＝，x∈，则其导函数g′(x)＝

，

又由x∈，恒有cos x·f′(x)＋sin x·f(x)<0，

则有g′(x)<0，

即函数g(x)在上为减函数，又由<，则有g>g，

即>，

分析可得f >f ；

又由<，则有g>g，

即>，

分析可得f >f .

11．(2022·焦作模拟)函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为(　　)

A.

B.

C.或

D.或

答案　A

解析　构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex，

因为g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex

＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex>ex－ex＝0，

所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数．

又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，

所以原不等式转化为exf(x)－ex>1，

即g(x)>g(0)，所以x>0.

所以原不等式的解集为.

12．(2022·济南模拟)已知a>b>1，e为自然对数的底数，则下列不等式一定不成立的是(　　)

A．aea>beb   B．aln b>bln a

C．aln a>bln b   D．bea>aeb

答案　B

解析　设f(x)＝xex，x>1，则f′(x)＝(x＋1)ex>0在(1，＋∞)上恒成立，故函数f(x)单调递增，

故f(a)>f(b)，即aea>beb，A正确；

设g(x)＝，x>1，则g′(x)＝，故函数g(x)在(1，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，故当1<b<a<e时，g(a)>g(b)，即>，故aln b<bln a，B错误；

设h(x)＝xln x，x>1，则h′(x)＝ln x＋1>0在(1，＋∞)上恒成立，故函数h(x)单调递增，h(a)>h(b)，即aln a>bln b，C正确；

设k(x)＝，x>1，则k′(x)＝>0在(1，＋∞)上恒成立，故函数k(x)单调递增，

故k(a)>k(b)，即>，故bea>aeb，D正确．

13．(2022·广州模拟)已知实数a，b，c∈(0，e)，且2a＝a2,3b＝b3,5c＝c5，则(　　)

A．c<a<b

B．a<c<b

C．b<c<a

D．b<a<c

答案　A

解析　由2a＝a2,3b＝b3,5c＝c5，得＝，＝，＝，

又2ln 5＝ln 52<ln 25＝5ln 2，即<，

同理3ln 2＝ln 23<ln 32＝2ln 3，即<，

所以<<，即<<，

设函数f(x)＝，x∈(0，e)，f′(x)＝>0在(0，e)上恒成立，故函数f(x)在(0，e)上单调递增，所以c<a<b.

14．设函数f(x)＝ln x＋，m∈R，若任意两个不相等正数a，b，b>a>0，都有<1恒成立，则m的取值范围是________．

答案　

解析　对任意b>a>0，<1恒成立，

等价于f(b)－b<f(a)－a恒成立．

设h(x)＝f(x)－x＝ln x＋－x(x>0)，

则b>a>0，h(b)<h(a)．

∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减，

∴h′(x)＝－－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，

∴m≥－x2＋x＝－2＋(x>0)，

∴m≥.

对于m＝，h′(x)＝0仅在x＝时成立．

∴m的取值范围是.