2022年中考数学真题分类汇编：17三角形解析版

这是一份2022年中考数学真题分类汇编：17三角形解析版，共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年中考数学真题分类汇编：17 三角形
一、单选题
1．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别过点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；②作直线PQ交AB于点D；③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M、连接AM、BM.若AB=22，则AM的长为（　　）
A．4 B．2 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：由作图可得PM垂直平分AB，AD=DM=12AB=2
则△ADM是等腰直角三角形
∴由勾股定理得：AM=2AD=2×2=2
故答案为：B.
【分析】由作图可得PM垂直平分AB，则AD=DM=12AB=2，推出△ADM是等腰直角三角形，然后结合勾股定理进行计算.
2．如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C=40°，则∠1的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：在Rt△CDE中，∠CDE=90°，∠DCE=40°，
则∠CED=90°−40°=50°，
∵l∥AB，
∴∠1=∠CED=50°.
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠CED=90°-∠C=50°，根据平行线的性质可得∠1=∠CED，据此解答.
3．如图，在△ABC中，AB=AC，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，画射线BP，交AC于点D，若AD=BD，则∠A的度数是（　　）
A．36° B．54° C．72° D．108°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】由作法得BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠BCD=12∠ABC
设∠ABD=∠BCD=12∠ABC=x ，
∴∠ABC=2x
∵AB=AC
∴∠ABC=∠C=2x
∵AD=BD
∴∠ABD=∠A=x
∵∠ABC+∠C+∠A=180°
∴2x+2x+x=180°，解得x=36°
∴∠A=36°
故答案为：A
【分析】由作法可知BD平分∠ABC，可得到∠ABD=∠BCD=12∠ABC，设∠ABD=x，可表示出∠ABC的度数，利用等边对等角可表示出∠C，∠ABD的度数；利用三角形的内角和定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到∠A的度数.
4．如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（　　）
A．23+2 B．5−33 C．3−3 D．3+1
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点A分别作AG⊥BC于点G，AH⊥DF于点H，
∵DF⊥BC，
∴∠GFH=∠AHF=∠AGF=90°，
∴四边形AGFH是矩形，
∴FH=AG，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，BC=AB=2，
∴∠BAG=30°，BG=1，
∴AG=AB2−BG2=3，
∴FH=3，
在正方形ABED中，AD=AB=2，∠BAD=90°，
∴∠DAH=∠BAG=30°，
∴DH=12AD=1，
∴DF=DH+FH=3+1.
故答案为：D

【分析】过点A分别作AG⊥BC于点G，AH⊥DF于点H，利用垂直的定义和矩形的性质可证得∠GFH=∠AHF=∠AGF，FH=AG，利用等边三角形的性质可证得∠BAC=60°，同时可求出AB的长；利用勾股定理求出AG的长，可得到FH的长；然后利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出DH的长，根据DF=DH+FH，代入计算求出DF的长.
5．如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1=140°，则∠2的度数是（　　）
A．80° B．100° C．120° D．140°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵∠1=140°，
∴∠AEF=∠1-∠A=80°，
∴∠BEF=180°-∠AEF=100°，
∵m∥n，
∴∠2=∠BEF=100°.
故答案为：B
【分析】利用等边三角形的性质可求出∠A的度数，再利用三角形的外角的性质可求出∠AEF的度数，及可求出∠BEF的度数；然后利用两直线平行，内错角相等，可求出∠2的度数.
6．如图，定直线MN∥PQ，点B、C分别为MN、PQ上的动点，且BC=12，BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ=60°.点A是MN上方一定点，点D是PQ下方一定点，且AE∥BC∥DF，AE=4，DF=8，AD=243，当线段BC在平移过程中，AB+CD的最小值为（　　）
A．2413 B．2415 C．1213 D．1215
【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示，过点F作FH∥CD交BC于H，连接EH，
∵BC∥DF，FH∥CD，
∴四边形CDFH是平行四边形，
∴CH=DF=8，CD=FH，
∴BH=4，
∴BH=AE=4，
又∵AE∥BC，
∴四边形ABHE是平行四边形，
∴AB=HE，
∵EH+FH≥EF，
∴当E、F、H三点共线时，EH+HF有最小值EF即AB+CD有最小值EF，
延长AE交PQ于G，过点E作ET⊥PQ于T，过点A作AL⊥PQ于L，过点D作DK⊥PQ于K，
∵MN∥PQ，BC∥AE，
∴四边形BEGC是平行四边形，∠EGT=∠BCQ=60°，
∴EG=BC=12，
∴GT=GE⋅cos∠EGT=6，ET=GE⋅sin∠EGT=63，
同理可求得GL=8，AL=83，KF=4，DK=43，
∴TL=2，
∵AL⊥PQ，DK⊥PQ，
∴AL∥DK，
∴△ALO∽△DKO，
∴ALDK=AODO=2，
∴AO=23AD=163，DO=13AD=83，
∴OL=AO2−AL2=24，OK=DO2−DK2=12，
∴TF=TL+OL+OK+KF=42，
∴EF=ET2+TF2=1213.
故答案为：C.
【分析】过点F作FH∥CD交BC于H，连接EH，易得四边形CDFH、ABHE是平行四边形，根据平行四边形的性质得CH=DF=8，CD=FH，AB=HE，故当E、F、H三点共线时，EH+HF有最小值EF即AB+CD有最小值EF，延长AE交PQ于G，过点E作ET⊥PQ于T，过点A作AL⊥PQ于L，过点D作DK⊥PQ于K，则四边形BEGC是平行四边形，∠EGT=∠BCQ=60°，EG=BC=12，根据三角函数的概念可得GT、ET，同理可得GL、AL、FK、DK，易证△ALO∽△DKO，根据相似三角形的性质可得AO、DO，利用勾股定理可得OL、OK，由TF=TL+OL+OK+KF可得TF，然后利用勾股定理进行计算.
7．如图，直线l1∥l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB.若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．30°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图得，CA=CB，
∴∠ABC=∠CAB
∵∠BCA＝150°，
∴∠ABC=12(180°−∠ACB)=12(180°−150°)=15°
∵l1∥l2
∴∠1=∠ABC=15°
故答案为：B.
【分析】由作图得：CA=CB，则∠ABC=∠CAB，结合内角和定理可得∠ABC的度数，然后根据平行线的性质进行解答.
8．如图，线段OA在平面直角坐标系内，A点坐标为(2，5)，线段OA绕原点O逆时针旋转90°，得到线段OA′，则点A′的坐标为（　　）
A．(−5，2) B．(5，2) C．(2，−5) D．(5，−2)
【答案】A
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，逆时针旋转90°作出OA′，过A作AB⊥x轴，垂足为B，过A′作A′B′⊥x轴，垂足为B′，
∴∠A′BO=∠ABO=90°，OA′=OA，
∵∠A′OB+∠AOB=180°−∠A′OA=90°，∠AOB+∠A=90°，
∴∠A′OB=∠A，
∴△A′OB≌∠BOA(AAS)，
∴OB′=AB，A′B=OB，
∵A点坐标为(2，5)，
∴AB=5，OB=2，
∴OB′=5，A′B=2，
∴A′(−5，2)，
故答案为：A．

【分析】逆时针旋转90°作出OA′，过A作AB⊥x轴，垂足为B，过A′作A′B′⊥x轴，垂足为B′，利用“AAS”证明△A'OB≌∆BOA可得OB′=AB，A′B=OB，再结合A点坐标为(2，5)，即可得到OB′=5，A′B=2，从而得到A′(−5，2)。
9．如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若△ABC的面积是24，PD=1.5，则PE的长是（　　）
A．2.5 B．2 C．3.5 D．3
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，连接DE，取AD的中点G，连接EG，
∵AB=AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴S△ABD=12S△ABC=12×24=12，
∵E是AB的中点，
∴S△AED=12S△ABD=12×12=6，
∵G是AD的中点，
∴S△EGD=12S△AED=12×6=3，
∵E是AB的中点，G是AD的中点，
∴EG∥BC，EG=12BD=12CD，
∴∠EGP=∠FDP=90°，
∵F是CD的中点，
∴DF=12CD，
∴EG=DF，
∵∠EPG=∠FPD，
∴△EGP≌△FDP（AAS），
∴GP=PD=1.5，
∴GD=3，
∵S△EGD=12GD⋅EG=3，即12EG×3=3，
∴EG=2，
在Rt△EGP中，由勾股定理，得
PE=EG2+GP2=22+1.52=2.5，
故答案为：A．

【分析】，连接DE，取AD的中点G，连接EG，先利用“AAS”证明△EGP≌△FDP可得GP=PD=1.5，再利用S△EGD=12GD⋅EG=3，即12EG×3=3，求出EG的长，最后利用勾股定理求出PE的长即可。
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则AD的长为（　　）
A．π B．43π C．53π D．2π
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接CD，如图所示：
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AB=8，
∴∠A=90°−30°=60°，AC=12AB=4，
由题意得：AC=CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴AD的长为：60π×4180=43π.
故答案为：B.
【分析】连接CD，根据直角三角形两锐角互余可得∠A=60°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AC=12AB=4，由题意可得AC=CD，推出△ACD为等边三角形，得到∠ACD=60°，然后结合弧长公式进行计算.
11．如图，在矩形ABCD中，AB ①四边形AECF是菱形；②∠AFB=2∠ACB；③AC⋅EF=CF⋅CD；④若AF平分∠BAC，则CF=2BF.
其中正确结论的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）；四边形的综合
【解析】【解答】解：根据题意知，BF垂直平分AC，
∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，AE=CE，AF=CF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCO∠AOE=∠COF=90°AO=CO，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE=CF，
∴AE=AF=CF=CE，
即四边形AECF是菱形，
故①结论正确；
∵AF=FC，
∴∠FAO=∠ACB，
∵∠AFB=∠FAO+∠ACB
∴∠AFB=2∠ACB，
故②结论正确；
∵S四边形AECF=CF⋅CD=12AC⋅OE×2=12AC⋅EF，
故③结论不正确；
若AF平分∠BAC，则∠BAF=∠FAC=∠CAD=13×90°=30°，
∴AF=2BF，
∵CF=AF，
∴CF=2BF，
故④结论正确；
故答案为：B.
【分析】根据题意知：EF垂直平分AC，根据矩形以及平行线的性质可得AO=CO，∠EAO=∠FCO，易证△AOE≌△COF，得到OE=OF，推出AE=AF=CF=CE，然后结合菱形的判定定理可判断①；根据外角的性质可得∠AFB=∠FAO+∠ACB，根据垂直平分线的性质可得AF=FC，由等腰三角形的性质可得∠FAO=∠ACB，据此判断②；根据S四边形AECF=CF·CD=12AC·OE×2=12AC·EF可判断③；根据角平分线的概念可得∠BAF=∠FAC=∠CAD=30°，则AF=2BF，然后结合CF=AF可判断④.
12．题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答： d≥2 ，乙答：d＝1.6，丙答： d=2 ，则正确的是（）
A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整
C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；全等三角形的应用
【解析】【解答】解：过点C作 CA′⊥BM 于 A′ ，在 A′M 上取 A′A″=BA′
∵∠B＝45°，BC＝2， CA′⊥BM
∴△BA′C 是等腰直角三角形
∴A′C=BA′=BC2=2
∵A′A″=BA′
∴A″C=A′A″2+CA′2=2
若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC
通过观察得知：
点A在 A′ 点时，只能作出唯一一个△ABC（点A在对称轴上），此时 d=2 ，即丙的答案；
点A在 A″M 射线上时，只能作出唯一一个△ABC（关于 A′C 对称的AC不存在），此时 d≥2 ，即甲的答案，
点A在 BA″ 线段（不包括 A′ 点和 A″ 点）上时，有两个△ABC（二者的AC边关于 A′C 对称）；
故答案为：B
【分析】由题意可知，当CA⊥BA或CA＞BC时，能作出唯一一个△ABC，分这两种情况求解即可。
13．如图，点A的坐标为 (0，2) ，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC.若点C的坐标为 (m，3) ，则m的值为（　　）
A．433 B．2213 C．533 D．4213
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，如图所示：
∵CD⊥x轴，CE⊥y轴，
∴∠CDO=∠CEO=∠DOE＝90°，
∴四边形EODC是矩形，
∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∵A（0，2），C（m，3），
∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，
∴AE＝OE−OA＝CD−OA＝1，
∴AC=AE2+CE2=m2+1=BC=AB ，
在Rt△BCD中， BD=BC2−CD2=m2−8 ，
在Rt△AOB中， OB=AB2−OA2=m2−3 ，
∵OB＋BD＝OD＝m，
∴m2−3+m2−8=m ，
化简变形得：3m4−22m2−25＝0，
解得： m=533 或 m=−533 （舍去），
∴m=533 ，故C正确.
故答案为：C.
【分析】过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，则四边形EODC是矩形，根据旋转的性质可得AB＝AC，∠BAC＝60°，推出△ABC是等边三角形，则AB＝AC＝BC，根据点A、C的坐标可得CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，则AE＝1，利用勾股定理可得AC、BD、OB，结合OB＋BD＝OD＝m可得m的值.
14．如图，等边△ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是（　　）
A．3π18 B．318 C．3π9 D．39
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：令内切圆与BC交于点D，内切圆的圆心为O，连接AD，OB，
由题可知，圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，
令BC=2a，则BD=a，
在等边三角形ABC中
AD⊥BC，OB平分∠ABC，
∴∠OBD=12∠ABC=30°，
由勾股定理，得AD=3a，
在Rt△BOD中，OD=tan30°×BD=33a，
∴圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比为π(33a)2×1212×2a×3a=3π18.
故答案为：A.
【分析】令内切圆与BC交于点D，内切圆的圆心为O，连接AD，OB，由题可知：圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，令BC=2a，则BD=a，根据等边三角形的性质可得AD⊥BC，∠OBD=30°，利用勾股定理可得AD，根据三角函数的概念可得OD，然后结合圆的面积公式进行计算.
15．如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（　　）
A．(5，4) B．(3，4) C．(5，3) D．(4，3)
【答案】D
【知识点】点的坐标；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵AB⊥x轴，
∴∠ACO=∠BCO=90°，
∵OA=OB，OC=OC，
∴△ACO≌△BCO(HL)，
∴AC=BC=12AB=3，
∵OA=5，
∴OC=52−32=4，
∴点A的坐标是（4，3），
故答案为：D．

【分析】利用勾股定理求出OC的长，再结合AC=BC=12AB=3，即可得到点A的坐标。
二、填空题
16．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若BC=6，则CD=　 　.
【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴CD=BD，
∵BC=6，
∴CD=3.
故答案为：3.
【分析】根据等腰三角形的三线合一可得BD=CD，然后结合BC的值就可求出CD的值.
17．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，直角顶点A在y轴上，双曲线y=kx(k≠0)经过AC边的中点D，若BC=22，则k=　 　.
【答案】−32
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】∵△ABC是等腰直角三角形，BC⊥x轴.
∴∠ABO=90°−∠ABC=90°−45°=45°；AB=BC2=2.
∴△AOB是等腰直角三角形.
∴BO=AO=AB2=2.
故：A(0，2)，C(−2，22).
D(−22，322).
将D点坐标代入反比例函数解析式.
k=xD⋅yD=−22×322=−32.
故答案为：−32.

【分析】利用等腰直角三角形的性质及解直角三角形可求出AB的长，同时可求出BO和AO的长，可得到点A，C，D的坐标；然后将点D的坐标代入反比例函数解析式，可求出k的值.
18．如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 　 　.
【答案】6+1877
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图所示，过点E作EF⊥AB于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠BAC=∠BCE=60°，
∵CE=BD=2，AB=AC=6，
∴AE=4，
∴AF=AE⋅cos∠EAF=2，EF=AE⋅sin∠EAF=23，
∴BF=4，
∴BE=BF2+EF2=27，
又∵BD=CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，AD=BE，
又∵∠BDP=∠ADB，
∴△BDP∽△ADB，
∴BDAD=BPAB=DPBD，
∴227=BP6=PD2，
∴BP=677，PD=277，
∴AP=AD−AP=1277，
∴△ABP的周长=AB+BP+AP=6+1877.
故答案为：6+1877.
【分析】过点E作EF⊥AB于F，根据等边三角形的性质可得AB=BC，∠ABD=∠BAC=∠BCE=60°，则AE=AC-CE=4，根据三角函数的概念可得AF、EF，利用勾股定理可得BE，证明△ABD≌△BCE，得到∠BAD=∠CBE，AD=BE，证明△BDP∽△ADB，根据相似三角形的性质可得BP、PD，然后根据AP=AD-AP求出AP，据此不难求出△ABP的周长.
19．正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．若反比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点C，则k的值为 　 　．
【答案】24
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如图所示，过点C作CE⊥y轴，
∵点B（0，4），A（2，0），
∴OB=4，OA=2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CBA=90°，AB=BC，
∴∠CBE+∠ABO=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBE=∠BAO，
∵∠CEB=∠BOA=90°，
∴△ABO≅△BCE，
∴OA=BE=2，OB=CE=4，
∴OE=OB+BE=6，
∴C（4，6），
将点C代入反比例函数解析式可得：
k=24，
故答案为：24．

【分析】过点C作CE⊥y轴，先证明△ABO≅△BCE可得OA=BE=2，OB=CE=4，再利用线段的和差求出OE的长，即可得到点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例解析式即可得到答案。
20．在△ABC中，AB=36，AC=6，∠B=45∘，则BC=　 　．
【答案】33+3或33−3
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：情况一：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示：
过A点作AH⊥BC于H，
∵∠B=45°，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴AH=BH=AB2=362=33，
在Rt△ACH中，由勾股定理可知：CH=AC2−AH2=36−27=3，
∴BC=BH+CH=33+3．
情况二：当△ABC为钝角三角形时，如图2所示：
由情况一知：AH=BH=AB2=362=33，CH=AC2−AH2=36−27=3，
∴BC=BH−CH=33−3．
故答案为：33+3或33−3．

【分析】分两种情况：①当△ABC为锐角三角形时，②当△ABC为钝角三角形时，分别画出图象并求解即可。
21．如图，已知AB//DE，AB=DE，请你添加一个条件　 　，使△ABC≌△DEF.
【答案】∠A=∠D
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加条件：∠A=∠D.
∵AB//DE，
∴∠B=∠DEC，
在△ABC和△DEF中，
∠A=∠DAB=DE∠B=∠DEC，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
故答案为：∠A=∠D（答案不唯一）.
【分析】根据平行线的性质可得∠B=∠DEC，由已知条件知AB=DE，然后结合全等三角形的判定定理ASA可以添加∠A=∠D，根据全等三角形的判定定理SAS可以添加BC=EF，根据全等三角形的判定定理AAS可以添加∠F=∠ACB，据此进行解答.
三、解答题
22．如图，已知 ∠AOC=∠BOC ，点P在 OC 上， PD⊥OA ， PE⊥OB ，垂足分别为D，E．求证： △OPD≌△OPE ．
【答案】证明：∵∠AOC=∠BOC ，
∴OC 为 ∠AOB 的角平分线，
又∵点P在 OC 上， PD⊥OA ， PE⊥OB ，
∴PD=PE ， ∠PDO=∠PEO=90° ，
又∵PO=PO （公共边），
∴△OPD≌△OPE(HL) ．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】利用“HL”证明△OPD≌△OPE即可。
23．已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB//DE，∠B=∠E，BC=EF.求证：AD=CF.
【答案】证明：∵AB//DE，
∴∠A=∠EDF.
在△ABC和△DEF中，
∠A=∠EDF∠B=∠EBC=EF，
∴△ABC≌△DEF(AAS).
∴AC=DF，
∴AC−DC=DF−DC，
即：AD=CF.
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠A=∠EDF，结合∠B=∠E，BC=EF，利用AAS证明△ABC≌△DEF，得到AC=DF，然后根据线段的和差关系进行证明.
24．如图，B是线段AC的中点，AD∥BE，BD∥CE，求证：△ABD≌△BCE.
【答案】证明：∵B是AC中点，
∴AB=BC，
∵AD∥BE，
∴∠A=∠EBC，
∵BD∥EC，
∴∠DBA=∠C，
在△ABD和△BCE中，
∠A=∠EBCAB=BC∠DBA=∠C，
∴△ABD≌△BCE(ASA).
【知识点】平行线的性质；线段的中点；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】根据中点的概念可得AB=BC，根据平行线的性质可得∠A=∠EBC，∠DBA=∠C，然后根据全等三角形的判定定理ASA进行证明.
25．如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A.求证：DE=BC.
【答案】证明：∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B.
又∵CD=AB，∠DCE=∠A，
∴△CDE≌△ABC(ASA).
∴DE=BC.
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】由平行线的性质可得∠EDC=∠B，由已知条件知CD=AB，∠DCE=∠A，证明△CDE≌△ABC，据此可得结论.
26．如图，在 △ABC 中， AB=AC ， D 、 E 是 BC 边上的点，且 BD=CE ，求证： AD=AE .
【答案】证明：∵AB=AC ，
∴△ABC 为等腰三角形，
∴∠B=∠C ，
又∵BD=CE ，
∴在 △ABD 和 △ACE 中， AB=AC∠B=∠CBD=CE ，
∴△ABD≌△ACE(SAS) ，
∴AD=AE .
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用等边对等角可证得∠B=∠C，再利用SAS证明△AD≌△ACE，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
27．如图，△ ABC 是等边三角形， D、E 在直线 BC 上， DB=EC .

求证： ∠D=∠E .
【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB，AB=AC，
∵∠ABD+∠ABC=180°，∠ACB+∠ACE=180°，
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABD和△ACE中
AB=AC∠ABD=∠ACEDB=EC
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠D=∠E.
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用等边三角形的性质，可证得∠ABC=∠ACB，AB=AC，利用邻补角的定义可推出∠ABD=∠ACE；再利用SAS证明△ABD≌△ACE，利用全等三角形的对应角相等，可证得结论.