高考数学统考一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第5节离散型随机变量及其分布列学案

　离散型随机变量及其分布列

[考试要求]　1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.

2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．

1．随机变量的有关概念

(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．

(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．

2．离散型随机变量分布列的概念及性质

(1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：

此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．

(2)分布列的性质

①pi≥0，i＝1,2,3，…，n；

②pi＝1.

3．常见离散型随机变量的分布列

(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，则其分布列为，其中p＝P(X＝1)称为成功概率．

(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布．

1．随机变量的线性关系

若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量．

2．分布列性质的两个作用

(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1. (　　)

(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的． (　　)

(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，则它服从两点分布． (　　)

(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

二、教材习题衍生

1．设随机变量X的分布列如下：

则p为(　　)

A．    B．    C．    D．

C　[由分布列的性质知，＋＋＋＋p＝1，∴p＝1－＝.]

2．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于(　　)

A．    B．    C．    D．

D　[P(ξ≤1)＝1－P(ξ＝2)＝1－＝.]

3．有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是        ．

0,1,2,3　[因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X的可能取值为0,1,2,3.]

4．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的分布列为        ．

[因为X的所有可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝＝

0.1，P(X＝1)＝＝0.6，P(X＝2)＝＝0.3，所以X的分布列为

　]

考点一　离散型随机变量的分布列的性质       

1．随机变量X的分布列如下：

其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝        ，公差d的取值范围是        ．

　　[因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以b＝，所以P(|X|＝1)＝a＋c＝.又a＝－d，c＝＋d，根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，所以－≤d≤.]

2．设随机变量X的分布列为P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．则：(1)a＝        ；

(2)P＝        ；

(3)P＝        .

(1)　(2)　(3)　[(1)由分布列的性质，得P＋P＋P＋P＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，

所以a＝.

(2)P＝P＋P＋P(X＝1)＝3×＋4×＋5×＝.

(3)P＝P＋P＋P＝＋＋＝＝.]

3．设离散型随机变量X的分布列为

(1)求随机变量Y＝2X＋1的分布列；

(2)求随机变量η＝|X－1|的分布列；

(3)求随机变量ξ＝X2的分布列．

[解]　(1)由分布列的性质知，

0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.

首先列表为：

从而Y＝2X＋1的分布列为

(2)列表为

∴P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，

P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，

P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，

P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.

故η＝|X－1|的分布列为

(3)首先列表为

从而ξ＝X2的分布列为

 点评：由于分布列中每个概率值均为非负数，故在利用概率和为1求参数值时，务必要检验．

考点二　求离散型随机变量的分布列          

[典例1]　某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元．若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元．

(1)若该商场某周初购进20台空调器，求当周的利润(单位：元)关于当周需求量n(单位：台，n∈N)的函数解析式f (n)；

(2)该商场记录了去年夏天(共10周)的空调器周需求量n(单位：台，n∈N)，整理得下表．

以记录的每周需求量的频率作为每周需求量的概率，若商场某周初购进20台空调器，X表示当周的利润(单位：元)，求X的分布列．

[解]　(1)当n≥20且n∈N时，f (n)＝500×20＋200×(n－20)＝200n＋6 000，

当n≤19且n∈N时，f (n)＝500×n－100×(20－n)＝600n－2 000，

所以f (n)＝(n∈N)．

(2)由(1)得f (18)＝8 800，f (19)＝9 400，f (20)＝10 000，f (21)＝10 200，f (22)＝10 400，

所以当周的利润X的所有可能取值分别为8 800,9 400,10 000,10 200,10 400，

易知P(X＝8 800)＝0.1，P(X＝9 400)＝0.2，P(X＝10 000)＝0.3，P(X＝10 200)＝0.3，P(X＝10 400)＝0.1.

所以X的分布列为

点评：求离散型随机变量分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时要注意应用计数原理、古典概型等知识．

已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测结束．

(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．

[解]　(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A)＝＝.

(2)X的可能取值为200,300,400.

P(X＝200)＝＝，

P(X＝300)＝＝，

P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)

＝1－－＝＝.

故X的分布列为

考点三　超几何分布                         

[典例2](2020·西安模拟)现要调查某县城居民对某项政策的知晓率，专家在进行评估时，从该县城的10个乡镇中随机抽取居民进行调查，知晓率为90%及以上记为合格，否则记为不合格．已知该县城的10个乡镇中，有7个乡镇的居民的知晓率可达90%，其余的均在90%以下．

(1)现从这10个乡镇中随机抽取3个进行调查，求抽到的乡镇中恰有2个乡镇不合格的概率；

(2)若记从该县城随机抽取的3个乡镇中不合格的乡镇的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

[解]　(1)从这10个乡镇中随机抽取3个进行调查，基本事件总数为C＝120(个)．抽到的乡镇中恰有2个乡镇不合格的基本事件数为CC＝21(个)．那么从这10个乡镇中随机抽取3个进行调查，抽到的乡镇中恰有2个乡镇不合格的概率P＝＝.

(2)由题可知，ξ的可能取值为0,1,2,3，

则P(ξ＝0)＝＝＝，P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝.

所以ξ的分布列为

E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

点评：超几何分布描述的是不放回抽样问题，其实质是古典概型，主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型．

端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．

(1)求三种粽子各取到1个的概率；

(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列；

(3)设Y表示取到粽子的种类，求Y的分布列．

[解]　(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则

P(A)＝＝.

(2)X的所有可能值为0,1,2，且

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝.

综上知，X的分布列为

(3)由题意知Y的所有可能值为1,2,3，且

P(Y＝1)＝＝＝，

P(Y＝3)＝＝＝，

P(Y＝2)＝1－P(X＝1)－P(X＝3)＝1－－＝.

综上可知，Y的分布列为