人教版高考数学一轮复习第9章解析几何第1节直线与直线方程学案理含解析

第一节　直线与直线方程

‖知识梳理‖

1．直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．

(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.

(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．

2．斜率公式

(1)定义式：直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan_α.

(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝．

►常用结论

1．直线倾斜角的范围是[0，π)，包括0不包括π.当直线与x轴平行或重合时，易错误地认为倾斜角为π，事实上为0.

2．由直线的斜率k，求倾斜角的范围时，要注意在[0，π)上，k＝tan α的图象是不连续的．如由－≤k≤，得α∈∪.

3．斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是y2－y1，那么分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，那么分母必须是x1－x2.

3．直线方程的五种形式

►常用结论

1．截距不是距离，它可正可负也可为零．

2．使用点斜式、斜截式时一定要注意判断斜率是否存在．

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　　)

(2)过点M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.(　　)

(3)直线的倾斜角越大，斜率k就越大．(　　)

(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　)

(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√

二、走进教材

2．(必修2P89B5改编)若过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12，则直线的方程为____________．

答案：12x－y－18＝0

3．(必修2P100A9改编)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________________．

答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0

三、易错自纠

4．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(　　)

A．1 B．－1

C．－2或－1 D．－2或1

解析：选D　由题意可知a≠0.当x＝0时，y＝a＋2；

当y＝0时，x＝.∴＝a＋2，解得a＝－2或a＝1.

5．(2019届西安质检)直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________．

解析：直线l的方程可变形为a(x＋y)－2x＋y＋6＝0，

由解得x＝2，y＝－2，

所以直线l恒过定点(2，－2)．

答案：(2，－2)

6．(2019届泰安模拟)过点(5，10)且到原点的距离是5的直线的方程为________________．

解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；

当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0.

由点到直线的距离公式，得＝5，解得k＝.

故所求直线方程为x－y＋10＝，即3x－4y＋25＝0.

综上可知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.

答案：x－5＝0或3x－4y＋25＝0

|题组突破|

1．直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是(　　)

A．[0，π) B．∪

C． D．∪

解析：选B　设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，

又－sin α∈[－1，1]，θ∈[0，π)，

所以0≤θ≤或≤θ<π.

2．已知直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是__________________．

解析：如图，因为kAP＝＝1，

kBP＝＝－，

所以直线l的斜率k∈(－∞，－ ]∪[1，＋∞)．

答案：(－∞，－ ]∪[1，＋∞)

3．若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m＝________．

解析：由题意，得k＝＝1，解得m＝1.

答案：1

►名师点津

斜率取值范围的2种求法

【例】　(1)求过点A(1，3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程；

(2)求经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．

[解]　(1)设所求直线的斜率为k，

依题意，得k＝－4×＝－.

又直线经过点A(1，3)，

所以所求直线方程为y－3＝－(x－1)，

即4x＋3y－13＝0.

(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为＋＝1，

将(－5，2)代入所设方程，得＋＝1，解得a＝－，

所以直线方程为x＋2y＋1＝0；

当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，将(－5，2)代入所设方程，得2＝－5k，解得k＝－，

所以直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.

故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.

►名师点津

直线方程求法中2个注意点

(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．

(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．

|跟踪训练|

设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．

(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；

(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．

解：(1)∵当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距均为零，∴a＝2，∴方程为3x＋y＝0；

当直线不经过原点时，截距存在且均不为0，∴＝a－2，即a＋1＝1，解得a＝0，∴方程为x＋y＋2＝0.

综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.

(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，

∴或解得a≤－1.

综上可知，a的取值范围是{a|a≤－1}．

直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．

【例】　(2019届重庆巴蜀中学模拟)已知曲线y＝在点P(2，4)处的切线与直线l平行且距离为2，则直线l的方程为(　　)

A．2x＋y＋2＝0

B．2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0

C．2x－y－18＝0

D．2x－y＋2＝0或2x－y－18＝0

[解析]　y′＝＝－，当x＝2时，y′＝－＝－2，因此kl＝－2.设直线l的方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，由题意知＝2，解得b＝18或b＝－2，所以直线l的方程为2x＋y－18＝0或2x＋y＋2＝0.故选B．

[答案]　B

►名师点津

处理直线方程综合应用的2大策略

(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．

(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．

|跟踪训练|

(2019届沈阳模拟)若直线l：＋＝1(a>0，b>0)经过点(1，2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是________．

解析：∵直线l：＋＝1(a>0，b>0)经过点(1，2)，

∴＋＝1，

∴a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2，

当且仅当b＝a时等号成立．

∴直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值为3＋2.

答案：3＋2