【最新版】高中数学高三培优小题练第57练　空间点、直线、平面之间的位置关系

第57练　空间点、直线、平面之间的位置关系

考点一　平面基本性质的应用

1．能确定一个平面的条件是(　　)

A．空间三个点   B．一个点和一条直线

C．无数个点   D．两条相交直线

答案　D

解析　A项，三个点可能共线，B项，点可能在直线上，C项，无数个点也可能在同一条直线上．

2．设α，β表示平面，l表示直线，A，B，C表示三个不同的点，给出下列命题：

①若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂α；

②若α，β不重合且A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB；

③若l⊄α，A∈l，则A∉α；

④若A，B，C∈α，A，B，C∈β，则α与β重合．

则上述命题中，正确的个数是(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

答案　B

解析　若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，根据公理1，得l⊂α，①正确；

若α，β不重合且A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则直线AB既在平面α内，又在平面β内，所以α∩β＝AB，②正确；

若l⊄α，则直线l可能与平面α相交于点A，所以A∈l时， A∈α，③不正确；

若A，B，C∈α，A，B，C∈β，当A，B，C共线时，α与β可能不重合，④不正确；

3．如图所示，平面α∩平面β＝l, A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是(　　)

A．直线AC   B．直线AB

C．直线CD   D．直线BC

答案　C

解析　由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，

所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，

所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.

4．(2022·南昌模拟)如图，E，F，G，H分别是菱形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且BE＝2AE，DH＝2HA，CF＝2FB，CG＝2GD，现将△ABD沿BD折起，得到空间四边形ABCD，在折起过程中，下列说法正确的是(　　)

A．直线EF，HG有可能平行

B．直线EF，HG一定异面

C．直线EF，HG一定相交，且交点一定在直线AC上

D．直线EF，HG一定相交，但交点不一定在直线AC上

答案　C

解析　∵BE＝2AE，DH＝2HA，

∴＝＝，则EH∥BD，且EH＝BD，

又CF＝2FB，CG＝2GD，

∴＝＝2，则FG∥BD，且FG＝BD，

∴EH∥FG，且EH≠FG，

∴四边形EFGH为平面四边形，故直线EF，HG一定共面，故B错误；

若直线EF与HG平行，则四边形EFGH为平行四边形，可得EH＝GF，与EH≠FG矛盾，故A错误；

由EH∥FG，且EH≠FG，EH＝BD，FG＝BD，可得直线EF，HG一定相交，设交点为O，则O∈EF，又EF⊂平面ABC，可得O∈平面ABC，同理，O∈平面ACD，

而平面ABC∩平面ACD＝AC，

∴O∈AC，即直线EF，HG一定相交，且交点一定在直线AC上，故C正确，D错误．

考点二　空间位置关系的判断

5．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则(　　)

A．a∥c

B．a，c是异面直线

C．a，c相交

D．a，c平行或相交或异面

答案　D

解析　若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c可以平行，可以相交，可以异面．

6．已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(　　)

A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3

B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面

D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面

答案　B

解析　在空间中，垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，故A错误；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，故B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错误；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错误．

7．下列关于点、线、面位置关系的命题中正确的是(　　)

A．若两个平面有三个公共点，则它们一定重合

B．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内

C．两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b也是异面直线

D．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则A，M，O三点共线，且A，O，C，M四点共面

答案　D

解析　对于选项A，如图A，D，E三个公共点在一条直线上，平面ABCD与平面ADD1A1相交不重合，故选项A不正确；

对于选项B，正方体中从点A出发的三条棱AA1，AB，AD不在同一个平面内，故选项B不正确；对于选项C，若a∥b，则a，b确定一个平面，且a，b与直线c，d的交点都在此平面内，则c，d共面，与c，d是异面直线矛盾，故直线a，b可能是异面直线，也可能是相交直线．故选项C不正确；平面ACC1A1∩平面AB1D1＝AO，因为直线A1C交平面AB1D1于点M，所以M∈AO，即A，M，O三点共线，因为A，M，O三点共线，直线和直线外一点可以确定一个平面，所以A，O，C，M四点共面，故选项D正确．

考点三　异面直线所成的角

8.如图，在直棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝AC＝CB，则异面直线BC1与A1C所成的角为(　　)

A．60°   B．75°

C．45°   D．90°

答案　A

解析　如图，延长AC到E，使得A1C∥C1E，

易知∠BC1E即为所求异面直线BC1与A1C所成的角，

不妨设A1A＝AC＝1，又∠BCE＝90°，可证△BC1E为等边三角形，

于是所求异面直线所成的角为60°.

9．如图是棱长为a的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，直线EF与MN所成角的余弦值为(　　)

A．0  B.  C.  D.

答案　B

解析　作出正方体的直观图，连接BF，BE，易证△BEF是正三角形，而MN∥BF，故直线EF与MN所成角为，则直线EF与MN所成角的余弦值为.

10．已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝2，PA＝2，E为BC的中点，则异面直线AE与PD所成的角为(　　)

A.   B.

C.   D．π

答案　C

解析　如图，分别取AD，PA的中点F，G，连接CF，AC，FG，CG，

∵四边形ABCD为矩形，E，F分别为BC，AD的中点，

∴AF綊EC，

∴四边形AFCE为平行四边形，

∴CF∥AE.

∵F，G分别为AD，PA的中点，

∴FG∥PD，

∴异面直线PD与AE所成的角即为CF与FG所成的角．

∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴PA⊥AC，

∴CG＝＝＝，

又CF＝＝，FG＝＝，

∴cos∠CFG＝＝＝－，

∴∠CFG＝，

∴CF与FG所成的角为π－＝，即异面直线PD与AE所成的角为.

11．(2022·海口模拟)直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长均相等，∠ADC＝120°，M是BB1上一动点，当A1M＋MC取得最小值时，直线A1M与B1C所成角的余弦值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　如图，设直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，

当A1M＋MC取得最小值时，M为BB1的中点，则A1D∥B1C，则∠DA1M为直线A1M与B1C所成角(或其补角)，此时，A1D＝2，A1M＝，

∵∠ADC＝120°，

∴△ABD为等边三角形，得BD＝2，

∴DM＝，则△A1MD为等腰三角形，

可得cos∠DA1M＝＝.

12．下列说法中正确的个数是(　　)

①若三个平面两两相交有三条交线，则三条交线相互平行；②三个平面最多将空间分为8个部分；③一平面截一正方体，则截面不可能为五边形；④过空间任意一点有且只有一条直线与两条异面直线垂直．

A．1  B．2  C．3  D．4

答案　B

解析　①若三个平面两两相交有三条交线，则三条交线相互平行或交于一点(如三棱锥的三个侧面)，故①错；

②一块豆腐切三刀，最多可切8块，因此，三个平面最多可将空间分为8个部分，故②正确；③过正方体的一个顶点，作如图所示截面，即可得出截面为五边形，故③错；④记直线a，b为空间中两条异面直线，则必存在直线c，使得c∥a且c与b相交，过直线b，c作平面α，若直线l⊥α，则l必分别垂直于直线 a，b，根据线面垂直的性质，过空间中任意一点，有且只有一条直线与平面垂直，因此过空间任意一点有且只有一条直线与两条异面直线垂直，故④正确．

13．已知E，F，G，H分别为四面体ABCD的棱AB，BC，DA，CD上的点，且AE＝EB，BF＝FC，CH＝2HD，AG＝2GD，则下列说法错误的是(　　)

A．AC∥平面EFH

B．EF∥GH

C．直线EG，FH，BD相交于同一点

D．BD∥平面EFG

答案　D

解析　∵AE＝EB，BF＝FC，

∴EF是△ABC的中位线，

∴EF∥AC，且EF＝AC，

∵EF⊂平面EFH，AC⊄平面EFH，

∴AC∥平面EFH，故A正确；

∵CH＝2HD，AG＝2GD，∴GH∥AC，且GH＝AC，

则EF∥GH，故B正确；

∵四边形EFHG是梯形，则直线FH，EG相交，设交点为M，

则M∈EG，M∈平面ABD，M∈FH，M∈平面BCD，

则M是平面ABD和平面BCD的公共点，则M∈BD，

即直线EG，FH，BD相交于同一点，故C正确；

∵AE＝EB，AG＝2GD，

∴直线BD与EG必相交，故D错误．

14．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．

答案　无数

解析　在EF上任意取一点M，如图，

直线A1D1与M确定一个平面，

这个平面与CD有且仅有1个交点N，

当M取不同的位置就确定不同的平面，

从而与CD有不同的交点N，

而直线MN与这3条异面直线都有交点．

故在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有无数条．