2022年新高考数学二轮提升数列专题第19讲《数列的取整问题》（2份打包，解析版+原卷版）

第19讲 数列的取整问题

一、单选题

1．（2021·全国·高三专题练习）设正项数列的前n项和满足，记表示不超过x的最大整数，.若数列的前n项和为，则使得成立的n的最小值为（    ）

A．1179 B．1178

C．2019 D．2020

2．（2021·全国·高三专题练习）设[x]表示不超过x的最大整数，如[－3.14]＝－4，[3.14]＝3.已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，则＝（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．（2021·江西省吉水县第二中学高一期中）高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过x的最大整数. 如: 已知正项数列的前项和为，且满足，则（     ）

A．3 B．14 C．15 D．16

4．（2021·江西·南昌市八一中学高一月考）对于实数，表示不超过的最大整数．已知数列的通项公式，前项和为，则（    ）．

A．155 B．167 C．173 D．179

5．（2021·河南·高二月考（理））定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如，，，，当时，的值域为，记集合中元素的个数为，数列的前项和为，则（    ）

A． B．2 C． D．

6．（2021·四川射洪·模拟预测（文））定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，，.当时，的值域为.记集合中元素的个数为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

7．（2021·全国·高三月考（理））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数．在数列中，记为不超过的最大整数，则称数列为的取整数列，设数列满足，，记数列的前项和为，则数列的前项和为（    ）

A． B． C． D．

8．（2021·浙江省杭州第二中学模拟预测）定义表示不超过的最大整数，若数列的通项公式为，则满足等式（    ）

A．30 B．29 C．28 D．27

9．（2021·全国·高三专题练习（理））已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，.若表示不超过x的最大整数，，则数列的前2021项和（    ）

A．1010 B．1011 C．2021 D．2022

10．（2021·全国·高三专题练习（文））已知数列满足，，其中表示不超过实数的最大整数，则下列说法正确的是（    ）

A．存在，使得 B．是等差数列

C．的个位数是4 D．的个位数是3

11．（2021·青海西宁·一模（理））若是函数的极值点，数列满足，，设，记表示不超过的最大整数．设，若不等式，对恒成立，则实数的最大值为（    ）

A． B． C． D．

12．（2021·全国·高三专题练习（理））已知函数(，)，其中表示不超过的最大整数，如，，.定义是函数的值域中的元素个数，数列的前项和为，数列对均成立，则最小正整数的值为（    ）

A． B． C． D．

13．（2021·浙江·高三专题练习）如果，，，就称表示的整数部分，表示的小数部分.已知数列满足，，则等于（　　）

A． B． C． D．

二、多选题

14．（2021·重庆南开中学高三月考）已知数列满足，，其中表示不超过实数的最大整数，则下列说法正确的是（    ）

A．存在，使得 B．是等比数列

C．的个位数是5 D．的个位数是1

三、填空题

15．（2021·上海·华师大二附中高三月考）设数列满足，，，数列前n项和为，且（且），若表示不超过x的最大整数，数列的前n项和为，则_____________．

16．（2021·重庆·西南大学附中高三开学考试）设数列满足，，，数列前n项和为，且（且）．若表示不超过x的最大整数，，数列的前n项和为，则的值为___________．

17．（2021·江西省石城中学高一月考（文））已知正项数列的前项和为，且满足，则_______．（其中表少不超过的最大整数）．

18．（2021·江西省铜鼓中学高一月考（理））已知正项数列的前n项和为，且，则不超过的最大整数是_____________．

19．（2021·全国·高三专题练习（文））已知表示不超过的最大整数，例如：，在数列中，，记为数列的前项和，则 ___________.

20．（2021·四川·石室中学一模（文））已知数列的前项和为，点在上，表示不超过的最大整数，则_______________________．

21．（2021·全国全国·模拟预测）黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手.已知正项数列的前项和为，且满足，则______（其中表示不超过的最大整数）.

22．（2021·上海·位育中学三模）已知正项等比数列中，，，用表示实数的小数部分，如，，记，则数列的前15项的和为______.

四、双空题

23．（2021·北京师大附中高一月考）定义函数，其中表示不超过x的最大整数，例如：，， 当时，的值域为

（1）____________.

（2）集合中元素的个数为__________.

24．（2021·福建·三明一中模拟预测）黎曼猜想由数学家波恩哈德∙黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题．黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手．已知正项数列的前n项和为﹐且满足，则__________，__________．（其中表示不超过x的最大整数）

25．（2021·广东珠海·高三月考）定义函数，其中表示不超过x的最大整数，例如，，当时，的值域为，记集合中元素的个数为，则（1）_________；（2）_________．

五、解答题

26．（2021·河南·高三月考（文））已知公比大于的等比数列满足，，定义为不超过的最大整数，例如，，，，记在区间（）上值域包含的元素个数为.

（1）求数列和的通项公式；

（2）求数列的前项和.

27．（2021·福建·高三月考）等差数列中，，．

（1）求的通项公式；

（2） 设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如，．

28．（2021·福建·泉州五中高二期中）已知函数的最小值为0，其中.

（1）求的值

（2）若对任意的，有恒成立，求实数的最小值；

（3）记，为不超过的最大整数，求的值.

29．（2021·广东南海·高三开学考试）已知数列的前项和，令，其中表示不超过的最大整数，，.

（1）求；

（2）求；

（3）求数列的前项之和.

30．（2021·全国·高二课时练习）已知各项均为正数的无穷数列的前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）记表示不超过的最大整数，如，. 令，求数列的前项和.

31．（2021·浙江·模拟预测）已知数列满足，，数列满足，.

（1）数列，的通项公式；

（2）若，求使成立(表示不超过的最大整数)的最大整数的值.

32．（2021·全国·高三专题练习（理））高斯函数中用表示不超过的最大整数，对应的为的小数部分，已知数列的前项和为，数列满足．已知函数在上单调递减．

（1）若数列，其前项为，求．

（2）若数列（即为的小数部分），求的最大值．

33．（2021·广东汕头·三模）已知数列的前n项和为，数列是首项为，公差为的等差数列，若表示不超过x的最大整数，如，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前2020项的和.

34．（2021·全国·高三专题练习）已知各项均为正数的数列的前n项和为，，.

（1）求证；数列是等差数列，并求的通项公式；

（2）若表示不超过的最大整数，如，，求证：.

35．（2021·浙江·温岭中学高三月考）正项等差数列和等比数列{bn}满足.

（1）求数列，的通项公式；

（2）若数列，，求最大整数，使得.

36．（2021·全国·高三专题练习）在①；②；③是与的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.

问题：已知为公差不为零的等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为常数，，

（1）求数列的通项公式；

（2）令其中表示不超过的最大整数，求的值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

37．（2021·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比为，且，数列满足，

．

（1）求数列的通项公式．

（2）规定：表示不超过的最大整数，如，．若，，记 求的值，并指出相应的取值范围．