高考数学二轮复习第1部分方法篇素养形成文理第4讲不等式算法与推理文理学案含解析

第4讲　不等式、算法与推理(文理)

JIE TI CE LUE MING FANG XIANG

解题策略·明方向　

⊙︱考情分析︱

1．高考中主要考查求程序框图中的执行结果和确定控制条件．

2．在高考中主要以客观题形式考查不等式的性质和一元二次不等式的解法．

3．以画二元一次不等式(组)表示的平面区域、目标函数最值的求法为主．

4．利用基本不等式求最值，题型多样，突出“小而巧”的特点．

⊙︱真题分布︱

(理科)

(文科)

KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN

考点分类·析重点　

考点一　不等式的性质及解法

1．一元二次不等式的解法

先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．

2．简单分式不等式的解法

①>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；

②≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0．

考向1　不等式的性质

1．(2020·北京昌平区期末)设a，b，c∈R，且a<b，则(　D　)

A．ac<bc　　 B．>

C．a2<b2　　 D．a3<b3

【解析】　对A项，当c<0时，a<b⇒ac>bc，故A错误；

对B项，取a＝－2，b＝1时，－<1，不满足>，故B错误；

对C项，取a＝－2，b＝－1时，(－2)2>(－1)2，不满足a2<b2，故C错误；

对D项，函数y＝x3在R上单调递增，a<b，则a3<b3，故D正确；故选D．

2．(2020·吉林省重点中学联考)若a>0>b，则下列不等式中恒成立的是(　B　)

A．<　　 B．>

C．a2>b2　　 D．a2<b2

【解析】　∵a>0>b，∴>，∴B正确，A错误；

取a＝1，b＝－1，则a2＝b2，故C，D错误．故选B．

考向2　一元二次不等式

3．(2020·重庆模拟)一元二次不等式(2x－3)(x＋1)＞0的解集为(　B　)

A．　　 B．

C．　　 D．

【解析】　不等式(2x－3)(x＋1)＞0对应方程的解为x＝和x＝－1，所以不等式的解集为.

4．(2020·重庆朝阳中学期中)关于x的不等式x2－(m＋1)x＋(m＋1)≥0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围为(　D　)

A．[－3,1]　　 B．[－3,3]

C．[－1,1]　　 D．[－1,3]

【解析】　∵关于x的不等式x2－(m＋1)x＋(m＋1)≥0对一切x∈R恒成立，

∴Δ＝(m＋1)2－4(m＋1)＝(m＋1)(m－3)≤0，

解得－1≤m≤3，

∴实数m的取值范围为[－1,3]．故选D．

不等式的求解技巧

(1)对于和函数有关的不等式，可利用函数的单调性进行转化．

(2)求解一元二次不等式的步骤：

第一步，二次项系数化为正数；

第二步，解相应的一元二次方程；

第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集．

(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．

考点二　线性规划和基本不等式

1．线性规划

(1)①不等式y>kx＋b表示直线y＝kx＋b上方区域；

②等式y＝kx＋b表示直线y＝kx＋b上的区域；

③不等式y<kx＋b表示直线y＝kx＋b下方区域；

④x>a表直线x＝a右侧区域，x<a表直线x＝a左侧区域，也可直线定界，特殊点定域．

(2)线性目标函数z＝ax＋by，作可行域与直线l：ax＋by＝0，并平移直线l

①b>0时上移l、z增大，下移l、z减小，即“上增下减”；

②b<0时“上减下增”．

(3)常见三种目标函数

①z＝Ax＋By；

②z＝(可表示过点(a，b)与可行域内点(x，y)的直线斜率)；

③z＝或z＝(x－a)2＋(y－b)2(可表示成两点(a，b)与(x，y)的距离或距离的平方)．

2．均值不等式

(1)对∀a、b∈R，有a2＋b2≥2ab⇔ab≤.

(2)对∀a、b∈R＋，有a＋b≥2⇔ab≤2．

(3)≥2⇔(a＋b)2≤2(a2＋b2)．

以上三式均在“a＝b”时取“＝”．

考向1　简单线性规划

1．(2020·深圳二模)设x，y满足约束条件，则z＝2x－y的最大值为(　D　)

A．－3　　 B．1　

C．2　　 D．3

【解析】　不等式组表示的平面区域如图所示，

当直线z＝2x－y过点A点时，目标函数z＝2x－y的纵截距最小，此时z取得最大值，

由，解得A(2,1)时，

在y轴上截距最小，此时z取得最大值3．故选D．

2．(2020·柯桥区模拟)若实数x，y满足，则2x＋y的最小值是(　B　)

A．－3　　 B．－1　

C．0　　 D．2

【解析】　由题中给出的三个约束条件，可得可行域为如图所示阴影部分，平移直线2x＋y＝0，当直线经过可行域的C时，目标函数的截距取得最小值，此时2x＋y取得最小值，由解得C(0，－1)，2x＋y的最小值为－1，故选B．

3．(2020·宣城二模)已知实数x，y满足线性约束条件，则的最小值为(　B　)

A．－　　 B．－　

C．1　　 D．2

【解析】　作出实数x，y满足线性约束条件表示的平面区域：得到如图所示的△ABC及其内部的区域，其中A(0,2)，B(1,0)，设Q(x，y)为区域内的动点，可得k＝表示P、Q连线的斜率，其中P(2,1)，运动点Q，可得当Q与A点重合时，kPQ＝－是的最小值，故选B．

4．(2020·保定二模)已知实数x，y满足若z＝2x＋y的最大值为8，则k的值为(　B　)

A．　　 B．　

C．1　　 D．3

【解析】　作出不等式组对应的平面区域如图：

由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，

平移直线y＝－2x＋z，

∵z＝2x＋y的最大值是8，

∴作出直线2x＋y＝8，则目标函数与直线x－1＝0交于A，

由，解得x＝1，y＝6，当直线z＝2x＋y经过A时，目标函数取得最大值，

将(1,6)代入kx－y＋k－1＝0中可得k＝，故选B．

考向2　基本不等式

5．(2020·吉林省重点中学联考)若实数x，y满足x＋y＝8，则x2＋y2的最小值是(　B　)

A．8　　 B．32　

C．16　　 D．4

【解析】　∵x＋y＝8，∴由≤，

得x2＋y2≥2＝2＝32，当且仅当x＝y＝4时等号成立，

∴x2＋y2的最小值是32．故选B．

6．(2020·河东区一模)已知实数a、b，ab>0，则的最大值为(　A　)

A．　　 B．　

C．　　 D．6

【解析】　由于a2＋b2≥2ab>0，

所以≤，

故：＝≤＝，(当且仅当a＝b时，等号成立)．故选A．

7．(2020·湖南省怀化市期末)函数y＝loga(x＋3)－1(a≠1，a>0)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m>0，n>0，则＋的最小值为__8__.

【解析】　∵x＝－2时，y＝loga1－1＝－1，

∴函数y＝loga(x＋3)－1(a≠1，a>0)的图象恒过定点A(－2，－1)，

∵点A在直线mx＋ny＋1＝0上，

∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1，

∵m>0，n>0，

∴＋＝(2m＋n)＝2＋＋＋2≥4＋2·＝8，

当且仅当m＝，n＝时取等号．

8．(2020·江苏省八校联考)已知实数a，b满足4a2－5ab＋4b2＝9，则a＋b最大值为__2__.

【解析】　由4a2－5ab＋4b2＝9得ab＝，由基本不等式得ab≤2，则可发现≤2，解得a＋b≤2当且仅当a＝b时取等号，所以a＋b最大值为2.

1．记牢三种常见的目标函数及其求法

(1)截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．

(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，

设可行域内动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝|PM|2．

(3)斜率型：形如z＝，

设可行域内动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM.

2掌握基本不等式求最值的三种解题技巧

(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．

(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．

(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋＋Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．

考点三　算法与程序框图

两种循环结构的特点

直到型循环结构：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环．

当型循环结构：在每次执行循环体前，对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环．

考向1　直接循环计算

1．(2020·四川省成都七中一诊)执行如图所示的程序框图，输出的S值为(　C　)

A．3　　 B．－6　

C．10　　 D．－15

【解析】　根据程序框图可知S＝－12＋22－32＋42＝10，故选C．

2．(2020·昆明一检)执行如图所示的程序框图，则输出S的值等于(　C　)

A．　　 B．　

C．　　 D．

【解析】　运行程序，a＝1，S＝1，判断否，S＝，a＝2，判断否，S＝，a＝3，判断否，……，以此类推，S＝，a＝2 020，判断是，输出S＝.故选C．

考向2　完善判断框

3．(2020·四川省成都七中模拟)按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为(　A　)

A．k≥16？　　 B．k<8？　

C．k<16？　　 D．k≥8?

【解析】　根据题中所给的程序框图，可以确定该题要求的是S＝1＋2＋4＋8＋...，

对应的正好是以1为首项，以2为公比的等比数列，

该数列的前4项和正好是15，结合题中所给的条件，一一试过，可知当k≥16时，退出循环，故选A．

解答程序框图(流程图)问题的方法

(1)首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构，特别是循环结构，在累加求和、累乘求积、多次输入等有规律的科学计算中，都有循环结构．

(2)准确把握控制循环的变量，变量的初值和循环条件，弄清在哪一步结束循环；弄清循环体和输入条件、输出结果．

(3)对于循环次数比较少的可逐步写出，对于循环次数较多的可先依次列出前几次循环结果，找出规律．

考点四　推理与证明

1．合情推理

合情推理是根据已有的事实和正确的结论推测某些结果的推理过程．通过观察特例，形成猜想，严格论证，是发现(提出)问题，解决问题的常用方法．归纳、类比推理是根据个别事实，通过分析提出猜想的推理，其结论可能是错误的．而演绎推理是由一般性原理出发，推出某个特殊情况下的结论，其结论是准确的．在进行类比推理时要尽量从本质上类比，不要被表面现象所迷惑，犯机械类比的错误．类比除了发现结论外，还可以发现证明结论的思路和方法．要善于观察和总结，养成归纳、类比、联想的习惯．

2．反证法

有些问题如果从正面求解繁琐或无法求解时，则可从其反面进行思考，通过否定结论的反面来肯定结论正确，这就是“正难则反”的思路．用反证法证题推出矛盾主要有下列情形：

①与已知条件矛盾；

②与公理、定理、定义及性质矛盾；

③与假设矛盾．

宜用反证法证明的题型：

①易导出与已知矛盾的命题；

②否定性命题；

③唯一性命题；

④至少、至多型命题；

⑤某些基本定理；

⑥必然性命题．

考向1　归纳推理

1．(2020·北京市朝阳区抽样检测)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，下面列出了部分k边形数中第n个数的表达式：

三角形数N(n,3)＝n2＋n，

正方形数N(n,4)＝n2，

五边形数N(n,5)＝n2－n，

六边形数N(n,6)＝2n2－n，

以此类推，下列结论错误的是(　C　)

A．N(5,4)＝25　　 B．N(3,7)＝18

C．N(5,10)＝145　　 D．N(10,24)＝1 000

【解析】　因为三角形数N(n,3)＝n2＋n＝n2＋n，

正方形数N(n,4)＝n2＝n2＋n，

五边形数N(n,5)＝n2－n＝n2＋n，

六边形数N(n,6)＝2n2－n＝n2＋n，

所以可以类推得到：第n个k边形数为N(n，k)＝

n2＋n(k≥3)，

于是有N(5,4)＝25，N(3,7)＝18，N(5,10)＝85，

N(10,24)＝1 000，

因此选项C是错误的，故选C．

2．观察下列等式：

12＝1

12－22＝－3

12－22＋32＝6

12－22＋32－42＝－10

……

照此规律，第n个等式可为__12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·__.

【解析】　由题意知：12＝1，

12－22＝－(22－12)＝－(2－1)(2＋1)＝－(1＋2)＝－3，

12－22＋32＝1＋(32－22)＝1＋(3－2)(3＋2)＝1＋2＋3＝6，

12－22＋32－42＝－(22－12)－(42－32)＝－(1＋2＋3＋4)＝－10，

……

∴照此规律，第n个等式可为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·.

考向2　类比推理

3．(2020·济南一中期末)设△ABC的三边长分别为a、b、c，面积为S，内切圆半径为r，则S＝r(a＋b＋c)．类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，内切球半径为R，则V＝(　C　)

A．R(S1＋S2＋S3＋S4)　　 B．R(S1＋S2＋S3＋S4)

C．R(S1＋S2＋S3＋S4)　　 D．R(S1＋S2＋S3＋S4)

【解析】　设四面体的内切球的球心为O，

则球心O到四个面的距离都是R，

所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．

则四面体的体积为VA－BCD＝S1R＋S2R＋S3R＋S4R＝(S1＋S2＋S3＋S4)R.故选C．

考向3　直接证明与间接证明

4．(2020·潍坊检测)用反证法证明命题：“若a∈R，则函数y＝x3＋ax＋b至少有一个零点”时，要做的假设是(　A　)

A．函数y＝x3＋ax＋b没有零点

B．函数y＝x3＋ax＋b至多有一个零点

C．函数y＝x3＋ax＋b至多有两个零点

D．函数y＝x3＋ax＋b恰好有一个零点

【解析】　根据反证法的定义，可知“若a∈R，则函数y＝x3＋ax＋b至少有一个零点”的反设应为“若a∈R，则函数y＝x3＋ax＋b没有零点”．故选A．

5．(理)用数学归纳法证明“＋＋…＋≥(n∈N*)”时，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边应添加的项是(　C　)

A．

B．＋

C．＋－

D．＋－－

【解析】　由n＝k时，左边为＋＋…＋，

当n＝k＋1时，左边为＋＋…＋＋＋

所以增加项为两式作差得：＋－.

故选C．

1．破解归纳推理题的思维三步骤

(1)发现共性：通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；

(2)归纳推理：把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)；

(3)检验结论：对所得的一般性命题进行检验，一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧．

2．破解类比推理题的三个关键

(1)会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

(2)会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的猜想；

(3)会检验，即检验猜想的正确性．要将类比推理运用正确．

YI CUO QING LING MIAN SHI WU

易错清零·免失误　

1．解含参数的不等式时不知道如何对参数分类讨论

典例1　(2020·青羊期中)若不等式ax2＋2ax－1<0的解集为R，则a的取值范围是__(－1,0]__.

【错解】　因为不等式ax2＋2ax－1<0的解集为R，

所以，

解得－1<a<0，

所以实数a的取值范围是(－1,0)．

【剖析】　上述解法的错误是忽略了对a的讨论，若在二次不等式中二次项的系数中含有参数，就要讨论二次项系数等于0和不等于0两种情况．

【正解】　当a＝0时，不等式ax2＋2ax－1<0，

化为－1<0，x∈R，

当a≠0时，若不等式ax2＋2ax－1<0的解集为R，

应当满足解得－1<a<0

所以实数a的取值范围是(－1,0]

2．忽略应用基本不等式的前提条件致误

典例2　(2020·天津南开中学第一次月考)已知x>0，y>0，＋＝1，则x＋2y的最小值为(　D　)

A．9　　 B．12　

C．15　　 D．6＋3

【解析】　设a＝x＋2，b＝y＋2，则x＝a－2，y＝b－2．

因为x>0，y>0，所以a>2，b>2，

所以＋＝＋＝1(a>2，b>2)，

所以x＋2y＝a＋2b－6＝(a＋2b)－6＝3＋＋≥3＋2＝3＋6，

当且仅当＝且＋＝1，即时，取等号．

故x＋2y的最小值为6＋3．

故选D．

【剖析】　本题的易错点是不知如何把等式＋＝1应用到求x＋2y的最小值中，求解此类题时，一般是先消元，把求二元最值问题转化为求一元最值问题，再对不等式进行分拆、组合、添加系数等，使之能变成可用基本不等式的形式，从而求出其最值，求解后还要注意检验等号成立的条件．若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到．

3．错判程序框图中判断框内的条件

典例3　(2020·江西名校第一次联考)执行如图所示的程序框图，若输出的S＝1 320，则判断框中可填入(　D　)

A．k≤12？　　 B．k≤11?

C．k≤10？　　 D．k≤9?

【解析】　初始值k＝12，S＝1，

执行框图如下．

S＝1，若满足判断框内的条件，则输出1，与已知不符，故判断框内的条件不成立，

S＝1×12＝12，k＝12－1＝11；

此时若满足判断框内的条件，则输出12，与已知不符，故判断框内的条件不成立，

S＝12×11＝132，k＝11－1＝10；

此时若满足判断框内的条件，则输出132，与已知不符，故判断框内的条件不成立，

S＝132×10＝1 320，k＝10－1＝9；

此时若满足判断框内的条件，则输出1 320，与已知相符，故此时判断框内的条件成立．

此时k＝9，结合选项可知只有D项满足，故选D．

【剖析】　(1)该题易出现的问题主要是忽视输出结果与判断框内条件的对应，导致判断错误．

(2)解决此类问题需要注意两个方面．一是整体把握程序框图的功能．显然本题中的程序框图的功能是计算12×11×…的值，输出的结果1 320＝12×11×10，故当k＝10时，仍要进入循环体进行运算，当k＝9时，跳出循环体，输出结果，二是要注意判断框内条件的形式．“等号”会影响计算的次数与输出的结果，如该题，若判断框内的条件不带等号，即改为“k<9？”，则需要再进行一次运算，输出的结果就是1 320×9了，事实上，该题中判断框内还可以填入“k<10？”．

4．归纳不当致误

典例4　(2020·湖南长郡中学模拟)已知从1开始的连续奇数按照蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3,5，第三行为11,9,7，第四行为13,15,17,19，…，如图所示，将在宝塔形数表中位于第i行，第j列的数记为aij，比如a32＝9，a42＝15，a54＝23，若aij＝2 019，则i＋j＝(　B　)

A．72　　 B．71　

C．66　　 D．65

【解析】　奇数2 019为第1 010个奇数，

按照蛇形排列，第1行到第i行末奇数的个数为1＋2＋…＋i＝，

则第1行到第44行末共有990个奇数，

第1行到第45行末共有1 035个奇数，则2 019位于第45行，

而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数，

故2 019位于第45行，从右到左第20列，则i＝45，j＝26，i＋j＝71．故选B．

【剖析】　该题易出现的问题主要有以下几个方面：一是不能准确确定2 019在宝塔形数表中的位置，导致判断错误；二是在判断2 019所在行时，不能正确归纳出每行中的奇数的个数，从而导致求得的前i行的奇数个数之和出错，行数定位错误；三是在确定2 019所在列时，不能正确利用其所在行的首位奇数和排列方向，导致列数定位出错，该题根据已如归纳第i行奇数的个数以及第i行奇数的排列顺序是关键．