人教版高考物理一轮复习第4章曲线运动万有引力与航天第3讲圆周运动含答案

第3讲　圆周运动

授课提示：对应学生用书第69页

一、匀速圆周运动及其描述

1．匀速圆周运动

(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动。

(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。

(3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心。

2．描述匀速圆周运动的物理量及其关系

(1)线速度：描述物体圆周运动快慢的物理量。

v＝＝。

(2)角速度：描述物体绕圆心转动快慢的物理量。

ω＝＝。

(3)周期和频率：描述物体绕圆心转动快慢的物理量。

T＝，T＝。

(4)向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量。

an＝rω2＝＝ωv＝r。

(5)相互关系：①v＝ωr＝r＝2πrf。

②an＝＝rω2＝ωv＝r＝4π2f2r。

二、匀速圆周运动的向心力

1．向心力的来源

向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。

2．向心力的确定

(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。

(2)分析物体的受力情况，所有的力沿半径方向指向圆心的合力，就是向心力。

3．向心力的公式

Fn＝man＝m＝mω2r＝mr。

三、离心现象

1．定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。

2．本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线飞出去的趋势。

3.受力特点

(1)当F＝mω2r时，物体做匀速圆周运动。

(2)当F＝0时，物体沿切线方向飞出。

(3)当F＜mω2r时，物体逐渐远离圆心。

F为实际提供的向心力，如图所示。

授课提示：对应学生用书第70页

　　自主探究

1．对公式v＝ωr的理解

当r一定时，v与ω成正比；

当ω一定时，v与r成正比；

当v一定时，ω与r成反比。

2．对a＝＝ω2r的理解

当v一定时，a与r成反比；

当ω一定时，a与r成正比。

3．常见的三种传动方式

1．(2021·上海奉贤区高三模拟)甲、乙、丙三个物体，甲在上海，乙在海南，丙在北京，当它们跟随地球的自转运动时(　　)

A．三个物体角速度相等

B．乙的角速度最大

C．三个物体线速度相等

D．丙的线速度最大

解析：共轴转动角速度相等，因而除了南北两极点外，各个地点的转动角速度、周期都一样大，故A正确，B错误；共轴转动角速度相等，线速度与半径成正比，由线速度与角速度的关系式v＝ωr，可知地球的线速度由赤道向两极递减，赤道最大，极点没有线速度，则海南线速度最大，北京线速度最小，故C、D错误。

答案：A

2．如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来。a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在转动过程中的(　　)

A．线速度大小之比为3∶2∶2

B．角速度之比为3∶3∶2

C．转速之比为2∶3∶2

D．向心加速度大小之比为9∶6∶4

解析：A、B轮摩擦传动，故va＝vb，ωaRA＝ωbRB，ωa∶ωb＝3∶2；B、C同轴，故ωb＝ωc，＝，vb∶vc＝3∶2，因此va∶vb∶vc＝3∶3∶2，ωa∶ωb∶ωc＝3∶2∶2，故A、B错误。转速之比等于角速度之比，故C错误。由a＝ωv得aa∶ab∶ac＝9∶6∶4，D正确。

答案：D

3．(2021·山东淄博高三检测)如图所示，有一皮带传动装置，A、B、C三点到各自转轴的距离分别为RA、RB、RC，已知RB＝RC＝，若在传动过程中，皮带不打滑。下列说法正确的是(　　)

A．A点与C点的角速度大小相等

B．B点与C点的线速度大小相等

C．B点与C点的角速度大小之比为1∶2

D．B点与C点的向心加速度大小之比为4∶1

解析：由图可知，A与C属于皮带传送，皮带不打滑，则有vA＝vC，由于半径不相等，故A点与C点的角速度大小不相等，故A错误；由图可知，A、B共轴转动，则有ωA＝ωB，根据v＝rω，可得vA∶vB＝RA∶RB＝2∶1又vA＝vC，故vC∶vB＝2∶1，故B错误；由题知RB＝RC，根据v＝rω，可得ωB∶ωC＝1∶2，故C正确；由题知，RB＝RC，根据a＝rω2，可得aB∶aC＝1∶4，故D错误。

答案：C

　　自主探究

1．向心力的来源

(1)向心力的方向沿半径指向圆心。

(2)向心力来源：一个力或几个力的合力或某个力的分力。

2．向心力的确定

(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。

(2)分析物体的受力情况，所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。

3．六种常见的向心力实例

4．(多选)在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在平面的倾角为θ，则(　　)

A．该弯道的半径r＝

B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变

C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压

D．当火车速率小于v时，外轨将受到轮缘的挤压

解析：火车拐弯时不会侧向挤压车轮轮缘，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得mgtan θ＝m，解得r＝，故选项A正确；根据牛顿第二定律得mgtan θ＝m，解得v＝，可知火车规定的行驶速度与火车质量无关，故选项B正确；当火车速率大于v时，重力和支持力的合力不足以提供向心力，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，故选项C错误；当火车速率小于v时，重力和支持力的合力大于所需的向心力，此时内轨对火车有侧压力，轮缘挤压内轨，故选项D错误。

答案：AB

5．(多选)(2021·适应性测试河北卷)如图，内壁光滑的玻璃管内用长为L的轻绳悬挂一个小球。当玻璃管绕竖直轴以角速度ω匀速转动时，小球与玻璃管间恰无压力。下列说法正确的是(　　)

A．仅增加绳长后，小球将受到玻璃管斜向上方的压力

B．仅增加绳长后，若仍保持小球与玻璃管间无压力，需减小ω

C．仅增加小球质量后，小球将受到玻璃管斜向上方的压力

D．仅增加角速度至ω′后，小球将受到玻璃管斜向下方的压力

解析：根据题意可知，mgtan θ＝mrω2＝mLω2sin θ，仅增加绳长后，小球需要的向心力变大，则有离心趋势，会挤压管壁右侧，小球受到玻璃管斜向下方的压力，故A错误；仅增加绳长后，若仍保持小球与玻璃管间无压力，根据以上分析可知，需减小ω，故B正确；小球质量可以被约去，所以，增加小球质量，小球仍与管壁间无压力，故C错误；仅增加角速度至ω′后，小球需要向心力变大，则有离心趋势，会挤压管壁右侧，小球受到玻璃管斜向下方的压力，故D正确。

答案：BD

规律总结

“三步骤”求解圆周运动的动力学问题

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　　师生互动

1．轻绳模型和轻杆模型概述

在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”。

2．两类模型对比

　“轻绳模型”

[典例1]　(2021·福建福州质检)如图所示，长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L。重力加速度大小为g。现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根轻绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根轻绳的拉力大小为(　　)

A.mg　　　　　　　 B.mg

C．3mg  D．2mg

[解析]　小球在运动过程中，A、B两点与小球所在位置构成等边三角形，由此可知，小球圆周运动的半径R＝L·sin 60°＝L，两绳与小球运动半径方向间的夹角为30°，由题意，小球在最高点的速率为v时，mg＝m，当小球在最高点的速率为2v时，应有F＋mg＝m，可解得F＝3mg。由2FTcos 30°＝F，可得两绳的拉力大小均为FT＝mg，A正确。

[答案]　A

　“轻杆模型”

[典例2]　(多选)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其Fv2图象如图乙所示，则(　　)

A．小球的质量为

B．当地的重力加速度大小为

C．当v2＝c时，小球对杆的弹力方向向上

D．当v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等

[思路点拨]　解此题应注意以下两点：

(1)把握轻杆既可以提供拉力，又可以提供支持力，小球通过最高点的最小速度为零。

(2)把握图象信息，获取最高点弹力和小球速度大小的定量关系。

[解析]　对小球在最高点进行受力分析，速度为零时，F－mg＝0，结合图象可知a－mg＝0，当F＝0时，由牛顿第二定律可得mg＝，结合图象可知mg＝，联立解得g＝，m＝，A正确，B错误；由图象可知b<c，当v2＝c时，根据牛顿第二定律有F＋mg＝，则杆对小球有向下的拉力，由牛顿第三定律可知，C正确；当v2＝2b时，由牛顿第二定律可得mg＋F′＝，可得F′＝mg，D正确。

[答案]　ACD

6．(2021·四川成都棠湖中学高三测试)如图甲，小球用不可伸长的轻绳连接，绕定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点的速度大小为v，此时绳子拉力大小为F，拉力F与速度的平方v2的关系如图乙所示，图象中的数据a和b以及重力加速度g都为已知量。以下说法正确的是(　　)

A．数据a与小球的质量有关

B．数据b与小球的质量无关

C．比值只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关

D．利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨道半径

解析：当v2＝a时，此时绳子的拉力为零，小球的重力提供向心力，则有mg＝m，解得v2＝gr，即a＝gr，a与小球的质量无关，A错误；当v2＝2a时，对小球受力分析，则有mg＋b＝m，解得b＝mg，b与小球的质量有关，B错误；根据A、B分析可知＝，即比值与小球的质量有关，与圆周轨道半径也有关，C错误；由A、B分析可知a＝gr，b＝mg，可得r＝，m＝，D正确。

答案：D

7．(多选)(2021·福建福州高三月考)如图所示，长为0.3 m轻杆一端固定质量为m的小球(可视为质点)，另一端与水平转轴O连接。现使小球在竖直面内绕O点做匀速圆周运动，轻杆对小球的最大作用力为mg，已知转动过程中轻杆不变形，取重力加速度g＝10 m/s2。下列说法正确的是(　　)

A．小球转动的角速度为5 rad/s

B．小球通过最高点时对杆的作用力为零

C．小球通过与圆心等高的点时对杆的作用力大小为mg

D．小球在运动的过程中，杆对球的作用力不一定总是沿杆方向

解析：小球运动到最低点时杆对小球的作用力最大，则T－mg＝mω2r，解得ω＝5 rad/s，选项A正确；小球通过最高点时T′＋mg＝mω2r，解得T′＝－mg，可知杆对球有向上的支持力，球对杆有向下的压力，大小为mg，选项B错误； 小球通过与圆心等高点时对杆的作用力T″＝＝mg，此时杆对球的作用力方向不是沿着杆的方向，选项C错误，D正确。

答案：AD

8．如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是(　　)

A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝

B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝

C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力

D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力

解析：在最高点，由于外管或内管都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度等于0时，内管对小球产生弹力，大小为mg，故最小速度为0，A、B错；小球在水平线ab以下管道中运动，由于沿半径方向的合力提供小球做圆周运动的向心力，所以外壁对小球一定有作用力，而内壁对小球一定无作用力，C对；小球在水平线ab以上管道中运动时，由于重力有指向圆心的分力，所以弹力可以背离圆心，也可以指向圆心，D错。

答案：C